§ 9. Способы задания функции

Определения и обозначения

Аналитический способ задания функции — правило зависимости, записанное формулой, по которой находят значение функции для заданного аргумента. Например, если y = 2x − 3, то при x = 1 получаем y = −1. Такой способ нужен, когда требуется быстро вычислять значения и работать с общей зависимостью.

Табличный способ задания функции — представление зависимости в виде таблицы соответствующих значений аргумента и функции. Например, строка x: 0, 1 и строка y: 3, 5 означают пары (0; 3) и (1; 5). Таблица помогает находить конкретные значения, не выполняя каждый раз вычисления заново.

Графический способ задания функции — изображение зависимости на координатной плоскости в виде графика. Каждая его точка имеет координаты (x; f(x)): первая координата — аргумент, вторая — соответствующее значение функции. График нужен, чтобы наглядно видеть зависимость и считывать значения по координатам.

Словесный способ задания функции — описание правила зависимости величин словами или через условие задачи. Например: к фиксированной плате прибавляют сумму, зависящую от расстояния. Такое описание помогает понять реальную ситуацию и затем выразить её формулой, таблицей или графиком.

Как это устроено

Одна функция может быть задана несколькими способами, потому что каждый из них способен описывать одни и те же пары «аргумент — значение функции». Например, формула, таблица и график могут по-разному представлять правило y = x². Чтобы убедиться, что способы соответствуют одной функции, сравнивают значения при одних и тех же аргументах. Если хотя бы для одного аргумента результаты различаются, это уже не одна и та же зависимость.

При аналитическом задании формула даёт способ вычисления: подставляем вместо x число и выполняем действия. Но не всякое число можно подставить, поскольку некоторые выражения имеют ограничения. Например, в y = 1/(x − 2) нельзя брать x = 2: делить на ноль нельзя. Поэтому область допустимых значений — все аргументы, при которых формула определена, — нужно учитывать до вычислений и построения графика.

Таблица содержит лишь выбранные пары значений, а не обязательно все возможные пары функции. Это удобно, когда нужно узнать результат для указанных аргументов или подготовить точки для графика. Однако между строками могут быть другие значения, а сама таблица не всегда сообщает, по какому правилу они получены. По нескольким парам нельзя уверенно восстановить всю зависимость: разные формулы могут давать одинаковые результаты в перечисленных точках.

График составляют из точек, координаты которых имеют вид (x; f(x)), поэтому горизонтальная координата показывает аргумент, а вертикальная — значение функции. Чтобы найти f(a), на оси x находят a и смотрят, какой высоте соответствует точка графика. Чтобы определить аргументы, при которых функция равна заданному числу, например b, ищут точки графика на высоте y = b и считывают их координаты x. Такой способ нагляден, но точность считывания зависит от масштаба и аккуратности построения.

Словесное описание становится математической зависимостью, когда выделены две величины и понятно, как одна меняется при изменении другой. Сначала назначают обозначения, затем переводят слова в действия и записывают правило. После этого можно составить таблицу или изобразить график. Ограничения тоже берут из ситуации: расстояние не бывает отрицательным, а число предметов обычно должно быть целым.

Способы задания функции

Пользуйтесь таблицей, чтобы выбрать подходящий способ: формула удобна для расчётов, таблица — для отдельных значений, график — для наглядного анализа. Словесное описание помогает начать решение практической задачи. При любом переходе проверяйте, что правило и допустимые значения аргумента не изменились.

Разбор задач

Задача 1

Функция задана формулой y = 2x − 3. Составьте таблицу её значений при x = −1, 0, 1, 2 и изобразите соответствующие точки. Сначала вычислим значение функции для каждого заданного аргумента. Затем запишем пары координат, чтобы перенести их на плоскость.

1. При x = −1: y = 2 · (−1) − 3 = −5.
2. При x = 0: y = 2 · 0 − 3 = −3; при x = 1: y = 2 − 3 = −1.
3. При x = 2: y = 4 − 3 = 1. Таблица: x: −1, 0, 1, 2; y: −5, −3, −1, 1.
4. На координатной плоскости отметьте точки (−1; −5), (0; −3), (1; −1), (2; 1). В каждой точке сначала отложите x по горизонтали, затем y по вертикали.

Ответ: значения функции равны −5, −3, −1, 1; точки для графика: (−1; −5), (0; −3), (1; −1), (2; 1).

Задача 2

Даны пары значений (−2; 4), (−1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4). Найдите значение функции при x = −1 и аргументы, при которых y = 4, затем постройте график. Здесь нужные значения уже записаны в парах, поэтому сначала достаточно найти подходящие строки. Для построения каждая пара становится точкой с теми же координатами.

1. В паре, где первая координата −1, вторая равна 1, значит f(−1) = 1.
2. Ищем пары со второй координатой 4: это (−2; 4) и (2; 4). Следовательно, y = 4 при x = −2 и x = 2.
3. Отметьте на плоскости все пять точек: (−2; 4), (−1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4).
4. Не соединяйте точки автоматически: таблица задаёт только перечисленные значения, а характер зависимости между ними отдельно не указан.

Ответ: f(−1) = 1; при y = 4 аргумент x равен −2 или 2. График по данным условия — пять указанных точек.

Задача 3

Стоимость поездки складывается из фиксированной платы 100 рублей и 30 рублей за каждый километр пути. Задайте зависимость стоимости от расстояния словесно, формулой, таблицей для расстояний от 0 до 4 км и графически. Обозначим расстояние через s, а стоимость — через C. Поскольку расстояние неотрицательно, область допустимых значений здесь s ≥ 0.

1. Словами: стоимость равна 100 рублям плюс 30 рублей за каждый километр.
2. Формула: C = 100 + 30s, где s ≥ 0.
3. Подставим расстояния: при s = 0, 1, 2, 3, 4 получаем C = 100, 130, 160, 190, 220.
4. Таблица: s (км): 0, 1, 2, 3, 4; C (руб.): 100, 130, 160, 190, 220. Для графика отметьте точки (0; 100), (1; 130), (2; 160), (3; 190), (4; 220).

По смыслу расстояние может принимать и нецелые значения, поэтому зависимость между отмеченными точками продолжается. Ответ: C = 100 + 30s при s ≥ 0; таблица и точки графика приведены выше.

Типичные ошибки

Считать таблицу полным описанием функции. Несколько строк показывают только перечисленные пары, поэтому по ним нельзя автоматически узнать значения между строками или восстановить единственную формулу. Ошибку допускают, принимая конечный набор наблюдений за всё правило. Проверьте себя: отделите заданные значения от тех, о которых таблица ничего не сообщает.

Соединять точки графика без проверки. Если в таблице приведены отдельные значения, линия между ними может не соответствовать ситуации: например, количество людей обычно не принимает дробных значений. Соединение кажется естественным, если точки лежат рядом, но это не доказывает непрерывность зависимости. Перед соединением выясните, какие значения аргумента допустимы и что говорит условие задачи.

Не учитывать область определения формулы. Подстановка запрещённого значения может привести к делению на ноль или извлечению квадратного корня из отрицательного числа. Это случается, когда формулу воспринимают как правило для любого x. Проверьте знаменатели и подкоренные выражения до вычислений, а затем запишите ограничения для аргумента.

Менять местами координаты. Точка графика функции записывается как (x; f(x)): аргумент стоит первым, значение функции — вторым. Путаница возникает, когда читают точку только по вертикальному или горизонтальному положению. Для проверки назовите координаты вслух: сначала «сколько x», потом «чему равен y».

Связь с другими темами

Для работы с графиком нужны знания о координатной плоскости, построении точек и чтении их координат. Чтобы использовать формулу, нужно уметь подставлять числа в выражения и выполнять вычисления. Способы задания функции пригодятся при изучении свойств функций и построении графиков: по таблицам и формулам можно подготовить точки, а по графику — увидеть особенности зависимости. В текстовых задачах словесное описание переводят в формулу, таблицу или график, связывая математику с практическими величинами.

Что запомнить

• Функцию можно задать словесно, формулой, таблицей или графиком.
• Формула задаёт правило вычисления значения функции по аргументу.
• Таблица содержит отдельные пары соответствующих значений.
• График функции состоит из точек с координатами (x; f(x)).
• При любом способе задания нужно понимать, какие значения может принимать аргумент.
• Разные способы могут описывать одну и ту же функцию.
• Словесную зависимость часто переводят в формулу, таблицу и график.