§ 34. Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Определения и обозначения

Тригонометрическая форма ненулевого комплексного числа — это запись z = r(cos φ + i sin φ), где r > 0, а φ — аргумент числа. Здесь i — мнимая единица, для которой i² = −1. Такая форма описывает число не координатами, а длиной и направлением радиус-вектора. Она удобна, когда важно работать с геометрическим положением числа.

Модулем комплексного числа называют расстояние от начала координат до точки, которая изображает это число. Если z = a + bi, то его модуль равен r = √(a² + b²). Числа a и b являются координатами точки, поэтому формула следует из теоремы Пифагора. Модуль показывает, насколько далеко число находится от нуля.

Аргумент комплексного числа — угол между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором числа. Углы измеряют в радианах, а положительное направление отсчёта — против часовой стрелки. Аргумент не единственный: к нему можно прибавлять полный оборот 2π, поэтому все его значения имеют вид φ + 2πk, где k ∈ Z. Это учитывает, что после полного поворота направление вектора не меняется.

Главным аргументом называют значение аргумента, выбранное в некотором принятом промежутке; сам промежуток зависит от соглашения. При работе нужно придерживаться указанного в задаче соглашения, например выбирать угол из [0; 2π). У нуля аргумент не определён: его радиус-вектор имеет нулевую длину и не задаёт направления. Поэтому тригонометрическую форму с r > 0 применяют к ненулевым числам.

Как это устроено

Числу z = a + bi на координатной плоскости соответствует точка с координатами (a; b): действительная часть задаёт положение по горизонтали, мнимая — по вертикали. Если соединить эту точку с началом координат, получится радиус-вектор. Его длина равна расстоянию между точками (0; 0) и (a; b), а по теореме Пифагора это √(a² + b²). Так геометрическое расстояние становится модулем комплексного числа.

Обозначим длину вектора через r, а угол с положительным направлением оси x — через φ. В прямоугольном треугольнике координата a является прилежащим катетом, поэтому cos φ = a/r; координата b — противолежащим катетом, поэтому sin φ = b/r. Умножая равенства на r, получаем a = r cos φ и b = r sin φ. Подстановка этих координат в z = a + bi даёт z = r cos φ + i r sin φ = r(cos φ + i sin φ).

Повороты на φ и на φ + 2πk заканчиваются в одном направлении, ведь полный круг не меняет положения луча. Поэтому синусы и косинусы этих углов совпадают: cos(φ + 2πk) = cos φ и sin(φ + 2πk) = sin φ. Значит, запись числа остаётся той же, хотя значение аргумента может быть разным. Запись с выбранным по соглашению углом называют записью с главным аргументом.

Чтобы перейти от a + bi к тригонометрической форме, сначала находят r = √(a² + b²), а затем определяют четверть точки по знакам a и b. После этого выбирают угол φ, для которого одновременно cos φ = a/r и sin φ = b/r. Проверка обеих функций важна: один тангенс не различает углы, отличающиеся на π, и потому не всегда указывает нужную четверть. При заданном промежутке для главного аргумента выбирают представителя, который в этот промежуток попадает.

Обратный переход основан на распределительном законе: r(cos φ + i sin φ) = r cos φ + i r sin φ. Значит, действительная часть равна r cos φ, а коэффициент при i — r sin φ. Подставив точные значения синуса и косинуса, можно сразу получить запись a + bi. Если значения тригонометрических функций известны лишь приближённо, части числа также будут приближёнными.

Связь алгебраической и тригонометрической форм комплексного числа

Пользуйся таблицей как переходом между двумя описаниями одного числа: координаты a и b можно восстановить по r и φ, а модуль — по координатам. Чтобы определить аргумент, учитывай положение точки, а не только отдельное значение тангенса. Для нуля применима алгебраическая запись, но тригонометрическая форма с аргументом не задаётся.

Разбор задач

Задача 1. Записать z = 1 + i в тригонометрической форме. Обе координаты положительны, поэтому точка расположена в первой четверти, где синус и косинус выбранного угла должны быть положительными. Найдём длину вектора, а затем угол, для которого координаты после умножения на модуль равны 1 и 1.

1. Здесь a = 1, b = 1, поэтому r = √(1² + 1²) = √2.
2. Точка находится в первой четверти, а равные катеты означают угол φ = π/4.
3. Проверяем: √2 cos(π/4) = 1 и √2 sin(π/4) = 1.

Ответ: z = √2(cos(π/4) + i sin(π/4)). Проверка по координатам подтверждает, что получились исходные действительная и мнимая части. Все остальные аргументы этого числа отличаются от π/4 на 2πk.

Задача 2. Записать z = −√3 + i в тригонометрической форме, указав аргумент из промежутка [0; 2π). Сначала определим длину радиус-вектора, затем используем знаки координат: действительная часть отрицательна, мнимая положительна, значит, точка во второй четверти. Это позволяет выбрать угол с правильными знаками синуса и косинуса.

1. Модуль равен r = √((−√3)² + 1²) = √4 = 2.
2. Для опорного угла значения модулей координат дают cos α = √3/2 и sin α = 1/2, значит, α = π/6.
3. Во второй четверти φ = π − α = 5π/6; этот угол принадлежит [0; 2π).
4. Проверка: 2 cos(5π/6) = −√3 и 2 sin(5π/6) = 1.

Ответ: z = 2(cos(5π/6) + i sin(5π/6)). Здесь знаки обеих координат проверены отдельно, поэтому выбран правильный угол, а не только угол с подходящим тангенсом.

Задача 3. Найти алгебраическую форму числа z = 4(cos(5π/6) + i sin(5π/6)). Это обратный переход: модуль уже дан, поэтому достаточно подставить точные значения синуса и косинуса. Косинус и синус дадут соответственно действительную часть и коэффициент при i.

1. cos(5π/6) = −√3/2, а sin(5π/6) = 1/2.
2. Умножаем каждое значение на 4: действительная часть равна 4 · (−√3/2) = −2√3, мнимая — 4 · 1/2 = 2.
3. Записываем число в виде a + bi, не забывая поставить i после мнимой части.

Ответ: z = −2√3 + 2i. Отрицательный знак действительной части и положительный знак мнимой части согласуются со второй четвертью угла 5π/6. Это служит дополнительной проверкой вычислений.

Типичные ошибки

Считать аргумент единственным. Запись только одного значения создаёт впечатление, что других углов нет, хотя поворот на полный круг не меняет вектор. У ненулевого числа аргументы равны φ + 2πk, k ∈ Z. Проверка: прибавь к своему углу 2π — синус и косинус останутся прежними.

Выбирать аргумент только по тангенсу. Так поступают, потому что отношение b/a задаёт тангенс угла, но оно повторяется в разных четвертях. Проверь знаки a и b и значения синуса и косинуса: они должны соответствовать исходным координатам. Если выбранный угол не даёт нужных знаков обеих координат, четверть определена неверно.

Неверно находить модуль. Иногда координаты складывают или забывают возвести их в квадрат, пытаясь применить формулу расстояния напрямую. Правильное вычисление для z = a + bi: r = √(a² + b²), причём модуль неотрицателен. Для самопроверки возведи найденное r в квадрат и сравни результат с a² + b².

Приписывать аргумент нулю. Ноль иногда считают числом с углом 0, потому что так проще подставить его в запись. Но у нулевого радиус-вектора нет направления, поэтому аргумент не определён; модуль при этом равен 0. Проверка: если длина вектора нулевая, выбрать угол по его положению невозможно.

Связь с другими темами

Для перехода к тригонометрической форме нужны алгебраическая запись z = a + bi, понятия действительной и мнимой частей и изображение чисел точками на координатной плоскости. Также пригодятся значения синуса и косинуса и умение определять четверть по знакам этих функций. Тригонометрическая форма особенно удобна в следующих темах: при умножении и делении комплексных чисел, возведении их в степень и извлечении корней. Геометрическое описание модуля и аргумента помогает понять, почему эти действия упрощаются.

Что запомнить

• Тригонометрическая форма ненулевого числа: z = r(cos φ + i sin φ).
• Модуль комплексного числа неотрицателен и равен √(a² + b²).
• Для ненулевого числа r > 0.
• Аргументы одного ненулевого числа отличаются на 2πk.
• Знаки действительной и мнимой частей помогают определить четверть аргумента.
• У нуля аргумент не определён.