"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Обратная функция восстанавливает аргумент по значению исходной функции: если f(x) = y, то f⁻¹(y) = x. Она существует, когда каждому значению соответствует единственный аргумент, то есть исходная функция взаимно однозначна на выбранной области. При переходе к обратной функции меняются местами область определения и множество значений, а графики отражаются относительно прямой y = x.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Обратная функция — функция, которая каждому значению y исходной функции ставит в соответствие значение x, для которого f(x) = y. Её обозначают f⁻¹, но запись не означает дробь 1/f(x). Такая функция восстанавливает аргумент по известному результату.
Взаимно обратные функции — функции f и g, для которых f(g(x)) = x и g(f(x)) = x на соответствующих областях определения. Это означает, что одна функция отменяет действие другой. Обозначения f⁻¹ и g в таком случае относятся к одной паре взаимно обратных функций.
Область определения функции — множество всех допустимых входных значений, которые можно подставить вместо аргумента. Для обратной функции оно совпадает с множеством значений исходной функции. Поэтому перед поиском обратной функции нужно знать, какие результаты действительно принимает исходная.
Множество значений функции — множество всех результатов её вычисления. У обратной функции это множество совпадает с областью определения исходной функции. Такая перестановка отражает сам смысл обратного соответствия: вход и результат меняются ролями.
Обратную функцию можно построить, если каждому значению исходной функции соответствует ровно один аргумент. Если два разных аргумента дают один результат, по этому результату нельзя однозначно восстановить исходный аргумент. Поэтому функцию рассматривают на таком промежутке, где она принимает каждое значение не более одного раза; такую функцию называют взаимно однозначной на выбранной области.
Формулу находят из уравнения y = f(x), потому что в нём явно записана связь аргумента и значения. Сначала меняют местами x и y: новый аргумент должен играть роль старого значения, а новое значение — роль старого аргумента. Затем выражают y через x, и полученная зависимость задаёт f⁻¹ при подходящей области определения.
Область определения и множество значений меняются местами не случайно. В исходной функции допустимыми входами были x, а результатами — y; в обратной функции бывшие результаты становятся входами. Поэтому, если f задана на множестве A и принимает значения из множества B, то f⁻¹ задана на B и принимает значения из A.
Точка (a, b) на графике исходной функции означает f(a) = b. Для обратной функции это равенство превращается в f⁻¹(b) = a, поэтому на её графике находится точка (b, a). Отражение каждой точки с перестановкой координат является симметрией относительно прямой y = x.
Композиция означает последовательное применение функций. Если сначала применить f, а затем f⁻¹, получится f⁻¹(f(x)) = x; в обратном порядке получаем f(f⁻¹(x)) = x. Равенства верны только для аргументов из соответствующих областей, иначе одна из операций может быть не определена.
| Характеристика | Исходная функция f | Обратная функция f⁻¹ |
|---|---|---|
| Область определения | Множество допустимых аргументов исходной функции | Множество значений исходной функции |
| Множество значений | Результаты исходной функции | Область определения исходной функции |
| Соответствие аргумента и значения | x переходит в f(x) | f(x) переходит обратно в x |
| Связь графиков | Симметрия относительно прямой y = x | |
| Композиция функций | f⁻¹(f(x)) = x и f(f⁻¹(x)) = x | |
В таблице сначала найдите, какие значения разрешены на входе исходной функции. Затем проверьте, что именно они становятся результатами обратной функции, а её входами служат результаты исходной. Последние две строки помогают проверить геометрический и алгебраический смысл обратимости.
Найдём функцию, обратную к f(x) = 3x − 6, и её область определения. Линейная функция с ненулевым коэффициентом при x принимает каждое значение ровно один раз. Значит, ограничивать исходную область определения не требуется.
Ответ: f⁻¹(x) = x/3 + 2, область определения: R.
Рассмотрим f(x) = x² при x ≥ 0. Ограничение нужно, потому что на всей числовой прямой числа x и −x дают одинаковый квадрат. На полуоси x ≥ 0 функция взаимно однозначна и принимает значения y ≥ 0.
Ответ: f⁻¹(x) = √x, x ≥ 0.
Найдём обратную к f(x) = (x − 1)/(x + 2). Исходная функция не определена при x = −2, а значение y = 1 она не принимает. Эти ограничения нужно учесть и после преобразований.
Ответ: f⁻¹(x) = (2x + 1)/(1 − x), область определения x ≠ 1; множество значений — все значения, кроме −2. У исходной функции область определения x ≠ −2, множество значений y ≠ 1.
Ошибка — считать обратной функцией 1/f(x). Так получают обратное число значения функции, а не восстанавливают аргумент. Проверьте себя подстановкой: для обратной функции должны выполняться композиции, а не произведение f(x) · f⁻¹(x) = 1.
Ошибка — искать обратную к любой функции на всей области определения. Если разные аргументы дают один результат, восстановление неоднозначно, как у x² на R. Проверьте горизонтальными линиями график или сравните значения f(a) и f(b) при a ≠ b.
Ошибка — не менять местами область определения и множество значений. Тогда в формулу обратной можно подставлять недопустимые значения или пропускать допустимые. После нахождения формулы отдельно выпишите множество значений исходной функции.
Ошибка — забывать ограничение исходной функции, например для y = x². Без выбора ветви ответ y = ±√x не является функцией, потому что одному входу соответствуют два результата. Укажите выбранный промежуток до преобразований и сохраните его смысл при выборе корня.
До изучения обратных функций нужно уметь находить область определения и множество значений, решать уравнения и читать графики. Эти навыки позволяют выбрать подходящий промежуток, не потерять ограничения и проверить взаимную однозначность.
Обратные функции помогают преобразовывать уравнения и неравенства, заменяя одну зависимость другой. Особенно важна эта идея при изучении показательной и логарифмической функций: они являются взаимно обратными.
Как понять, существует ли у функции обратная?
Проверьте, не принимается ли одно и то же значение при разных аргументах. Графически горизонтальная прямая должна пересекать график не более чем в одной точке на выбранной области.
Почему для x² нужно ограничивать область определения?
На всей числовой прямой функция x² не является взаимно однозначной: например, значения 2 и −2 дают один результат 4. Ограничение x ≥ 0 выбирает одну ветвь и позволяет получить единственную обратную функцию √x.
Как найти формулу обратной функции?
Запишите y = f(x), поменяйте местами x и y, затем выразите y через x. После этого укажите область определения новой функции, которая равна множеству значений исходной.
Почему у обратной функции меняются местами область определения и множество значений?
Аргумент исходной функции становится результатом обратной, а результат исходной — её аргументом. Поэтому допустимые входы и возможные значения при переходе меняются местами.
Как проверить, что найденная функция действительно обратная?
Вычислите f⁻¹(f(x)) и f(f⁻¹(x)) с учётом соответствующих областей определения. В обоих случаях должен получиться исходный аргумент.
§ 3. Обратные функции
