"Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровень) (в 2 частях), изд-во «Мнемозина»", Мордкович А.Г.
Формулы двойного аргумента связывают значения тригонометрических функций угла 2α со значениями тех же функций угла α. Они помогают преобразовывать выражения, вычислять значения функций и решать уравнения. Из формул косинуса двойного аргумента также получают формулы понижения степени: они заменяют sin² α и cos² α выражениями через cos 2α. Главное — помнить знаки, условия применимости и выбирать запись под задачу.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Формула синуса двойного аргумента имеет вид sin 2α = 2 sin α cos α. Она выражает синус угла, вдвое большего исходного угла α, через синус и косинус самого α. Формула удобна, когда нужно заменить синус двойного угла произведением функций одного аргумента.
Формулу косинуса двойного аргумента записывают так: cos 2α = cos² α − sin² α = 2 cos² α − 1 = 1 − 2 sin² α. Это три равносильных способа выразить косинус угла 2α через функции угла α. Благодаря нескольким записям можно выбрать ту, которая лучше подходит к условию задачи.
Формулы тангенса и котангенса двойного аргумента: tg 2α = 2 tg α/(1 − tg² α) и ctg 2α = (ctg² α − 1)/(2 ctg α). В формуле тангенса должны быть определены tg α и tg 2α, а знаменатель 1 − tg² α не должен равняться нулю. В формуле котангенса должны быть определены ctg α и ctg 2α, а ctg α ≠ 0.
Формулами понижения степени называют равенства sin² α = (1 − cos 2α)/2 и cos² α = (1 + cos 2α)/2. Они позволяют заменить квадрат синуса или косинуса выражением, в котором функция стоит в первой степени. Это полезно, когда нужно упростить выражение или преобразовать интеграл.
Формулы синуса и косинуса двойного аргумента появляются из формул сложения, если сложить угол α с таким же углом α. Для синуса формула сложения даёт sin(α + α) = sin α cos α + cos α sin α. Оба слагаемых одинаковы, поэтому их сумма равна 2 sin α cos α, а левая часть — sin 2α. Так становится понятно, откуда берётся множитель 2 и почему одного sin α в ответе недостаточно.
Для косинуса формула сложения сразу даёт cos(α + α) = cos² α − sin² α. Чтобы получить запись только через cos α, заменим sin² α на 1 − cos² α: тогда выходит cos² α − (1 − cos² α) = 2 cos² α − 1. Если вместо этого заменить cos² α на 1 − sin² α, получится 1 − 2 sin² α. Выбор формы зависит от того, какая функция известна или уже присутствует в выражении.
Формулу тангенса двойного аргумента получают, разделив sin 2α на cos 2α, поскольку tg 2α = sin 2α/cos 2α. Подставим формулы синуса и косинуса: в числителе будет 2 sin α cos α, а в знаменателе — cos² α − sin² α. Деление числителя и знаменателя на cos² α приводит к 2 tg α/(1 − tg² α). Этот переход допустим только там, где тангенс определён и знаменатель не равен нулю.
Для котангенса используют отношение cos 2α/sin 2α. После подстановки формул двойного аргумента и деления числителя и знаменателя на sin² α получают ctg 2α = (ctg² α − 1)/(2 ctg α). Здесь также нужно следить, чтобы все участвующие котангенсы существовали, а знаменатель 2 ctg α не обращался в ноль. Формулы понижения степени получаются из записей cos 2α = 1 − 2 sin² α и cos 2α = 2 cos² α − 1: достаточно выразить из них квадраты синуса и косинуса.
| Название | Формула | Ограничения и применение |
|---|---|---|
| Синус двойного аргумента | sin 2α = 2 sin α cos α | Выражает синус двойного угла через функции угла α. |
| Косинус двойного аргумента: разность квадратов | cos 2α = cos² α − sin² α | Удобна, когда в выражении есть обе функции. |
| Косинус двойного аргумента через cos² α | cos 2α = 2 cos² α − 1 | Используй, если известно значение cos α. |
| Косинус двойного аргумента через sin² α | cos 2α = 1 − 2 sin² α | Используй, если известно значение sin α. |
| Тангенс двойного аргумента | tg 2α = 2 tg α/(1 − tg² α) | tg α определён; 1 − tg² α ≠ 0. |
| Котангенс двойного аргумента | ctg 2α = (ctg² α − 1)/(2 ctg α) | ctg α определён и ctg α ≠ 0. |
| Понижение степени синуса | sin² α = (1 − cos 2α)/2 | Заменяет квадрат синуса выражением через cos 2α. |
| Понижение степени косинуса | cos² α = (1 + cos 2α)/2 | Заменяет квадрат косинуса выражением через cos 2α. |
Сначала найди в условии функцию или квадрат функции, который нужно преобразовать, и выбери соответствующую строку. Для тангенса и котангенса дополнительно проверь ограничения в третьем столбце. Равносильные записи косинуса позволяют не вводить лишнюю функцию.
Задача: вычислите sin 2α и cos 2α, если sin α = 3/5 и α — острый угол. Сначала найдём cos α: по тождеству sin² α + cos² α = 1 имеем cos² α = 1 − 9/25 = 16/25. Поскольку α острый, cos α положителен, значит, cos α = 4/5.
Ответ: sin 2α = 24/25, cos 2α = 7/25. Знак cos α определили по условию об остром угле; без этого уточнения по одному значению sin α знак косинуса определить нельзя.
Задача: упростите выражение 2 sin² x − 1 и вычислите его значение при x = π/6. Видим в выражении квадрат синуса, поэтому используем запись косинуса двойного аргумента через sin² x. Она даёт cos 2x = 1 − 2 sin² x, а значит, 2 sin² x − 1 = −cos 2x.
Ответ: −cos 2x; при x = π/6 значение равно −1/2. Преобразование до подстановки сокращает вычисления и помогает увидеть, что аргумент косинуса удваивается.
Задача: решите уравнение sin 2x = cos x на промежутке [0; 2π). Заменим синус двойного аргумента произведением: 2 sin x cos x = cos x. Переносим всё в одну сторону и выносим общий множитель cos x, чтобы найти оба возможных случая.
Ответ: x = π/6, π/2, 5π/6, 3π/2. При разложении на множители нельзя делить обе части на cos x: так можно потерять решения, для которых cos x = 0.
Ошибка: записывать sin 2α = 2 sin α. В формуле сложения после подстановки одинаковых углов остаются два одинаковых слагаемых sin α cos α, поэтому множитель cos α обязателен. Ошибку допускают, запоминая только число 2 и теряя вторую функцию. Проверить себя можно на α = π/2: sin π = 0, и правая часть правильной формулы тоже равна нулю.
Ошибка: путать знаки в формулах косинуса двойного аргумента. Из cos² α − sin² α получается 2 cos² α − 1, но 1 − 2 sin² α, потому что заменяется другая квадратная функция. Путаница возникает, если запоминать записи без связи с основным тождеством. Подставь sin² α = 1 − cos² α или cos² α = 1 − sin² α и проверь преобразование.
Ошибка: применять формулу тангенса, не проверив знаменатель 1 − tg² α. Если он равен нулю, дробь не определена, и формулой в таком виде пользоваться нельзя. Это происходит, когда ограничения воспринимают как необязательную часть записи. Перед подстановкой проверь, что tg α существует и tg α ≠ ±1.
Ошибка: менять местами формулы понижения степени синуса и косинуса. Для sin² α в числителе стоит 1 − cos 2α, а для cos² α — 1 + cos 2α. Ошибку легко сделать из-за одинакового вида равенств. Сверь знак с формулами cos 2α = 1 − 2 sin² α и cos 2α = 2 cos² α − 1.
Для вывода формул двойного аргумента нужны формулы сложения синуса и косинуса, основное тождество sin² α + cos² α = 1 и определения тангенса и котангенса. Эти формулы затем помогают преобразовывать тригонометрические выражения и решать уравнения. Формулы понижения степени особенно полезны при упрощении выражений и вычислении интегралов от степеней синуса и косинуса. Таким образом, тема связывает тождества, вычисления и дальнейшие методы математического анализа.
Как вывести формулу синуса двойного аргумента?
Используй формулу сложения sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β. Подставь β = α: получится sin 2α = sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α cos α.
Почему у косинуса двойного аргумента есть три равносильные записи?
Формула сложения даёт cos 2α = cos² α − sin² α. Если заменить sin² α на 1 − cos² α или cos² α на 1 − sin² α, получатся две другие записи. Они равносильны благодаря тождеству sin² α + cos² α = 1.
Как выбрать нужную запись формулы cos 2α?
Выбирай запись, в которой останется функция, уже встречающаяся в выражении или известная по условию. Если дан cos α, удобно использовать 2 cos² α − 1; если дан sin α — 1 − 2 sin² α. Для выражения с обеими функциями подходит cos² α − sin² α.
При каких значениях аргумента нельзя применять формулу тангенса двойного аргумента?
В записи tg 2α = 2 tg α/(1 − tg² α) знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому tg α ≠ ±1. Кроме того, tg α должен быть определён, то есть cos α ≠ 0. В частности, формула не применима при α = π/4 + πk и α = 3π/4 + πk, где k ∈ Z.
Как понять, какую формулу понижения степени использовать?
Если нужно заменить sin² α, используй sin² α = (1 − cos 2α)/2. Для cos² α подходит cos² α = (1 + cos 2α)/2. Выбирай формулу по тому квадрату, который нужно преобразовать.
§ 27. Формулы двойного аргумента. Формулы понижения степени
