"Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровень) (в 2 частях), изд-во «Мнемозина»", Мордкович А.Г.
Сумму или разность синусов и косинусов можно заменить произведением двух тригонометрических функций. Для этого используют полусумму и полуразность аргументов: они помогают правильно определить аргументы множителей. Четыре формулы преобразования упрощают выражения, помогают вычислять их значения, решать уравнения и доказывать тождества. Особенно внимательно нужно следить за порядком аргументов и минусом в формуле разности косинусов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение — это замена суммы или разности синусов и косинусов произведением тригонометрических функций. Например, вместо суммы двух синусов можно записать произведение синуса и косинуса. Такой переход полезен, когда произведение проще упростить или приравнять к нулю.
Полусумма аргументов — выражение (α + β)/2, где α и β обозначают аргументы функций. Иными словами, сначала аргументы складывают, а затем делят результат на два. Полусумма входит в формулы преобразования и помогает найти один из углов в произведении.
Полуразность аргументов — выражение (α − β)/2. В отличие от полусуммы, здесь важно, какой аргумент вычитают из какого: перестановка α и β может изменить знак. Полуразность нужна для вычисления второго угла в произведении, поэтому аргументы следует подставлять в исходном порядке.
Формулы преобразования суммы в произведение — тождества, связывающие суммы и разности синусов или косинусов с произведениями. Тождество верно при любых допустимых значениях аргументов, а значит, одну и ту же часть выражения можно записывать двумя способами. Зная эти формулы, легче увидеть, когда выражение можно упростить или свести к уравнению с множителями.
Формулы можно получить из известных формул суммы и разности синусов и косинусов. Для этого обозначим полусумму через u = (α + β)/2, а полуразность через v = (α − β)/2. Тогда α = u + v, а β = u − v: исходные аргументы выражены через два новых. Подстановка этих выражений и применение формул для sin(u ± v) и cos(u ± v) приводят к формулам преобразования суммы в произведение.
В сумме синусов складываются sin(u + v) и sin(u − v). По формулам суммы и разности аргументов члены с sin u cos v повторяются, а члены с cos u sin v имеют противоположные знаки и сокращаются. Поэтому остаётся 2 sin u cos v: это синус полусуммы, умноженный на косинус полуразности. В разности синусов повторяющиеся члены с sin u cos v, наоборот, сокращаются, а слагаемые с cos u sin v складываются, поэтому получается 2 cos u sin v.
При сложении косинусов cos(u + v) и cos(u − v) части с cos u cos v складываются, а части с sin u sin v имеют противоположные знаки и исчезают. Поэтому сумма равна 2 cos u cos v. При вычитании косинусов части с cos u cos v сокращаются, а части с sin u sin v дают отрицательное удвоенное произведение. Отсюда возникает формула cos α − cos β = −2 sin u sin v; минус появляется не по соглашению, а из знаков в формулах косинуса суммы и разности.
Чтобы применить тождество, сначала распознайте, что именно дано: сумму или разность синусов либо косинусов. Затем найдите полусумму и полуразность аргументов и подставьте их в нужную строку формулы, не забывая множитель 2 и возможный минус. Такой порядок помогает не перепутать, какой из новых аргументов ставится в синус, а какой — в косинус. После преобразования произведение можно использовать для дальнейшего упрощения или решения задачи.
| Исходное выражение | Произведение |
|---|---|
| sin α + sin β | 2 sin((α + β)/2) cos((α − β)/2) |
| sin α − sin β | 2 cos((α + β)/2) sin((α − β)/2) |
| cos α + cos β | 2 cos((α + β)/2) cos((α − β)/2) |
| cos α − cos β | −2 sin((α + β)/2) sin((α − β)/2) |
Сначала найдите строку по виду исходного выражения: важно различать синусы и косинусы, сумму и разность. Затем подставьте аргументы вместо α и β, вычислите полусумму и полуразность и проверьте знак результата. Для разности косинусов отдельно проконтролируйте минус перед произведением.
Здесь складываются два синуса, значит, нужна формула для sin α + sin β. Аргумент первого синуса равен 5x, второго — x; важно сохранить этот порядок, поскольку в полуразности они вычитаются именно так. Теперь вычислим полусумму и полуразность и подставим их в формулу.
Ответ: 2 sin 3x cos 2x. Проверка порядка показывает, что аргумент синуса в произведении — полусумма, а аргумент косинуса — полуразность. Если бы во втором шаге вычли 5x из x, знак полуразности изменился бы, и это нужно было бы учесть в значении синуса или косинуса.
Это разность косинусов, поэтому выбираем последнюю формулу, в которой перед произведением стоит минус. Полусумма аргументов равна (7x + 3x)/2 = 5x, а полуразность — (7x − 3x)/2 = 2x. Подставляем эти результаты вместе с коэффициентом −2.
Ответ: −2 sin 5x sin 2x. Здесь оба множителя — синусы, потому что именно такая структура стоит в формуле разности косинусов. Если убрать минус, полученное выражение будет равно cos 3x − cos 7x, то есть исходная разность поменяет знак.
Преобразуем левую часть тем же способом, что и в первой задаче: sin 5x + sin x = 2 sin 3x cos 2x. Произведение равно нулю, если хотя бы один его множитель равен нулю. Поэтому исходное уравнение распадается на два простых тригонометрических уравнения, а затем нужно проверить, какие их корни лежат на заданном промежутке.
Ответ: x = πn/3, где n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, или x = π/4 + πn/2, где n = 0, 1, 2, 3. При решении важно не ограничиваться преобразованием: общий ответ должен учитывать границы промежутка. Каждый корень можно проверить подстановкой в исходное уравнение.
При разности синусов иногда используют формулу суммы или оставляют множители на тех же местах. Ошибка возникает из-за похожего вида формул, хотя при разности синусов синус полусуммы заменяется косинусом, а косинус полуразности — синусом. Проверьте, что для sin α − sin β записано 2 cos((α + β)/2) sin((α − β)/2).
В формуле разности косинусов часто теряют минус перед произведением. Формулы суммы и разности выглядят похоже, поэтому знак легко перенести механически не глядя на выражение. Сверьтесь с отдельной записью cos α − cos β = −2 sin((α + β)/2) sin((α − β)/2), а при сомнении подставьте простые значения аргументов и сравните обе части.
Ещё одна ошибка — вычислить сумму или разность аргументов, но забыть разделить результат на два. Это особенно вероятно, когда аргументы содержат коэффициенты, например 5x и x. Запишите вычисление в виде (5x + x)/2 или (5x − x)/2 до сокращения; так деление не потеряется.
Перестановка аргументов меняет знак полуразности: (β − α)/2 = −(α − β)/2. Ошибку допускают, когда при подстановке не сохраняют порядок слагаемых из исходного выражения. Если порядок всё же изменён, проверьте знак синуса полуразности: sin(−t) = −sin t, тогда как cos(−t) = cos t.
Для вывода этих тождеств нужны формулы суммы и разности аргументов для синуса и косинуса: именно с их помощью выражают функции от α и β через полусумму и полуразность. Преобразование суммы в произведение связано и с обратными формулами, которые превращают произведение в сумму. Вместе эти способы дают возможность выбирать более удобный вид тригонометрического выражения.
Формулы пригодятся при упрощении выражений и вычислении их значений, а также при решении тригонометрических уравнений. Если преобразование приводит к произведению, можно воспользоваться правилом нулевого произведения и рассмотреть каждый множитель отдельно. Тот же приём помогает в доказательстве тождеств: одну из частей выражения приводят к виду другой.
Как определить, какую формулу преобразования применить?
Сначала определите вид выражения: синусы или косинусы, сумма или разность. Затем найдите соответствующую строку формул и подставьте аргументы вместо α и β, сохраняя их порядок.
Почему в формулах используются половины суммы и разности аргументов?
Так устроено преобразование, которое выводится из формул суммы и разности тригонометрических функций. Полусумма и полуразность позволяют представить исходные углы через два новых угла и получить нужное произведение.
В какой формуле перед произведением появляется минус?
Минус стоит в формуле разности косинусов: cos α − cos β = −2 sin((α + β)/2) sin((α − β)/2). В остальных трёх формулах перед произведением стоит множитель 2 без минуса.
Что изменится, если поменять аргументы местами?
Полусумма останется прежней, а полуразность изменит знак. Синус полуразности тоже поменяет знак, поэтому значение произведения зависит от того, сохраняете ли вы исходный порядок аргументов.
Как использовать преобразование суммы в произведение при решении уравнения?
Замените сумму или разность соответствующим произведением и приравняйте каждый множитель к нулю. Затем решите полученные уравнения и оставьте только те корни, которые входят в заданный промежуток.
§ 28. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение
