"Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровень) (в 2 частях), изд-во «Мнемозина»", Мордкович А.Г.
Комплексное число записывают как z = a + bi, где a и b — действительные числа, а i² = −1. Такая запись расширяет привычные числа: с ней можно работать даже тогда, когда уравнение не имеет действительных корней. На плоскости числу соответствует точка с координатами (a, b): действительная часть задаёт горизонтальное положение, мнимая — вертикальное. Ту же точку можно представить радиус-вектором из начала координат.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Комплексным числом называют число вида z = a + bi, где a и b — действительные числа, а i — мнимая единица. Число a называют действительной составляющей, а bi — мнимым слагаемым. Такая форма позволяет записать одним выражением две числовые составляющие и применять комплексные числа там, где одних действительных чисел недостаточно.
Мнимая единица i определяется равенством i² = −1. Её степени записывают с учётом повторения: i⁰ = 1, i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1, а затем цикл повторяется. Это правило помогает упрощать выражения со степенями i, не возводя символ в степень заново каждый раз.
Действительная часть числа z = a + bi обозначается Re z и равна a: Re z = a. Это первое число в записи, которое не умножено на i. Выделение действительной части удобно, когда нужно сравнить комплексные числа или перейти от алгебраической записи к координатам.
Мнимая часть числа z = a + bi обозначается Im z и равна b: Im z = b. Это действительное число — коэффициент при i, а не всё слагаемое bi. Такое различие необходимо, чтобы правильно находить координаты точки и не смешивать число b с выражением, в которое входит мнимая единица.
Число a + bi удобно представлять парой действительных чисел (a, b), потому что в его записи есть ровно две независимые составляющие. Первая сообщает значение действительной части, а вторая — коэффициент при мнимой единице. Если записать их парой, можно работать с комплексным числом как с объектом, положение которого задают два числа, подобно точке на обычной плоскости.
Паре (a, b) соответствует точка с координатами (a, b): число a откладывают по горизонтали, а число b — по вертикали. Это соглашение сохраняет привычный порядок координат: сначала положение слева направо, затем снизу вверх. Например, у числа 2 + 3i первая координата равна 2, вторая — 3, поэтому точка находится на 2 единицы правее и на 3 единицы выше начала координат.
Плоскость, на которой изображают комплексные числа, называют комплексной. Её горизонтальную ось называют действительной, потому что на ней лежат точки с нулевой мнимой частью, то есть действительные числа. Вертикальная ось называется мнимой: на ней действительная часть равна нулю, а координата вдоль оси показывает коэффициент при i. Так названия осей связывают геометрию с двумя составляющими записи z = a + bi.
Чтобы по координатам точки восстановить число, первую координату поставь на место a, а вторую — на место b в записи a + bi. Например, точке (−1, 4) соответствует −1 + 4i. В обратном направлении нужно прочитать коэффициенты: у числа 5 − 2i они равны 5 и −2, значит, его изображает точка (5, −2). Знак минус относится к координате и показывает, что точка находится ниже горизонтальной оси или левее вертикальной.
Комплексное число можно изобразить не только точкой, но и радиус-вектором — направленным отрезком, который начинается в начале координат и заканчивается в точке числа. Координаты конца вектора остаются (a, b), поэтому запись числа не меняется. Такое представление удобно, потому что вектор наглядно показывает направление от начала координат к числу и позже помогает объяснить геометрический смысл действий с комплексными числами.
| Что рассматриваем | Алгебраическая запись | Представление на плоскости |
|---|---|---|
| Комплексное число | z = a + bi | Точка (a, b) |
| Действительная часть | Re z = a | Первая, горизонтальная координата |
| Мнимая часть | Im z = b | Вторая, вертикальная координата |
| Координаты соответствующей точки | (a, b) | Сначала действительная, затем мнимая координата |
| Радиус-вектор числа | Вектор числа z = a + bi | От начала координат до точки (a, b) |
Сначала найди в записи числа коэффициенты a и b, а затем используй их в том же порядке как координаты. Для чтения точки двигайся наоборот: первая координата даёт действительную часть, вторая становится коэффициентом при i. Вектором изображают ту же точку, добавляя направленный отрезок от начала координат.
Нужно определить, в какой точке плоскости находится число. Запись сравниваем с формой a + bi: действительная часть равна 3, а коэффициент при i равен −2. Отрицательная вторая координата означает, что точка будет ниже горизонтальной оси.
Находим коэффициенты: a = 3, b = −2.
Записываем координаты в порядке (a, b): получаем (3, −2).
От начала координат откладываем 3 единицы вправо и 2 единицы вниз, затем отмечаем точку.
Ответ: числу z соответствует точка (3, −2).
Здесь задано положение точки, а требуется восстановить алгебраическую запись. Координаты уже стоят в нужном порядке: первая является действительной частью, вторая — мнимой частью. При составлении числа вторую координату умножаем на i.
Считываем координаты: a = −4, b = 1.
Подставляем их в z = a + bi: z = −4 + 1i.
Записываем единицу перед i без лишнего коэффициента: z = −4 + i.
Ответ: точке A(−4, 1) соответствует комплексное число −4 + i.
В этой задаче нужно связать запись числа, точку и вектор. В записи −2 − 3i действительная часть равна −2, а мнимая часть равна −3: это коэффициент при i, не всё слагаемое −3i. Знаки обеих координат указывают, что точка расположена левее и ниже начала координат.
Определяем составляющие: Re z = −2, Im z = −3.
Записываем координаты точки в порядке (a, b): получаем (−2, −3).
Отмечаем точку, отложив 2 единицы влево и 3 вниз; из начала координат проводим к ней радиус-вектор.
Ответ: числу соответствует точка (−2, −3), а его радиус-вектор направлен из начала координат к этой точке.
Ошибка: считать мнимой частью всё слагаемое bi. Так происходит потому, что в названии есть слово «мнимая» и кажется, будто речь идёт о выражении с i. Проверка простая: в Im(a + bi) указывают только коэффициент b, например Im(2 − 5i) = −5.
Ошибка: откладывать мнимую часть по горизонтали, а действительную — по вертикали. Путаница возникает из-за того, что названия осей нужно запомнить отдельно от привычного порядка координат. Перед построением подпиши оси: действительная горизонтальна, мнимая вертикальна.
Ошибка: записывать для числа a + bi точку (b, a). Иногда координаты переставляют, потому что сначала замечают мнимый член или путают его с вертикальным направлением. Проверяй порядок по формуле: z = a + bi соответствует (a, b), то есть сначала Re z, затем Im z.
Ошибка: считать мнимую часть мнимым числом. Это впечатление создаёт название, однако Im z = b — действительное число, как и Re z = a. Для самопроверки отдели коэффициент от i: у числа 4 + 7i мнимая часть равна 7, а не 7i.
Для работы с комплексной плоскостью нужны навыки чтения координатной пары и знания о действительных числах. Если ты умеешь находить точку по координатам и определять координаты по точке, то переход между числом и его изображением становится прямым. Главное — следить за порядком: сначала горизонтальная, затем вертикальная координата.
Геометрическое представление служит основой для дальнейшего изучения модуля и аргумента комплексного числа. Модуль связывают с расстоянием от начала координат до точки, а аргумент — с направлением радиус-вектора. Поэтому точка и вектор, введённые здесь, понадобятся для описания числа с помощью геометрических характеристик.
Запись a + bi и пара (a, b) показывают два способа представить один объект. Это помогает понять сложение комплексных чисел: соответствующие действительные составляющие складываются отдельно, как и коэффициенты при i. Геометрическое изображение позволяет затем увидеть, как такое сложение связано с перемещением векторов.
Почему i² равно −1?
Так определена мнимая единица i: её квадрат равен −1. В действительных числах такого числа нет, поэтому i вводят, чтобы расширить систему чисел.
Мнимая часть числа a + bi — это b или bi?
Мнимая часть — это действительное число b, то есть коэффициент при i. Слагаемое bi называют мнимым слагаемым.
Как расположены действительная и мнимая оси?
Действительная ось расположена горизонтально, а мнимая — вертикально. Поэтому числу a + bi соответствует точка (a, b).
Как по точке на комплексной плоскости записать комплексное число?
Если точка имеет координаты (a, b), запишите число a + bi. Первая координата становится действительной частью, вторая — коэффициентом при i.
Чем изображение комплексного числа как точки отличается от его изображения как вектора?
Точка показывает положение числа на комплексной плоскости, а радиус-вектор — направленный отрезок из начала координат к этой точке. У них одинаковый конец и те же координаты, но вектор подчёркивает направление и длину.
§ 33. Комплексные числа и координатная плоскость. Геометрическая интерпретация комплексных чисел
