"Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровень) (в 2 частях), изд-во «Мнемозина»", Мордкович А.Г.
Выражение A sin x + B cos x можно записать как один синус со сдвинутым аргументом: C sin(x + t). Такая запись упрощает тригонометрические выражения и помогает решать уравнения и неравенства. Амплитуда C равна √(A² + B²), а угол t выбирают по условиям cos t = A/C и sin t = B/C. Чтобы выбрать его правильно, нужно учитывать знаки обоих коэффициентов и четверть, в которой лежит угол.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Линейная комбинация синуса и косинуса — это выражение A sin x + B cos x, где A и B — постоянные числа. Каждый коэффициент может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Такое название удобно, потому что выражение складывается из синуса и косинуса, умноженных на числа.
Амплитуда C — неотрицательное число √(A² + B²), которое становится коэффициентом перед синусом после преобразования. Если хотя бы один из коэффициентов A и B не равен нулю, то C > 0. Амплитуда показывает, с каким множителем будет записан полученный синус.
Вспомогательный угол t выбирают так, чтобы при C > 0 выполнялись равенства cos t = A/C и sin t = B/C. Он задаёт сдвиг аргумента: вместо x в синусе появляется x + t. Условия на синус и косинус позволяют определить не только значение тангенса, но и нужную четверть.
Формула преобразования имеет вид A sin x + B cos x = C sin(x + t), где C = √(A² + B²), а угол t удовлетворяет указанным условиям. Она объединяет два слагаемых в один синус, не меняя значения выражения. При A = B = 0 выражение равно нулю, поэтому угол для записи не требуется.
Начнём с формулы синуса суммы: C sin(x + t) = C sin x cos t + C cos x sin t. Чтобы это выражение совпало с A sin x + B cos x при любом x, коэффициент при sin x должен равняться A, а при cos x — B. Поэтому получаем C cos t = A и C sin t = B. Такое сравнение объясняет, почему синус и косинус угла t сопоставляются именно этим коэффициентам.
Теперь возведём оба равенства в квадрат: C² cos²t = A² и C² sin²t = B². Складывая их, получаем C²(cos²t + sin²t) = A² + B². Основное тригонометрическое тождество даёт cos²t + sin²t = 1, поэтому C² = A² + B². Берём неотрицательный корень, так как амплитуда по определению неотрицательна: C = √(A² + B²).
После нахождения C вычисляют cos t = A/C и sin t = B/C. Знаки этих значений совпадают со знаками A и B, а по знакам синуса и косинуса устанавливают четверть угла. Например, если косинус отрицателен, а синус положителен, угол лежит во второй четверти. Тангенс tg t = B/A может подсказать угол, но не всегда позволяет выбрать четверть: одинаковое значение тангенса встречается в разных четвертях.
Если A = B = 0, формула для отношений A/C и B/C неприменима: C тоже равен нулю, и делить на него нельзя. При этом исходное выражение становится 0 sin x + 0 cos x = 0 при любом x. Значит, угол t в этом особом случае не определяется и не нужен. Это исключение важно проверить до поиска угла.
Итоговая запись описывает то же выражение, но в более удобной форме: один синус умножен на амплитуду C, а его аргумент сдвинут на t. Равенство следует из раскрытия синуса суммы и подобранных коэффициентов, поэтому значения при каждом x сохраняются. Благодаря этому выражение можно исследовать через свойства одного синуса. В частности, такая форма удобна при решении тригонометрических уравнений и неравенств.
| Что найти | Правило | Пояснение |
|---|---|---|
| Амплитуда C | C = √(A² + B²) | При A и B, одновременно равных нулю, C = 0 |
| Косинус угла t | cos t = A/C при C > 0 | Знак определяется знаком A |
| Синус угла t | sin t = B/C при C > 0 | Знак определяется знаком B |
| Четверть угла t | Определяется знаками cos t и sin t | Нельзя выбирать угол только по значению tg t |
| Итоговая запись | A sin x + B cos x = C sin(x + t) | При C > 0; угол t можно заменить на t + 2πk |
Сначала найдите C, а затем разделите каждый коэффициент на C, чтобы получить косинус и синус вспомогательного угла. По их знакам определите четверть и выберите подходящий угол. Если C = 0, сразу используйте особый случай: исходное выражение равно нулю.
Задача 1. Преобразуйте 3 sin x + 4 cos x к виду C sin(x + t). Здесь коэффициенты положительны, поэтому после нахождения амплитуды оба значения sin t и cos t должны быть положительными. Это указывает на первую четверть.
Ответ: 5 sin(x + t), где cos t = 3/5 и sin t = 4/5 (например, t = arctg(4/3)).
Задача 2. Преобразуйте −sin x + √3 cos x к виду C sin(x + t) и укажите t из промежутка [0; 2π). Коэффициенты дают отрицательный косинус угла и положительный синус, поэтому сразу выбираем вторую четверть. Это помогает не перепутать угол с другим, у которого такое же значение тангенса.
Ответ: 2 sin(x + 2π/3).
Задача 3. Решите уравнение 2 sin x − 2√3 cos x = 2 на промежутке [0; 2π). Сначала заменим левую часть одним синусом, чтобы свести задачу к простому уравнению sin y = число. Учитываем, что коэффициент при cos x отрицателен, поэтому вспомогательный угол лежит в четвёртой четверти.
Ответ: x = π/2; 7π/6.
Ошибка: вместо C = √(A² + B²) берут A + B или √(A² − B²). Обычно так происходит, если пытаться угадать амплитуду, не выводя её из формулы синуса суммы. Проверка проста: возведите равенства C cos t = A и C sin t = B в квадрат и сложите — должно получиться C² = A² + B².
Ошибка: угол выбирают только по tg t = B/A и попадают не в ту четверть. Причина в том, что тангенс может иметь одинаковое значение для углов из разных четвертей. Проверьте отдельно знаки cos t = A/C и sin t = B/C, а затем найдите четверть по обоим знакам.
Ошибка: меняют местами условия для синуса и косинуса, записывая cos t = B/C и sin t = A/C. Это происходит из-за невнимательного сравнения коэффициентов после раскрытия скобок. Раскройте C sin(x + t): при sin x стоит C cos t, а при cos x — C sin t; эти коэффициенты и нужно приравнять соответственно A и B.
Ошибка: не проверяют случай A = B = 0 или пытаются найти единственный угол t. При нулевых коэффициентах C = 0, поэтому отношения A/C и B/C не определены. Убедитесь, что деление на C допустимо: если C = 0, исходное выражение просто равно нулю при любом x.
Для преобразования нужны формула синуса суммы и основное тригонометрическое тождество sin²t + cos²t = 1. При выборе вспомогательного угла пригодятся знаки синуса и косинуса в четвертях. Если эти сведения известны, подбор коэффициентов и угла можно проверить прямой подстановкой.
Запись одного синуса вместо суммы помогает решать тригонометрические уравнения и неравенства: после преобразования применяются знакомые правила для sin y. Она также удобна при исследовании функций вида A sin x + B cos x, например для определения их амплитуды и поведения. Таким образом, преобразование связывает формулы сложения с практическими задачами анализа тригонометрических выражений.
Почему амплитуда равна √(A² + B²)?
При раскрытии синуса суммы получаем коэффициенты C cos t и C sin t. Возведём равенства C cos t = A и C sin t = B в квадрат и сложим: C²(cos²t + sin²t) = A² + B². Так как cos²t + sin²t = 1, то C = √(A² + B²), причём амплитуда неотрицательна.
Как определить угол t, если известна только его тангенс?
Тангенс помогает найти возможный угол, но сам по себе не определяет его четверть. Сначала проверьте знаки cos t = A/C и sin t = B/C, а затем выберите угол с такими знаками. Например, положительный тангенс бывает и в первой, и в третьей четверти.
Почему в ответе можно использовать разные значения угла t?
Синус повторяется через 2π: sin(x + t + 2πk) = sin(x + t) при любом целом k. Поэтому к найденному углу можно прибавлять или отнимать 2π, не меняя выражения. Все такие углы задаются формулой t + 2πk.
Что делать, если один из коэффициентов A или B равен нулю?
Формула остаётся такой же: C = √(A² + B²), а значения cos t и sin t определяются отношениями A/C и B/C. Если A = 0, то cos t = 0; если B = 0, то sin t = 0. По второму значению и знаку ненулевого коэффициента выберите подходящий угол.
Как преобразовать выражение, если оба коэффициента равны нулю?
При A = B = 0 выражение A sin x + B cos x равно нулю при любом x. В этом случае C = 0, а угол t не определяется и для записи выражения не нужен. Отдельно искать его не следует.
§ 30. Преобразование выражения A?sin x + B?cos x к виду C?sin (x + t)
