§ 8. Свойства функций

Определения и обозначения

Чётная функция — это функция, для которой f(−x) = f(x) для всех x из области определения. Её график симметричен относительно оси Oy. Такое свойство позволяет исследовать правую часть графика и переносить результат на левую.

Нечётная функция удовлетворяет равенству f(−x) = −f(x) для всех x из области определения. Её график симметричен относительно начала координат. Это помогает связывать точки графика с противоположными координатами.

Периодическая функция повторяет свои значения через ненулевой промежуток T: f(x + T) = f(x). Число T называют периодом, а наименьший положительный период, если он существует, — основным. Периодичность позволяет изучать один повторяющийся фрагмент функции.

Функция возрастает на промежутке, если для любых x₁ и x₂ из этого промежутка при x₁ < x₂ выполняется f(x₁) < f(x₂). Она убывает, если при x₁ < x₂ получается f(x₁) > f(x₂). Эти свойства называют монотонностью и используют для описания направления изменения функции.

Как это устроено

Для чётности и нечётности область определения должна быть симметрична относительно нуля. Это означает: если число x входит в область определения, то и число −x тоже должно в неё входить. Иначе сравнить f(x) и f(−x) для всех нужных аргументов невозможно, поэтому определение свойства не выполняется.

Чтобы проверить функцию по формуле, сначала находят её область определения. Затем вместо x подставляют −x и упрощают выражение. Если получилось f(x), функция чётная, если −f(x) — нечётная; совпадение с обоими выражениями возможно только для нулевой функции.

Возрастание и убывание устанавливают на промежутке, потому что свойство описывает поведение функции на всём участке. Нужно взять любые две точки x₁ и x₂, расположенные в правильном порядке, а затем сравнить значения функции. Несколько удачных подстановок не доказывают монотонность: между выбранными точками функция могла изменить направление.

Периодичность означает, что при сдвиге аргумента на T значение функции не меняется: f(x + T) = f(x). Если T — период, то и любой ненулевой целый кратный nT также является периодом, поскольку повторение можно выполнить несколько раз. Среди положительных периодов выбирают наименьший, если такой существует.

По графику можно заметить симметрию, направление движения и повторяемость фрагментов. Симметрия относительно Oy указывает на возможную чётность, а симметрия относительно начала координат — на возможную нечётность. Однако график обычно даёт наблюдение, а точное доказательство требует обратиться к определениям и формулам.

Основные свойства функций

Сначала определите, какое свойство нужно проверить, затем найдите соответствующий признак во втором столбце. Третий столбец помогает быстро прочитать график, но при доказательстве следует опираться на формулу или на сравнение любых двух точек.

Разбор задач

Задача 1. Чётность функции

Определить, является ли функция f(x) = x² чётной, нечётной или ни той ни другой. Область определения этой функции — все действительные числа.

1. Область определения симметрична относительно нуля: вместе с любым x в неё входит −x. Значит, проверка чётности и нечётности возможна.
2. Вычислим f(−x) = (−x)² = x². Получившееся выражение совпадает с f(x).
3. Следовательно, условие чётности выполнено. Дополнительно f(−x) не равно −x² для всех ненулевых x, поэтому функция не является нечётной.

Ответ: функция f(x) = x² чётная.

Задача 2. Промежутки монотонности

Установить промежутки возрастания и убывания функции f(x) = (x − 2)² по графику. Вершина параболы находится в точке с абсциссой x = 2.

1. Разобьём область определения в точке минимума x = 2. Получатся два промежутка: (−∞; 2) и (2; +∞).
2. На левом промежутке при движении слева направо график опускается к вершине. Значения функции уменьшаются, поэтому функция убывает на (−∞; 2).
3. На правом промежутке график поднимается от вершины вправо. Значения увеличиваются, поэтому функция возрастает на (2; +∞).

Ответ: функция убывает на (−∞; 2) и возрастает на (2; +∞).

Задача 3. Основной период

Проверить, является ли функция f(x) = sin(2x) периодической, и найти её основной период. Используем известное свойство синуса: sin(u + 2π) = sin u.

1. Подставим x + T: f(x + T) = sin(2x + 2T). Чтобы это выражение совпало с sin(2x), достаточно потребовать 2T = 2π.
2. Получаем T = π. Поэтому f(x + π) = sin(2x + 2π) = sin(2x) = f(x), то есть π является периодом.
3. Для синуса наименьший положительный сдвиг аргумента равен 2π. Аргументом здесь служит 2x, поэтому соответствующий сдвиг x равен π.

Ответ: функция периодическая, её основной период T = π.

Типичные ошибки

Проверять чётность или нечётность без анализа области определения — ошибка, потому что противоположный аргумент может не принадлежать этой области. Так бывает, например, у функций с ограничениями x ≥ 0. Сначала выпишите область определения и проверьте её симметрию относительно нуля.

Прохождение графика через начало координат ещё не доказывает нечётность. Это лишь необходимое условие для нечётной функции, поскольку f(0) = −f(0) даёт f(0) = 0. Проверьте равенство f(−x) = −f(x) для всех x.

Нельзя назвать функцию возрастающей по нескольким выбранным значениям. Такие значения могут случайно идти в нужном порядке, хотя на другом участке функция меняется иначе. Для проверки используйте любые x₁ и x₂ из рассматриваемого промежутка.

При поиске периода иногда находят подходящее число, но не проверяют его минимальность. Например, число 2T тоже является периодом, если T — период, но оно не будет основным. После нахождения периода ищите наименьший положительный вариант.

Связь с другими темами

Для изучения свойств функций нужно уметь находить область определения, подставлять значения аргумента и преобразовывать выражения. Эти навыки особенно нужны при вычислении f(−x) и f(x + T). Без них легко получить неверное сравнение.

Свойства функций помогают читать и строить графики, исследовать поведение функций, а также решать уравнения и неравенства. Например, монотонность позволяет оценивать число корней, а симметрия сокращает объём исследования. Периодичность помогает сводить бесконечную область к одному повторяющемуся участку.

Что запомнить

• Для чётности и нечётности область определения должна быть симметрична относительно нуля.
• У чётной функции f(−x) = f(x).
• У нечётной функции f(−x) = −f(x).
• Возрастание и убывание определяют на промежутках сравнением значений функции.
• Период T повторяет значения функции: f(x + T) = f(x).
• Основной период — наименьший положительный период.