§ 32. Комплексные числа и арифметические операции над ними

Определения и обозначения

Комплексное число — число вида a + bi, где a и b — действительные числа, а i — мнимая единица. Здесь a и b задают две части одного числа, а i указывает на особый множитель при второй части. Такая запись объединяет действительные числа и числа с мнимой составляющей.

Мнимая единица — число i, для которого i² = −1. Поэтому при упрощении выражений с i его степени заменяют значениями из цикла i, −1, −i, 1. Это правило помогает быстро вычислять степени и произведения, не оставляя высоких степеней i.

В комплексном числе a + bi действительная часть равна a, а мнимая часть равна b. Мнимой частью считают именно коэффициент при i, а не всё слагаемое bi. Такое различение нужно, чтобы правильно сравнивать числа и выполнять действия с ними.

Числа a + bi и a − bi называют сопряжёнными комплексными числами. У них одинаковая действительная часть, а коэффициенты при i противоположны по знаку. Сопряжение используют, в частности, чтобы упростить произведение или убрать мнимую часть из знаменателя дроби.

Как это устроено

Запись a + bi расширяет множество действительных чисел: если b = 0, получается обычное действительное число a. Комплексные числа равны только тогда, когда совпадают обе их части: a + bi = c + di при a = c и b = d. Это следует из того, что действительная и мнимая составляющие отвечают за разные части записи, поэтому одна не может заменить другую.

При сложении действительные слагаемые объединяют с действительными, а коэффициенты при i — между собой; при вычитании поступают так же, учитывая знаки. Например, складывать a + bi и c + di удобно как два выражения с подобными слагаемыми: отдельно a с c, отдельно bi с di. Так сохраняется стандартный вид результата — действительная часть плюс коэффициент, умноженный на i.

Правило умножения получают раскрытием скобок, как при перемножении обычных двучленов, а затем заменяют i² на −1. Так как i·i = −1, произведение мнимых слагаемых даёт действительную часть со знаком минус. Для степеней i достаточно помнить цикл i, −1, −i, 1: каждые четыре степени повторяют те же значения, потому что i⁴ = 1.

Сопряжение меняет знак коэффициента при i: сопряжённое к a + bi — это a − bi. При перемножении скобок смешанные слагаемые взаимно уничтожаются, а оставшееся выражение равно (a + bi)(a − bi) = a² + b². Поэтому произведение числа и его сопряжённого всегда действительное; если число ненулевое, результат положителен.

Чтобы разделить одно комплексное число на другое, знаменатель нужно сделать действительным. Для этого дробь умножают и в числителе, и в знаменателе на сопряжённое знаменателю число; значение дроби при таком умножении не меняется, поскольку фактически её умножают на 1. Внизу получается сумма квадратов действительной и мнимой частей знаменателя, которая не равна нулю, если сам знаменатель ненулевой.

Арифметические операции с комплексными числами

Сначала определите, какое действие требуется, а затем выберите соответствующую строку и подставьте значения a, b, c и d. Для деления проверьте, что знаменатель не равен нулю; в формуле знаменателя c² + d² это условие означает, что c и d не равны одновременно нулю. Результат удобно оставить в стандартном виде A + Bi.

Разбор задач

Сложение комплексных чисел

Найдём сумму (3 + 2i) + (−1 + 5i) и запишем её в виде a + bi. В записи видны две пары подобных слагаемых: действительные числа 3 и −1, а также слагаемые 2i и 5i. Поэтому складываем каждую пару отдельно.

1. Сложим действительные части: 3 + (−1) = 2.
2. Сложим коэффициенты при i: 2 + 5 = 7, значит, мнимая часть выражения равна 7i.
3. Объединим полученные части: 2 + 7i.

Ответ: 2 + 7i. Проверка: действительная часть равна 2, а коэффициент при i — 7, так что запись соответствует требуемому виду.

Умножение комплексных чисел

Вычислим (2 − 3i)(1 + 4i) и назовём действительную и мнимую части ответа. Здесь удобно сначала раскрыть скобки, а уже потом заменить i² на −1. Такой порядок позволяет не потерять произведения, возникающие из каждой пары слагаемых.

1. Раскроем скобки: 2·1 + 2·4i − 3i·1 − 3i·4i.
2. Вычислим произведения: 2 + 8i − 3i − 12i².
3. Так как i² = −1, получим 2 + 8i − 3i + 12.
4. Соберём действительные части и коэффициенты при i: 14 + 5i.

Ответ: 14 + 5i; действительная часть равна 14, мнимая часть — 5. Знак перед 12 стал положительным именно из-за замены −12i² на −12·(−1).

Деление комплексных чисел

Вычислим (3 + 2i)/(1 − i). Знаменатель содержит мнимую часть, поэтому умножим числитель и знаменатель на сопряжённое к 1 − i число, то есть на 1 + i. Это не изменит дробь, но сделает знаменатель действительным.

1. Умножим дробь на (1 + i)/(1 + i): ((3 + 2i)(1 + i))/((1 − i)(1 + i)).
2. Раскроем скобки в числителе: 3 + 3i + 2i + 2i² = 3 + 5i − 2 = 1 + 5i.
3. В знаменателе получим 1 − i² = 1 − (−1) = 2.
4. Разделим обе части числителя на 2: (1 + 5i)/2 = ½ + (5/2)i.

Ответ: ½ + (5/2)i. Проверка знаменателя показывает, что деление допустимо: исходное число 1 − i не равно нулю.

Типичные ошибки

Иногда мнимой частью a + bi называют bi. Это происходит потому, что именно слагаемое содержит i, но по определению мнимая часть — его коэффициент b. Проверьте себя: у числа 6 − 2i мнимая часть равна −2, а не −2i.

При умножении можно забыть, что i² = −1, или ошибочно заменить i² на 1. Ошибка возникает, когда с i обращаются как с обычной переменной и не используют её определяющее свойство. После раскрытия скобок отдельно отметьте все слагаемые с i² и замените каждое на противоположное число.

При сложении комплексных чисел иногда перемножают соответствующие части. Причина — смешение правила умножения с правилом сложения, хотя сложение устроено как объединение подобных слагаемых. Для проверки сложите отдельно действительные части, затем отдельно коэффициенты при i; например, (a + bi) + (c + di) не содержит произведений ac или bd.

При делении может остаться мнимый знаменатель, если не умножить дробь на сопряжённое ему число. Такой результат показывает, что преобразование не доведено до стандартного вида, а не обязательно означает неверное значение дроби. Проверьте, стало ли произведение знаменателя на сопряжённое действительным числом c² + d².

Связь с другими темами

Для действий с комплексными числами нужны навыки работы с действительными числами: раскрытие скобок, сложение отрицательных чисел и приведение подобных слагаемых. Эти привычные приёмы остаются теми же, добавляется лишь правило i² = −1. Поэтому аккуратность в знаках особенно важна при умножении и делении.

Комплексные числа расширяют возможности решения квадратных уравнений, у которых нет действительных корней. Например, равенство x² + 1 = 0 не имеет решения среди действительных чисел, но в комплексных числах его корни — i и −i. Далее эта числовая система помогает изучать многочлены и их корни.

Что запомнить

• Комплексное число записывают в виде a + bi, где a и b — действительные числа.
• Равные комплексные числа имеют равные действительные части и равные коэффициенты при i.
• i² = −1.
• При сложении и вычитании отдельно действуют с действительными и мнимыми частями.
• При умножении раскрывают скобки и используют равенство i² = −1.
• Произведение числа и сопряжённого ему равно a² + b².
• Для деления на ненулевое комплексное число удобно умножить дробь на сопряжённое знаменателю.