"Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровень) (в 2 частях), изд-во «Мнемозина»", Мордкович А.Г.
Тригонометрическая форма позволяет выполнять действия с комплексными числами через их модуль и аргумент. При возведении в натуральную степень модуль возводят в эту степень, а аргумент умножают на неё — это формула Муавра. При извлечении кубического корня модуль, наоборот, извлекают из кубического корня, а для аргумента учитывают три возможных значения. Поэтому у любого ненулевого комплексного числа есть три различных кубических корня; на плоскости они образуют равносторонний треугольник.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Тригонометрическая форма комплексного числа — запись z = r(cos φ + i sin φ), где r — модуль числа, а φ — его аргумент, то есть угол, задающий направление числа на комплексной плоскости. Модуль показывает расстояние от начала координат до точки z. У числа 0 аргумент не определён, поэтому его тригонометрическую форму с аргументом не используют. Такая запись удобна, когда нужно возводить комплексное число в степень или извлекать из него корень.
Формула Муавра — правило возведения комплексного числа в тригонометрической форме в натуральную степень: если z = r(cos φ + i sin φ), то zⁿ = rⁿ(cos nφ + i sin nφ). Здесь n — натуральное число. По формуле можно сразу найти тригонометрическую форму результата, не перемножая число само на себя много раз. Она особенно полезна, когда показатель степени велик.
Кубический корень комплексного числа z — такое число w, что w³ = z. Для ненулевого комплексного числа существует ровно три различных кубических корня. Они отличаются аргументами, хотя модули у них одинаковы. Это определение превращает извлечение корня в задачу поиска всех чисел, куб которых равен заданному.
Аргументы кубических корней числа z с аргументом φ имеют вид (φ + 2πk)/3, где k = 0, 1, 2. Слагаемое 2πk учитывает разные способы задать направление исходного числа с полными оборотами. Эти три значения дают три корня, а последующие целые k повторяют уже полученные направления. Значит, чтобы найти все кубические корни, достаточно перебрать указанные три значения k.
Пусть два числа записаны как z₁ = r₁(cos φ₁ + i sin φ₁) и z₂ = r₂(cos φ₂ + i sin φ₂). При их умножении модули перемножаются, а аргументы складываются: z₁z₂ = r₁r₂(cos(φ₁ + φ₂) + i sin(φ₁ + φ₂)). Это происходит потому, что при умножении комплексных чисел их расстояния от начала координат масштабируются, а повороты на плоскости складываются. Если умножать одно и то же число на себя, каждый раз модуль умножается на r, а к аргументу прибавляется φ.
После n одинаковых умножений модуль становится rⁿ, а аргумент — nφ. Поэтому получаем формулу Муавра: zⁿ = rⁿ(cos nφ + i sin nφ). Она работает не за счёт отдельного правила для каждой степени, а как итог многократного применения правила умножения. По ней удобно вычислить степень напрямую, а затем при необходимости перейти к алгебраической форме, раскрывая скобки и используя значения синуса и косинуса.
Чтобы найти w³ = z, представим ненулевое z как r(cos φ + i sin φ), а корень — как ρ(cos θ + i sin θ). По формуле Муавра куб корня имеет модуль ρ³ и аргумент 3θ. Следовательно, ρ³ = r, то есть ρ = ∛r, а для аргумента нужно, чтобы 3θ совпадал с φ с точностью до полного оборота. Отсюда θ = (φ + 2πk)/3: аргумент делится на три, но предварительно учитываются все возможные обороты исходного числа.
При k = 0, 1, 2 получаются три корня. Если взять k = 3, аргумент корня увеличится на 2π, а полный оборот не меняет комплексное число; дальнейшие k так же повторяют уже найденные корни. Для этих трёх значений аргументы отличаются на 2π/3, то есть на 120°. Поэтому корни находятся на одной окружности радиуса ∛r и равномерно распределены по ней, образуя вершины равностороннего треугольника.
Геометрическое расположение помогает проверить результат и понять, почему корней именно три. У каждого корня одинаковое расстояние от начала координат, потому что их модули равны ∛r. Между соседними направлениями разность составляет 120°, а после трёх таких промежутков получается полный оборот. Если же z = 0, аргумента нет: из равенства w³ = 0 следует только w = 0.
| Что сравниваем | Возведение z в степень n | Извлечение кубического корня из z |
|---|---|---|
| Модуль результата | rⁿ | ∛r |
| Аргумент результата | nφ | (φ + 2πk)/3, k = 0, 1, 2 |
| Количество результатов для ненулевого z | Один результат | Три различных корня |
| Что происходит при z = 0 | При n ≥ 1 результат равен 0 | Единственный корень равен 0 |
Сначала определите модуль и аргумент исходного числа, затем примените нужный столбец таблицы. Для степени получается один результат, а для кубического корня нужно подставить все три значения k. В случае нуля аргументные формулы не применяются.
Находим модуль: r = √(1² + 1²) = √2. Точка (1; 1) находится в первой четверти, поэтому её аргумент φ = π/4. Следовательно, z = √2(cos π/4 + i sin π/4).
Применяем формулу Муавра: z³ = (√2)³(cos 3π/4 + i sin 3π/4). Модуль равен 2√2, а значения косинуса и синуса угла 3π/4 равны −√2/2 и √2/2.
Переводим результат в алгебраическую форму: z³ = 2√2(−√2/2 + i√2/2) = −2 + 2i. Смысл перехода в тригонометрическую форму в том, что кубирование сразу увеличило аргумент втрое.
Ответ: z = √2(cos π/4 + i sin π/4); z³ = −2 + 2i.
Записываем −8 в тригонометрической форме: модуль равен 8, аргумент можно взять равным π. Значит, −8 = 8(cos π + i sin π), а модуль каждого кубического корня равен ∛8 = 2.
Вычисляем три аргумента: (π + 2πk)/3. При k = 0 получаем π/3, при k = 1 — π, при k = 2 — 5π/3. Эти направления разделены углами по 2π/3.
Переводим ответы в алгебраическую форму. Для π/3 корень равен 1 + √3i, для π — −2, а для 5π/3 — 1 − √3i. Возведение каждого числа в куб возвращает модуль 8 и аргумент π с точностью до полного оборота.
Ответ: 1 + √3i, −2, 1 − √3i.
У числа 8i модуль равен 8, а аргумент равен π/2, поэтому 8i = 8(cos π/2 + i sin π/2). Модуль корней равен 2. Для аргументов корней используем (π/2 + 2πk)/3.
При k = 0, 1, 2 получаем соответственно π/6, 5π/6 и 3π/2. Подставляя углы в 2(cos θ + i sin θ), получаем корни √3 + i, −√3 + i и −2i.
Проверяем первый корень: его модуль равен 2, а утроенный аргумент равен π/2, значит, куб имеет модуль 8 и аргумент π/2, то есть равен 8i. Для двух остальных модуль также равен 2, а утроенные аргументы 5π/2 и 9π/2 отличаются от π/2 на полные обороты; их кубы тоже равны 8i.
Ответ: √3 + i, −√3 + i, −2i.
Иногда возводят в степень только модуль или только аргумент. Это происходит, если запомнить формулу частично: в действительности модуль становится rⁿ, а аргумент — nφ. Проверьте себя, отдельно записав обе части формулы Муавра до подстановки чисел.
При извлечении корня делят аргумент на 3 и получают только один ответ. Так упускают то, что аргументы φ и φ + 2π задают одно исходное число, но после деления дают разные направления корней. Запишите (φ + 2πk)/3 и проверьте значения для k = 0, 1, 2.
Вычисляя аргументы, смешивают градусы и радианы, например складывают π/2 и 120°. Ошибка возникает из-за того, что обе системы измерения углов используются в задачах, но числа в них нельзя складывать без перевода. Выберите одну систему и ведите все вычисления в ней: например, только радианы или только градусы.
Для z = 0 пытаются подставить аргумент в формулу корней. У нуля нет направления, поэтому аргумент не определён и формула с φ неприменима. Решите уравнение w³ = 0 напрямую: единственный ответ w = 0.
Для работы с формулой Муавра нужны модуль и аргумент комплексного числа, его тригонометрическая форма и правила умножения. Они объясняют, почему при умножении складываются аргументы, а при возведении в степень аргумент умножается на показатель. Поэтому полезно уметь определять четверть точки и выбирать соответствующий аргумент.
Формула Муавра пригодится при вычислении степеней в тригонометрической форме и решении уравнений с комплексными числами. Извлечение кубических корней связывает вычисления с геометрией комплексной плоскости. Тот же способ рассуждения подготавливает к поиску корней n-й степени: изменится число возможных направлений, но роль модуля и аргумента останется похожей.
Тригонометрическая форма комплексного числа: z = r(cos φ + i sin φ).
При возведении в степень модуль возводят в эту степень, а аргумент умножают на неё.
Для кубического корня модуль равен ∛r.
Аргументы кубических корней имеют вид (φ + 2πk)/3.
У ненулевого комплексного числа ровно три различных кубических корня.
На комплексной плоскости три кубических корня ненулевого числа образуют равносторонний треугольник.
У числа 0 единственный кубический корень — 0.
Зачем переводить комплексное число в тригонометрическую форму перед возведением в степень?
В алгебраической форме пришлось бы многократно перемножать выражения с i и приводить подобные слагаемые. В тригонометрической форме достаточно возвести модуль в степень и умножить аргумент на показатель степени.
Как формула Муавра упрощает возведение комплексного числа в степень?
Она сразу даёт модуль и аргумент результата: r становится rⁿ, а φ — nφ. Благодаря этому не нужно выполнять n отдельных умножений комплексных чисел.
Почему у ненулевого комплексного числа три кубических корня?
При возведении корня в куб аргумент может включать три значения, связанные с оборотами вокруг начала координат. Для k = 0, 1, 2 получаются три разных направления, а следующие k повторяют их.
Почему при поиске кубических корней нужно учитывать 2πk?
Аргумент комплексного числа можно увеличить на полный оборот 2π, не изменив самого числа. После деления этих вариантов на 3 получаются разные аргументы корней, поэтому слагаемое 2πk помогает найти все решения.
Как проверить, что найденные числа действительно являются кубическими корнями?
Возведите каждый найденный корень в куб. Можно проверить отдельно модуль и аргумент: модуль должен стать модулем исходного числа, а утроенный аргумент — совпасть с его аргументом с точностью до полного оборота.
§ 36. Возведение комплексного числа в степень. Извлечение кубического корня из комплексного числа
