"Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровень) (в 2 частях), изд-во «Мнемозина»", Мордкович А.Г.
Произведение синусов и косинусов можно заменить суммой или разностью тригонометрических функций, если воспользоваться формулами суммы и разности аргументов. В результате появляются новые аргументы — сумма и разность исходных, а перед выражением стоит множитель ½. Такие преобразования помогают упростить тригонометрические выражения и доказать тождества. Главное — определить тип множителей и не перепутать знаки, особенно в формуле для синусов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Формулы преобразования произведения в сумму — это равенства, которые заменяют произведение тригонометрических функций суммой или разностью функций. Например, вместо произведения двух синусов можно записать разность косинусов. Эти формулы нужны, чтобы упростить выражение или перейти к форме, удобной для дальнейших вычислений.
Произведение синусов — выражение sin α · sin β, где α и β обозначают аргументы, то есть выражения, стоящие после названия функции. Оно преобразуется в разность косинусов суммы и разности аргументов: ½[cos(α − β) − cos(α + β)]. Такая запись особенно полезна, когда с суммой функций работать проще, чем с произведением.
Произведение косинусов — выражение cos α · cos β. По формуле оно превращается в сумму косинусов разности и суммы аргументов: ½[cos(α − β) + cos(α + β)]. Сходство с формулой для синусов помогает запомнить обе, но знак между косинусами в результате здесь другой.
Произведение синуса и косинуса — выражение sin α · cos β, которое заменяется суммой синусов с аргументами α + β и α − β. В результате получается ½[sin(α + β) + sin(α − β)]. Порядок обозначений важен: сначала берут аргумент синуса, а затем аргумент косинуса, чтобы правильно составить разность.
Вывести формулы можно из уже знакомых равенств для синуса и косинуса суммы и разности. Например, cos(α − β) = cos α · cos β + sin α · sin β, а cos(α + β) = cos α · cos β − sin α · sin β. Если сложить эти равенства, слагаемые с синусами взаимно уничтожатся, а произведение косинусов останется удвоенным; если вычесть одно равенство из другого, так же выделится произведение синусов. Деление результата на 2 и даёт множитель ½ в формулах.
В формулах для произведения возникают два новых аргумента: сумма α + β и разность α − β. Это не случайная замена: при сложении и вычитании исходных формул синуса и косинуса именно такие сочетания появляются внутри функций. Поэтому сначала полезно обозначить аргументы множителей, а затем записать их сумму и разность отдельно.
Три формулы отличаются типом функций и знаками. У произведения косинусов складываются косинусы разности и суммы, а у произведения синусов берётся их разность: cos(α − β) − cos(α + β). Смешанное произведение sin α · cos β даёт сумму синусов. Сопоставление формул позволяет выбрать нужную по виду множителей, а не пытаться угадывать результат по одному только знаку.
В смешанном произведении порядок аргументов определяет, что именно вычитать. Для sin α · cos β используется sin(α − β), а не sin(β − α). Если исходное выражение записано как cos β · sin α, сначала переставьте множители: произведение от перестановки не меняется, и теперь формула применяется с α как аргументом синуса, а β — косинуса. Такая проверка нужна потому, что sin(α − β) и sin(β − α) отличаются знаком.
Практический порядок действий помогает избежать случайных ошибок. Определите, какие функции входят в произведение, обозначьте их аргументы и запишите сумму с разностью в нужном порядке. Выберите соответствующую формулу, поставьте перед скобками ½ и после подстановки проверьте знаки. Если аргументы сложные, упростите каждый новый аргумент отдельно, сохраняя скобки до последнего шага.
| Тип произведения | Формула | Что проверить |
|---|---|---|
| sin α · sin β | ½[cos(α − β) − cos(α + β)] | Сначала косинус разности, затем вычитается косинус суммы. |
| cos α · cos β | ½[cos(α − β) + cos(α + β)] | Между косинусами стоит плюс. |
| sin α · cos β | ½[sin(α + β) + sin(α − β)] | Аргумент синуса идёт первым при составлении суммы и разности. |
| Порядок аргументов в смешанном произведении | cos β · sin α = sin α · cos β = ½[sin(α + β) + sin(α − β)] | Сначала укажите аргумент синуса, затем аргумент косинуса. |
Сначала найдите строку, соответствующую типу множителей, а затем подставьте вместо α и β их аргументы. Перед вычислениями проверьте порядок аргументов и знаки в самой формуле. Если смешанное произведение записано в обратном порядке, ориентируйтесь на аргумент синуса.
Задача 1. Преобразуйте sin 5x · cos 2x в сумму. Здесь перемножены синус и косинус, поэтому нужно применить формулу смешанного произведения. В ней аргумент синуса обозначает α, а аргумент косинуса — β. После подстановки отдельно вычислим сумму и разность этих аргументов.
Ответ: ½(sin 7x + sin 3x). Множитель ½ относится ко всей сумме в скобках.
Задача 2. Преобразуйте cos 4x · cos x в сумму. Оба множителя — косинусы, значит выбираем формулу произведения косинусов. В результате будут два косинуса: один с разностью аргументов, другой с их суммой. Порядок вычитания сохраняем таким, каким он записан в формуле: первый аргумент минус второй.
Ответ: ½(cos 3x + cos 5x). Здесь знак между косинусами — плюс, потому что это формула для произведения косинусов.
Задача 3. Преобразуйте sin(3x + π/6) · sin(2x − π/3) в сумму и упростите аргументы. Это произведение синусов, поэтому в ответе появится разность косинусов. Обозначим первый аргумент α, второй — β и по формуле сначала найдём α − β, а затем α + β. Скобки нужно раскрывать осторожно: при вычитании β меняются знаки всех его слагаемых.
Ответ: ½[cos(x + π/2) − cos(5x − π/6)]. В разности постоянных слагаемых знак перед π/3 изменился из-за вычитания всей второй скобки.
Забывают множитель ½ и записывают только сумму или разность функций. Обычно внимание сосредоточено на новых аргументах, и коэффициент теряется при переписывании формулы. Проверьте, есть ли ½ перед всей скобкой, или сверьтесь с формулой до подстановки.
В формуле для произведения синусов меняют местами знаки: пишут cos(α + β) − cos(α − β). Это происходит из-за смешения с формулой косинусов, где между слагаемыми стоит плюс. Для самопроверки запомните неизменный порядок: сначала cos(α − β), затем cos(α + β), и между ними минус.
Путают сумму аргументов с разностью или считают разность в обратном порядке. Особенно легко ошибиться, если аргументы содержат несколько слагаемых или отрицательные числа. Записывайте α + β и α − β отдельными выражениями, сохраняйте скобки и только потом упрощайте их.
К sin α · cos β применяют формулу, не учитывая, что в исходном выражении стоят cos α · sin β. Хотя множители можно переставить, при выборе формулы важно правильно назначить аргументы синусу и косинусу. Перепишите произведение в порядке sin α · cos β и проверьте знаки: иначе можно заменить sin(α − β) на sin(β − α), что меняет результат.
Для вывода формул преобразования произведения в сумму нужны формулы синуса и косинуса суммы и разности аргументов. Освоив преобразования, можно упрощать тригонометрические выражения и доказывать тождества, выбирая удобную форму записи. Эти формулы связаны и с обратным переходом: сумма тригонометрических функций может быть представлена в виде произведения. Знание обоих направлений помогает выбирать способ преобразования под задачу.
Почему при преобразовании произведения появляется множитель 1/2?
При сложении или вычитании формул синуса и косинуса суммы и разности произведение получается умноженным на 2. Чтобы выразить исходное произведение, обе части равенства делят на 2, поэтому появляется множитель ½.
Как не перепутать формулы для произведения синусов и косинусов?
У произведения косинусов получается сумма косинусов, а у произведения синусов — разность косинусов. Запоминайте порядок во второй формуле: сначала cos(α − β), затем cos(α + β).
В каком порядке вычислять сумму и разность аргументов?
Сначала запишите аргументы в том порядке, в котором они стоят в формуле: α + β и α − β. Затем отдельно упростите каждое выражение, раскрывая скобки и учитывая знаки слагаемых.
Меняется ли формула, если множители sin α и cos β поменять местами?
Само произведение не меняется, но порядок аргументов в формуле смешанного произведения нужно сохранить. Для cos β · sin α применяйте формулу к sin α · cos β, то есть сначала укажите аргумент синуса, а затем косинуса.
Можно ли применять формулы, если аргументы содержат числа и переменные?
Да. Вместо α и β можно подставлять любые выражения, например 3x + π/6 и 2x − π/3. Нужно внимательно найти их сумму и разность, не теряя постоянные слагаемые и знаки.
§ 29. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму
