"Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровень) (в 2 частях), изд-во «Мнемозина»", Мордкович А.Г.
Обратная функция позволяет по известному значению функции восстановить исходный аргумент. Например, если функция переводит число x в число y, обратная возвращает из y число x. Для этого каждому значению исходной функции должен соответствовать только один аргумент. Область определения и множество значений при обращении меняются местами, а графики функций становятся симметричны относительно прямой y = x.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Обратная функция восстанавливает исходный аргумент по значению исходной функции. Если y = f(x), то для обратной функции x = f⁻¹(y): она получает y и возвращает x. Например, если действие функции — прибавить к числу 5, обратная должна вычесть 5. Это понятие нужно, когда требуется обратить вычисление или решить уравнение относительно аргумента.
Функция называется взаимно однозначной, если разным аргументам соответствуют разные значения. Тогда по значению функции можно однозначно определить, какой аргумент его дал. Если же два аргумента приводят к одному значению, восстановить исходный выбор невозможно. Именно поэтому взаимная однозначность необходима для существования обратной функции.
Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции. Множество значений обратной функции, наоборот, совпадает с областью определения исходной. Так происходит потому, что обратная принимает прежние значения за аргументы и возвращает прежние аргументы. Эти множества нужно указывать вместе с формулой, чтобы не включить недопустимые числа.
Обратную функцию обозначают f⁻¹, а её значение записывают f⁻¹(x). Верхний индекс −1 здесь не означает степень −1 и не задаёт дробь 1/f(x). Обратное число и обратная функция — разные объекты: первое получают делением единицы на значение, вторая восстанавливает аргумент. Различать их важно при чтении формул и проверке ответов.
Чтобы найти обратную функцию, начинают с равенства y = f(x) и стараются выразить x через y. Полученное выражение показывает, как восстановить исходный аргумент, если известно значение функции. Затем буквы x и y меняют местами: аргумент обратной функции обычно обозначают x, а её значение — y. В конце проверяют ограничения, потому что не всякое число допустимо подставлять в найденную формулу.
Обратная функция существует только тогда, когда каждому значению исходной функции соответствует ровно один аргумент. Если одному значению отвечают два аргумента, правило восстановления даст два ответа и не будет функцией. Например, у y = x² число 9 получается при x = 3 и x = −3. Иногда проблему решают ограничением области определения: при x ≥ 0 остаётся только один аргумент для каждого значения y.
Области определения и значений меняются местами не по соглашению, а из-за смены ролей чисел. Аргумент исходной функции превращается в её значение, а обратная функция принимает это значение как новый аргумент. После этого она возвращает исходное число. Поэтому значения исходной функции должны быть допустимыми аргументами обратной, а прежние аргументы становятся её значениями.
Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x. Точка (a; b) принадлежит графику исходной функции, если f(a) = b; на графике обратной соответствующая точка имеет координаты (b; a). Перестановка координат отражает точку относительно прямой y = x. Поэтому график обратной функции можно представить как зеркальное отражение графика исходной относительно этой прямой.
Взаимную обратность можно проверить подстановками: f(f⁻¹(x)) = x и f⁻¹(f(x)) = x. В первой композиции обратная сначала восстанавливает исходный аргумент, а исходная функция затем возвращает значение. Во второй композиции порядок действий обратный, но результат снова должен совпасть с начальным числом. Каждое равенство проверяют только на тех значениях, которые входят в соответствующие области определения.
| Характеристика | Исходная функция y = f(x) | Обратная функция y = f⁻¹(x) |
|---|---|---|
| Область определения | Область определения f | Множество значений f |
| Множество значений | Множество значений f | Область определения f |
| Соответствие между аргументом и значением | Аргументу x соответствует значение f(x) | Значению f(x) соответствует исходный аргумент x |
| Связь графиков | График функции y = f(x) | Отражение графика f относительно y = x |
Сравнивайте строки таблицы, чтобы не перепутать множества аргументов и значений. Сначала выпишите область определения и множество значений исходной функции, а затем поменяйте их местами. Строка о соответствии помогает понять, какую именно величину восстанавливает обратная функция.
Найдём обратную к y = 3x − 5 и укажем области определения и значений. Здесь исходная функция определена при любом действительном x, а её коэффициент при x не равен нулю, поэтому каждому y соответствует единственный аргумент. Значит, обратная существует на всём множестве значений исходной функции.
Выразим x через y: y = 3x − 5, откуда 3x = y + 5 и x = (y + 5)/3. Это выражение показывает, как восстановить исходный аргумент.
Меняем обозначения x и y и получаем y = (x + 5)/3. В исходной функции можно получить любое действительное значение, поэтому область определения обратной — все действительные числа. Множество значений исходной тоже состоит из всех действительных чисел.
Проверим: f⁻¹(f(x)) = ((3x − 5) + 5)/3 = x. В обратном порядке f(f⁻¹(x)) = 3((x + 5)/3) − 5 = x.
Ответ: f⁻¹(x) = (x + 5)/3; области определения и значения обеих функций — все действительные числа.
Найдём функцию, обратную к y = x² при x ≥ 0, и объясним, зачем требуется ограничение. Без него одному положительному значению y соответствовали бы два аргумента: √y и −√y. На промежутке x ≥ 0 остаётся только неотрицательный аргумент, поэтому восстановление становится однозначным.
Начинаем с y = x² при условии x ≥ 0. Решая уравнение относительно x, получаем x = √y, а не ±√y: условие исключает отрицательный корень.
Меняем обозначения и записываем y = √x. Множество значений исходной функции — x ≥ 0, поэтому область определения обратной функции тоже x ≥ 0. Значения обратной функции неотрицательны и совпадают с областью определения исходной.
Проверяем композиции при x ≥ 0: √(x²) = x. Для обратного порядка (√x)² = x при x ≥ 0.
Ответ: f⁻¹(x) = √x при x ≥ 0. Ограничение исходной области необходимо, чтобы каждому значению квадрата отвечал ровно один аргумент.
Найдём обратную функцию к y = (x − 1)/(x + 2), определим её область и проверим композиции. Исходная функция не определена при x = −2. Кроме того, значение y = 1 невозможно: равенство (x − 1)/(x + 2) = 1 привело бы к −1 = 2.
Решаем уравнение относительно x: y(x + 2) = x − 1, затем xy + 2y = x − 1. Переносим слагаемые с x в одну сторону: x(y − 1) = −1 − 2y, поэтому x = (1 + 2y)/(1 − y).
Меняем x и y: f⁻¹(x) = (1 + 2x)/(1 − x). Так как значение 1 не входит в множество значений исходной функции, область определения обратной — все действительные x, кроме 1. Её множество значений не включает −2, как и область определения исходной.
Проверим первую композицию: f(f⁻¹(x)) = x при x ≠ 1. Для второй подставляем f(x) в обратную формулу и получаем f⁻¹(f(x)) = x при x ≠ −2. Ограничения в проверках нужны, чтобы выражения были определены.
Ответ: f⁻¹(x) = (1 + 2x)/(1 − x), x ≠ 1; множество значений обратной функции — все действительные числа, кроме −2.
Ошибка — считать, что обратная функция существует у любой функции. Обычно забывают, что разные аргументы могут давать одинаковое значение, как у y = x² на всей числовой прямой. Проверьте, можно ли по каждому значению функции однозначно определить аргумент. Если нет, выясните, можно ли ограничить область определения, не потеряв нужную часть задачи.
Запись f⁻¹(x) иногда принимают за 1/f(x), потому что индекс −1 напоминает отрицательную степень. Но f⁻¹ восстанавливает аргумент, а 1/f(x) вычисляет обратное число к значению функции. Проверка простая: подставьте найденное выражение в композицию f(f⁻¹(x)). Если получается x на нужной области, речь идёт об обратной функции.
Ещё одна ошибка — не поменять местами область определения и множество значений. Тогда в обратную функцию могут попасть числа, которые исходная функция вообще не принимает, или потеряться допустимые аргументы. Перед записью ответа выпишите оба множества для исходной функции и поменяйте их местами. Подстановка граничных или запрещённых значений помогает обнаружить несоответствие.
При преобразовании уравнения можно выразить x через y, но забыть затем поменять обозначения или учесть ограничения. Из-за этого ответ записывают не как функцию от нового аргумента либо включают недопустимые числа. Проверьте, что формула имеет вид y = f⁻¹(x), а её область определения совпадает с множеством значений исходной. После этого выполните обе проверки композиции.
Чтобы находить обратные функции, нужно знать область определения и множество значений функции. Также важно уметь решать уравнения относительно одной переменной: именно так получают формулу обращения. Проверка допустимых значений помогает не потерять ограничения, появившиеся при решении.
Взаимная однозначность связана с монотонностью. Строго возрастающая или строго убывающая функция на промежутке не принимает одно и то же значение дважды, поэтому на этом промежутке имеет обратную функцию. Этот признак особенно полезен, когда формула сложная, но известно поведение функции.
Обратные функции применяют при решении уравнений и при изучении обратных тригонометрических функций. Они позволяют восстановить аргумент, если известно значение результата, и помогают описывать функции, обратные синусу, косинусу и другим тригонометрическим функциям. В таких задачах область определения исходной функции часто приходится ограничивать.
Как понять, существует ли у функции обратная?
Проверьте, может ли одно и то же значение функции получиться при разных аргументах. Если такого не бывает, аргумент восстанавливается однозначно и обратная функция существует. Если бывает, можно иногда ограничить область определения исходной функции.
Почему для квадратичной функции иногда нужно ограничивать область определения?
На всей числовой прямой функция y = x² принимает одно и то же значение при x и −x, поэтому восстановить аргумент однозначно нельзя. Если оставить, например, только x ≥ 0, каждому значению y ≥ 0 будет соответствовать ровно один аргумент.
Как найти формулу обратной функции?
Запишите y = f(x) и выразите x через y. Затем поменяйте обозначения x и y, чтобы записать результат как y = f⁻¹(x). Проверьте ограничения и подстановкой убедитесь, что полученная функция обращает исходную.
Почему у исходной и обратной функций меняются местами область определения и множество значений?
Аргументы исходной функции становятся её значениями, а обратная функция использует эти значения как аргументы. В ответе обратная возвращает исходные аргументы. Поэтому область определения и множество значений при обращении меняются ролями.
Чем f⁻¹(x) отличается от 1/f(x)?
f⁻¹(x) обозначает значение обратной функции: она восстанавливает аргумент по значению исходной. Выражение 1/f(x) — это обратное число к значению функции. Эти выражения в общем случае не равны.
§ 10. Обратные функции
