"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Обратная функция меняет местами роль аргумента и результата: по значению исходной функции она восстанавливает исходный аргумент. Она нужна, когда требуется обратить действие функции, например перейти от квадрата числа к его корню. Обратная функция существует, если исходная функция не принимает одно значение при разных аргументах. При её нахождении меняются местами область определения и множество значений, а графики отражаются относительно прямой y = x.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Обратная функция — функция, которая каждому значению исходной функции ставит в соответствие тот аргумент, при котором это значение получено. Если f(a) = b, то для обратной функции f⁻¹(b) = a. Обозначение f⁻¹ не означает дробь 1/f: оно указывает на действие, обратное исходному. Это понятие нужно, чтобы восстанавливать аргумент по результату вычисления функции.
Взаимно обратные функции — две функции, композиции которых в обоих направлениях дают тождественную функцию. Композиция — это применение одной функции к результату другой; тождественная функция возвращает исходное число: I(x) = x. Поэтому для взаимно обратных функций выполняются равенства f(f⁻¹(x)) = x и f⁻¹(f(x)) = x там, где выражения определены. Эти равенства помогают проверить найденную формулу.
Однозначная функция в контексте обратимости принимает разные значения на разных аргументах: равенство f(a) = f(b) возможно только при a = b. Например, для функции x² на всей числовой прямой это условие не выполнено, поскольку квадраты противоположных чисел равны. Если одному результату соответствуют два аргумента, обратная функция не сможет выбрать, какой из них вернуть. Поэтому это условие необходимо для существования обратной функции.
Область определения обратной функции — множество значений исходной функции, а множество значений обратной — область определения исходной. Область определения показывает, какие аргументы разрешено подставлять, а множество значений — какие результаты могут получиться. При обращении функции значения и аргументы меняются ролями. Это правило позволяет сразу установить ограничения для обратной функции.
Чтобы построить обратную функцию, нужно иметь возможность однозначно восстановить исходный аргумент по результату. Если два различных аргумента a и b дают одно значение, f(a) = f(b), то для этого значения обратной функции пришлось бы одновременно назначить ответы a и b. Но функция не может иметь два результата при одном и том же аргументе. Поэтому исходная функция должна быть взаимно однозначной на рассматриваемой области: разные аргументы должны давать разные значения.
Формулу обратной функции находят из равенства y = f(x). Сначала считают y известным результатом и решают уравнение относительно x: именно так выясняют, какой аргумент привёл к этому результату. Получив выражение x через y, меняют обозначение y на x, поскольку аргумент обратной функции принято обозначать x. Например, из y = 3x − 5 получаем x = (y + 5)/3, значит f⁻¹(x) = (x + 5)/3. В ходе решения нужно сохранять ограничения, возникшие из исходной формулы.
Область определения обратной функции состоит из тех чисел, которые исходная функция действительно может принимать. Другие числа нельзя подать на вход f⁻¹: для них не существует исходного аргумента, который функция f перевела бы в это число. А каждый допустимый результат обратной функции — это аргумент исходной функции, поэтому её множество значений совпадает с областью определения f. Эти перестановки следуют из смысла обращения, а не являются отдельным правилом вычисления.
Точки графика исходной функции имеют координаты (a; b), где b = f(a). На графике обратной функции соответствующая точка будет иметь координаты (b; a), потому что обратная функция меняет местами аргумент и значение. Отражение относительно прямой y = x как раз переставляет координаты каждой точки. Поэтому графики взаимно обратных функций симметричны относительно этой прямой. На графике из плана показаны y = 2x + 1, обратная к ней y = (x − 1)/2 и прямая y = x.
Функция x² не обратима на всей числовой прямой: например, результату 9 соответствуют аргументы 3 и −3. Но если ограничить исходную область условием x ≥ 0, каждому неотрицательному квадрату соответствует ровно один аргумент. Тогда при решении y = x² выбирают неотрицательный корень x = √y, и обратная функция имеет вид f⁻¹(x) = √x. Такое ограничение не меняет формулу исходной функции, но делает её обратимой на выбранной части области.
| Характеристика | Исходная функция y = f(x) | Обратная функция y = f⁻¹(x) | Связь между функциями |
|---|---|---|---|
| Область определения | Задана для исходной функции | Множество значений f | Область определения и множество значений меняются местами |
| Множество значений | Задано исходной функцией | Область определения f | Каждое исходное значение становится аргументом обратной |
| Формула получения | y = f(x) | В выражении y = f(x) выражают x через y, затем меняют обозначение y на x | Аргумент и значение меняются ролями |
| Композиция функций | f(f⁻¹(x)) = x | f⁻¹(f(x)) = x | Одна функция отменяет действие другой |
| Расположение графика | Точки (a; b) | Соответствующие точки (b; a) | Графики симметричны относительно y = x |
| Изменение монотонности | Возрастает или убывает | Сохраняет направление строгой монотонности | Возрастает вместе с исходной или убывает вместе с ней |
Пользуйтесь таблицей после того, как нашли формулу: сначала проверьте допустимые значения, затем поменяйте местами область определения и множество значений. Равенства для композиции служат проверкой, а сравнение графиков помогает увидеть обмен координатами.
Найдём функцию, обратную к f(x) = 3x − 5, и укажем области определения и множества значений обеих функций. Линейная функция с ненулевым коэффициентом при x принимает разные значения при разных аргументах, поэтому её можно обратить на всей числовой прямой. Область определения и множество значений исходной функции — все действительные числа. Вычислим формулу и проверим её подстановкой.
Деление на 3 допустимо при любом действительном x, а линейные функции f и f⁻¹ принимают все действительные значения. Поэтому область определения и множество значений каждой из них равны ℝ. Ответ: f⁻¹(x) = (x + 5)/3; для обеих функций область определения и множество значений — ℝ.
Для f(x) = x² на промежутке [0; +∞) найдём обратную функцию, её область определения и множество значений. Ограничение принципиально: если разрешить отрицательные x, одному положительному квадрату будут соответствовать два аргумента. На выбранном промежутке функция принимает только неотрицательные значения и каждому из них соответствует единственный неотрицательный аргумент. Поэтому корень нужно брать с неотрицательным знаком.
Исходная функция задана на [0; +∞) и принимает значения из [0; +∞). У обратной функции область определения также [0; +∞), а множество значений — исходный промежуток [0; +∞). Проверка: (√x)² = x при x ≥ 0, а √(x²) = x при x ≥ 0. Ответ: f⁻¹(x) = √x, область определения и множество значений обеих функций — [0; +∞).
Найдём обратную к f(x) = (2x − 1)/(x + 3), укажем ограничения и проверим обе композиции. У исходной функции знаменатель не должен обращаться в ноль, значит x ≠ −3. Чтобы найти обратную, решим уравнение относительно исходного аргумента; при этом деление на выражение с переменной может добавить ещё одно ограничение. Исходные значения функции не равны 2: равенство (2x − 1)/(x + 3) = 2 привело бы к −1 = 6.
Ответ: f⁻¹(x) = (3x + 1)/(2 − x), её область определения — x ≠ 2, множество значений — y ≠ −3. У исходной функции область определения x ≠ −3, множество значений y ≠ 2. Запреты согласуются с перестановкой области определения и множества значений.
Иногда обратную функцию принимают за 1/f(x), потому что слово «обратная» связывают с обратным числом. Но 1/f(x) меняет значение функции на дробь, а f⁻¹ восстанавливает аргумент. Проверьте смысл на примере: если f(2) = 7, то f⁻¹(7) = 2, а не 1/7.
Можно получить верную формулу, но забыть поменять местами область определения и множество значений. Это происходит, если сосредоточиться только на алгебраических преобразованиях. Сверьте допустимые входы и выходы: аргумент обратной функции должен быть возможным значением исходной, а её ответ — допустимым исходным аргументом.
Попытка обратить функцию, которая принимает одинаковое значение при разных аргументах, приводит к неоднозначному ответу. Например, из x² = 4 нельзя выбрать единственный исходный аргумент, если область включает и 2, и −2. Проверьте, пересекает ли горизонтальная прямая график больше одного раза; если да, ограничьте область определения и укажите это ограничение.
При решении уравнения для обратной функции часто теряют запрещённые значения или выбирают неверную ветвь корня. Причина — ограничения кажутся второстепенными после получения формулы. Подставьте найденное выражение в исходное уравнение, проверьте знаменатели и учтите исходную область: для x² при x ≥ 0 выбирают √x, а не обе ветви ±√x.
Для работы с обратной функцией пригодятся область определения и множество значений, способы задания функций, композиция функций и решение уравнений. Обращение помогает анализировать графики, решать уравнения и неравенства, а также разбираться с показательной, логарифмической и тригонометрическими функциями. Оно связано с преобразованиями графиков: обмен координат отражает график относительно y = x. Позднее эти идеи понадобятся при изучении сложных функций и их производных.
Всегда ли у функции существует обратная функция?
Нет. На своей области определения функция должна принимать разные значения при разных аргументах. Если это условие не выполнено, иногда можно ограничить область определения и получить обратную функцию.
Чем обратная функция отличается от функции 1/f(x)?
Обратная функция восстанавливает аргумент по значению исходной функции: если f(a) = b, то f⁻¹(b) = a. Выражение 1/f(x) — это обратное число к значению f(x), и оно определено лишь там, где f(x) ≠ 0.
Как понять по графику, существует ли обратная функция?
Проверьте, пересекает ли любая горизонтальная прямая график не более одного раза. Если найдётся горизонтальная прямая с двумя или более точками пересечения, разные аргументы дают одно значение и обратной функции на всей области нет.
Почему при нахождении обратной функции меняются область определения и множество значений?
Обратная функция принимает на вход результат исходной функции, поэтому её область определения состоит из значений, которые может принимать исходная. В ответе она возвращает аргумент исходной функции, поэтому её множество значений совпадает с областью определения исходной.
Зачем ограничивать область определения функции x^2?
На всей числовой прямой x² принимает одно значение для двух аргументов: например, 2² = (−2)². Если оставить только x ≥ 0, каждому неотрицательному значению квадрата будет соответствовать единственный аргумент, и обратной функцией станет y = √x.
3.1. Понятие обратной функции
