"Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровень) (в 2 частях), изд-во «Мнемозина»", Мордкович А.Г.
Периодическая функция повторяет свои значения через одинаковые промежутки по аргументу. Такое свойство помогает описывать колебания и другие повторяющиеся процессы, а также строить и исследовать графики. Периодом называют положительный шаг повторения, а наименьший такой шаг — основным периодом. Чтобы найти его, учитывают коэффициент при x, область определения и то, как сочетаются функции в сумме.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Периодическая функция — функция, для которой существует положительное число T такое, что f(x + T) = f(x) для всех допустимых x. Смысл определения в том, что при сдвиге аргумента на T значение не меняется. Условие «для всех допустимых x» необходимо: нельзя подставлять аргумент, который не входит в область определения.
Период функции — положительное число T, при сдвиге аргумента на которое значения функции повторяются. Один и тот же график может повториться при разных значениях T. Поэтому при исследовании функции сначала ищут любой период, а затем выясняют, можно ли взять меньший.
Основной период функции — наименьший положительный период, если такой период существует. Он показывает минимальный шаг, после которого повторяется весь график, а не только отдельная его часть. Это понятие нужно, чтобы описывать повторение наиболее коротким интервалом.
Непериодическая функция — функция, для которой не существует положительного числа, являющегося её периодом. Иными словами, нельзя подобрать один и тот же положительный сдвиг, после которого значения совпадали бы при каждом допустимом аргументе. Это отличает периодические зависимости, например колебания, от таких функций, как y = x.
Периодичность означает, что значения функции повторяются через одинаковые промежутки по аргументу. Если f(x + T) = f(x), то подстановка x + T вместо x даёт f(x + 2T) = f(x + T) = f(x), и так далее. Поэтому 2T, 3T и другие положительные целые кратные T тоже являются периодами.
На графике это повторение видно как перенос одного и того же участка вправо или влево на расстояние T. Для синуса значение в точке x совпадает со значением в точке x + 2π, поэтому его волны повторяются через 2π; у косинуса происходит то же самое. На графике y = sin x можно увидеть, что форма участка от −π до π воспроизводится на следующем интервале той же длины.
Если аргумент функции умножен на число, график сжимается или растягивается по горизонтали. Чтобы значение f(kx + b) повторилось, выражение внутри f должно увеличиться на период T: k(x + P) + b = kx + b + T. Отсюда период P = T/|k|; знак модуля нужен, потому что период положителен. Слагаемое b лишь сдвигает график по горизонтали и не влияет на длину шага повторения.
У суммы или произведения периодических функций можно найти общий период: число, которое является периодом каждого слагаемого или множителя. Тогда сумма или произведение тоже повторится после этого сдвига. Однако найденный общий период может оказаться не наименьшим: части выражения иногда компенсируются, поэтому результат способен повторяться раньше.
Периодичность зависит не только от формулы, но и от области определения. Равенство f(x + T) = f(x) должно иметь смысл для всех допустимых x, а сдвиг на T не должен приводить к запрещённому аргументу. Это особенно существенно для тангенса и котангенса, у которых есть точки, где функция не определена.
В таблице собраны области определения и значения четырёх основных тригонометрических функций, их основные периоды и места, где формулы не имеют смысла. Обозначение k ∈ Z означает, что k — любое целое число. Сверяйте период с областью определения: это помогает не принять запрещённую точку за допустимую.
| Свойство | y = sin x | y = cos x | y = tg x | y = ctg x |
|---|---|---|---|---|
| Область определения | R | R | x ≠ π/2 + πk, k ∈ Z | x ≠ πk, k ∈ Z |
| Множество значений | [−1; 1] | [−1; 1] | R | R |
| Основной период | 2π | 2π | π | π |
| Все положительные периоды | 2πn, n ∈ N | 2πn, n ∈ N | πn, n ∈ N | πn, n ∈ N |
| Где функция не определена | Нигде | Нигде | x = π/2 + πk, k ∈ Z | x = πk, k ∈ Z |
В каждой задаче полезно сначала узнать основной период исходной тригонометрической функции, а затем посмотреть на аргумент. Коэффициент при x меняет горизонтальный масштаб, тогда как сдвиги аргумента и значения период не меняют. Для суммы дополнительно нужно проверить, не повторяется ли результат раньше общего периода слагаемых.
Основной период sin x равен 2π. Здесь вместо x в синусе стоит 3x, поэтому аргумент проходит один полный цикл быстрее.
Пусть P — период искомой функции. Для повторения синуса аргумент должен увеличиться на 2π, значит, 3P = 2π.
Делим обе части равенства на 3 и получаем P = 2π/3. Меньшего положительного периода синус с таким аргументом не имеет.
Ответ: 2π/3.
У косинуса основной период 2π, а выражение в скобках имеет вид 4x − π/3. Коэффициент при x равен 4, поэтому период по x нужно найти делением 2π на 4.
Получаем P = 2π/4 = π/2. Сдвиг аргумента на −π/3 перемещает график, но не изменяет длину повторяющегося участка.
Множитель 2 перед косинусом растягивает график по вертикали, а −1 сдвигает его вниз. Ни одно из этих преобразований не меняет период.
Ответ: π/2.
У sin x основной период 2π. У cos 2x основной период равен 2π/2 = π, поэтому общий период слагаемых — 2π.
Проверим, не повторяется ли сумма раньше. Сдвиг на π меняет sin x на −sin x, но cos 2x оставляет прежним, так что сумма в общем случае меняется.
Период суммы не может быть меньше 2π: слагаемые имеют разные частоты, и их повторение не может компенсироваться при всех x. Следовательно, найденный общий период является основным.
Ответ: 2π.
Ошибка: называть любой период основным. Так поступают, когда находят удобный шаг повторения и останавливаются, не проверив, есть ли меньший. Для проверки вспомните определение: основной период — именно наименьший положительный период.
Ошибка: умножать период на коэффициент при x вместо деления на его модуль. Это происходит из-за привычки переносить коэффициент из аргумента без учёта горизонтального сжатия графика. Подставьте искомый период в аргумент: его изменение должно составить ровно исходный период T.
Ошибка: считать, что прибавление числа к функции или сдвиг аргумента меняет период. Вертикальный сдвиг и постоянная добавка к аргументу только перемещают график, сохраняя длину повторения. Проверьте, что при замене x на x + T эти добавки сокращаются, а переменная часть проходит тот же цикл.
Ошибка: считать общий период слагаемых основным периодом суммы без проверки. Общий период действительно гарантирует повторение суммы, но слагаемые могут частично компенсироваться при меньшем сдвиге. Подставьте предполагаемый меньший шаг в выражение и сравните значения при произвольном x, а не только в нескольких точках.
Для изучения периодичности нужны понятия функции, её области определения и графика, а также свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса. В частности, важно знать, где эти функции определены и как меняются их значения при сдвиге аргумента. Это позволяет проверять период не только по внешнему виду графика, но и по формуле.
Периодичность понадобится при изучении тригонометрических функций и решении тригонометрических уравнений: найденные решения часто повторяются с определённым шагом. Она также помогает описывать процессы, которые возвращаются к прежнему состоянию, например колебания. Понимание периода облегчает анализ таких повторений.
Может ли у функции быть несколько периодов?
Да. Если T — период, то любое положительное целое кратное T тоже будет периодом. Например, у синуса периоды 2π, 4π и 6π.
Чем период функции отличается от основного периода?
Периодом может быть любое положительное число, после сдвига на которое значения функции повторяются. Основной период — наименьший из положительных периодов, если он существует.
Почему период тангенса равен π, а не 2π?
Из равенств sin(x + π) = −sin x и cos(x + π) = −cos x следует, что их отношение не меняется. Значит, tg(x + π) = tg x, и наименьший положительный период тангенса равен π.
Как меняется период, если аргумент умножить на число?
Если исходная функция имеет основной период T, то у функции f(kx) основной период равен T/|k| при k ≠ 0. Чем больше модуль коэффициента, тем быстрее повторяется график по оси x.
Как найти период суммы двух периодических функций?
Сначала ищут общий положительный период слагаемых: например, наименьшее число, которое подходит обоим. Затем проверяют, не повторяется ли сумма раньше, потому что отдельные слагаемые могут частично компенсироваться.
§ 9. Периодические функции
