§ 35. Комплексные числа и квадратные уравнения

Определения и обозначения

Комплексное число — это число вида z = a + bi, где a и b — действительные числа, а i — мнимая единица. Число a называют действительной составляющей, а bi — мнимой составляющей записи. Такая форма позволяет объединить действительную и мнимую части в одном числе. Она нужна, в частности, чтобы описывать решения уравнений, которым не хватает действительных чисел.

Мнимая единица i определяется равенством i² = −1. Среди действительных чисел такого числа нет: квадрат любого действительного числа неотрицателен. Поэтому i вводят как новый объект, расширяя числовую систему. Благодаря ему квадратный корень из отрицательного числа можно записать, например, √(−9) = 3i.

Для числа z = a + bi действительная часть обозначается Re z = a, а мнимая часть — Im z = b. В мнимой части указывают коэффициент при i, а не всё слагаемое bi. Например, если z = 4 − 3i, то Re z = 4 и Im z = −3. Такое разделение упрощает действия с числами: соответствующие части можно обрабатывать отдельно.

Числа a + bi и a − bi называют сопряжёнными комплексными числами. Их действительные части одинаковы, а коэффициенты при i отличаются знаками. Например, для 2 + 5i сопряжённое число — 2 − 5i; при b ≠ 0 эти числа не равны. Сопряжение удобно при делении: произведение числа на сопряжённое оказывается действительным.

Как это устроено

Из равенства i² = −1 следует, что при вычислениях степени i повторяются циклом: i, −1, −i, 1, затем снова i. Поэтому достаточно разделить показатель степени на 4 и определить остаток, чтобы быстро упростить i в этой степени. Например, i⁵ = i⁴ · i = i. Складывают комплексные числа, раскрывая скобки и объединяя подобные части: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. При умножении также раскрывают скобки, но каждый член с i² заменяют на −1.

При делении комплексных чисел задача часто состоит в том, чтобы убрать i из знаменателя. Для этого числитель и знаменатель умножают на число, сопряжённое знаменателю: знаменатель вида c + di превращается в (c + di)(c − di) = c² + d². Здесь смешанные слагаемые взаимно уничтожаются, а i² заменяется на −1, поэтому результат действительный. Например, 1/(1 + i) = (1 − i)/((1 + i)(1 − i)) = (1 − i)/2. Такой приём работает, если знаменатель не равен нулю.

Формулу корней квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 выводят, выделяя полный квадрат. Сначала делят уравнение на a, а затем переносят свободное слагаемое: x² + (b/a)x = −c/a. К обеим частям прибавляют (b/(2a))² — именно это число превращает левую часть в квадрат двучлена (x + b/(2a))². После упрощения получается (x + b/(2a))² = (b² − 4ac)/(4a²), то есть справа появляется дискриминант D = b² − 4ac.

Из равенства с полным квадратом извлекают квадратный корень, учитывая оба знака: x + b/(2a) = ±√D/(2a). После переноса слагаемого получают x₁,₂ = (−b ± √D)/(2a), где a ≠ 0. Если D отрицателен, квадратный корень из D не является действительным, поэтому в действительных числах у уравнения корней нет. В комплексных числах √D = i√(−D), и корни записываются как (−b ± i√(−D))/(2a).

Если коэффициенты уравнения действительные и число z — его корень, то подстановка z даёт равенство az² + bz + c = 0. Сопряжение сохраняет сложение и умножение, а действительные коэффициенты при сопряжении не меняются, поэтому получается a z̄² + b z̄ + c = 0. Значит, сопряжённое число z̄ тоже является корнем. Для недействительного корня это отдельное число, и корни образуют пару с противоположными мнимыми частями.

Дискриминант и корни квадратного уравнения ax² + bx + c = 0

Сначала вычислите D = b² − 4ac, затем найдите строку, условие которой подходит к полученному значению. Выбранная строка подскажет, сколько корней ожидать и какую формулу применять. При D = 0 знак ± даёт одно и то же значение, поэтому корень считается двукратным.

Разбор задач

Решить уравнение x² − 5x + 6 = 0.

1. Сопоставим уравнение с видом ax² + bx + c = 0: a = 1, b = −5, c = 6. Найдём дискриминант D = b² − 4ac = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1. Он положительный, значит, будут два различных действительных корня.

2. Подставим коэффициенты в формулу: x₁,₂ = (−b ± √D)/(2a) = (5 ± 1)/2. Со знаком плюс получаем x₁ = 3, со знаком минус — x₂ = 2. Проверка подстановкой подтверждает, что оба значения обращают выражение x² − 5x + 6 в нуль.

Ответ: x₁ = 3, x₂ = 2.

Решить уравнение x² + 4x + 4 = 0.

1. Здесь a = 1, b = 4, c = 4. Вычислим дискриминант: D = 4² − 4 · 1 · 4 = 16 − 16 = 0. Нулевой дискриминант означает, что два значения из формулы совпадают.

2. Для D = 0 используем формулу x = −b/(2a). Получаем x = −4/2 = −2. Можно проверить и по виду выражения: x² + 4x + 4 = (x + 2)², поэтому единственное значение корня повторяется дважды.

Ответ: x = −2, двукратный корень.

Решить уравнение x² + 2x + 5 = 0 в комплексных числах.

1. Коэффициенты равны a = 1, b = 2, c = 5. Дискриминант D = 2² − 4 · 1 · 5 = 4 − 20 = −16. Так как D < 0, действительных корней нет, но уравнение можно решить в комплексных числах.

2. Представим корень из отрицательного числа через i: √D = √(−16) = 4i. Тогда x₁,₂ = (−2 ± 4i)/2. Разделив каждое слагаемое числителя на 2, получим x₁,₂ = −1 ± 2i.

Ответ: x₁ = −1 + 2i, x₂ = −1 − 2i. Корни сопряжены: у них одинаковая действительная часть и противоположные мнимые части.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что i² = 1. Так иногда делают по аналогии с тем, что квадрат числа обычно записывают без смены знака, но для мнимой единицы определение другое: i² = −1. Проверяйте степени i по циклу i, −1, −i, 1; например, i² сразу даёт −1.

Ошибка — записывать при D < 0 действительные корни, используя обычное извлечение корня из отрицательного числа. В действительных числах такое действие не определено, а в комплексных √D заменяют на i√(−D). Перед подстановкой в формулу проверьте знак дискриминанта и убедитесь, что при D < 0 в ответе появились i и два сопряжённых значения.

Ошибка — терять знак ± и записывать только один результат. Знак означает два варианта вычисления; при D > 0 они дают два корня, а при D < 0 — пару комплексных корней. Чтобы проверить себя, отдельно посчитайте выражение со знаком плюс и со знаком минус. При D = 0 оба варианта совпадают.

Ошибка — считать числа a + bi и a − bi равными при b ≠ 0. Их легко спутать, потому что действительная часть у них одинаковая, но мнимые части имеют разные знаки. Это сопряжённые, а не равные числа; сравните коэффициенты при i. Равенство возможно только при b = 0.

Связь с другими темами

Для работы с комплексными числами нужны действия с действительными числами, раскрытие скобок и правила работы с квадратными корнями. Формула корней квадратного уравнения и вычисление дискриминанта помогают понять, когда в решении появляется мнимая единица. Комплексные числа позволяют решать уравнения, не имеющие действительных корней. Они также используются в дальнейшем изучении алгебры.

Что запомнить

• Комплексное число имеет вид a + bi, где a и b — действительные числа.
• Мнимая единица удовлетворяет равенству i² = −1.
• При сложении комплексных чисел отдельно складывают действительные и мнимые части.
• При умножении комплексных чисел учитывают, что i² = −1.
• Дискриминант определяет число и вид корней квадратного уравнения.
• При отрицательном дискриминанте корни комплексные и сопряжённые.
• Для уравнения с действительными коэффициентами недействительные корни образуют сопряжённую пару.