§ 8. Определение числовой функции. Область определения, область значений функции

Определения и обозначения

Числовая функция — соответствие, при котором каждому допустимому значению аргумента x поставлено в соответствие единственное значение y. Записывают это так: y = f(x) или просто f(x). Такое определение позволяет однозначно вычислить результат для любого разрешённого аргумента.

Аргумент функции — независимая переменная x, которой задают значение из области определения. Именно аргумент подставляют в формулу или отмечают на горизонтальной оси графика. Изменяя x, мы проверяем, как меняется значение функции.

Область определения функции D(f) — множество всех значений аргумента, при которых функция задана. Она показывает, какие числа разрешено подставлять вместо x. Без определения этой области нельзя правильно описать функцию и вычислить её значения.

Область значений функции E(f) — множество всех значений, которые принимает функция при аргументах из области определения. В неё входят возможные результаты y, а не исходные значения x. Это множество помогает понять, каких высот достигает график функции.

Как это устроено

Функцию можно задать формулой, таблицей или графиком, потому что каждый из этих способов описывает связь между x и y. В таблице соответствие видно по парам чисел, в формуле его задаёт правило вычисления, а на графике — точки с координатами (x; y). Главное условие остаётся одним: одному допустимому x нельзя сопоставить два разных значения y.

Формула задаёт правило вычисления, но не всегда разрешает подставлять любое число. Например, делить на ноль нельзя, поэтому знаменатель дроби должен отличаться от нуля. Если под знаком корня стоит выражение чётной степени, оно должно быть неотрицательным, иначе действительного значения корня не существует.

Область определения находят до вычисления значений функции, потому что сначала нужно установить, какие подстановки вообще допустимы. Для этого выписывают каждое ограничение формулы и объединяют условия, которые должны выполняться одновременно. Например, если требуется x ≠ 2 и x ≥ 0, остаются числа от 0 до 2 и все числа больше 2.

Чтобы найти область значений, рассматривают результаты при всех x из области определения. Иногда их получают преобразованием формулы или оценкой выражения, а иногда перебирают значения по таблице. При задании графиком область значений — это множество ординат всех его точек, то есть проекций графика на ось y.

Области определения и значений зависят не только от записи формулы, но и от того, на каком множестве аргументов рассматривают функцию. Одна и та же формула y = x² на всех действительных числах имеет область значений [0; +∞), а на отрезке [−1; 2] — [0; 4]. Поэтому при чтении условия нужно учитывать способ задания и явно указанный набор аргументов.

Способы задания функции и связанные с ними множества

Способ задания подсказывает, где искать допустимые x и возможные y. Если функция задана формулой, сначала анализируют её ограничения; если таблицей — работают только с указанными аргументами. Для графика достаточно посмотреть, какие значения он покрывает на каждой координатной оси.

При работе с таблицей не следует добавлять значения, которых в ней нет. По графику учитывают все его точки, включая концы отрезков и промежутки между ними. Открытая точка обычно показывает, что соответствующее значение в множество не входит.

Разбор задач

Задача 1. Линейная формула

Условие: найдите область определения функции f(x) = 3x − 5. В этой формуле нет дробей, корней или других действий, которые могли бы запретить отдельные значения x.

1. Проверим, есть ли знаменатель: его нет, поэтому ограничения из-за деления отсутствуют.
2. Проверим наличие корня чётной степени: корней нет, значит, дополнительное неравенство составлять не нужно.
3. Следовательно, любое действительное число можно подставить вместо x.

Ответ: D(f) = R, то есть область определения — все действительные числа.

Задача 2. Дробная функция

Условие: найдите область определения функции f(x) = 1/(x − 2). Ограничение возникает потому, что знаменатель дроби не может быть равен нулю.

1. Приравняем знаменатель к нулю: x − 2 = 0.
2. Получаем запрещённое значение x = 2 и исключаем его из множества действительных чисел.
3. Все остальные значения не нарушают условие существования дроби.

Ответ: D(f) = R 2 или D(f) = (−∞; 2) ∪ (2; +∞).

Задача 3. Корень

Условие: для функции f(x) = √(4 − x²) найдите область определения и область значений. Сначала проверяем, когда корень имеет действительное значение, а затем исследуем сам корень.

1. Требуем 4 − x² ≥ 0, откуда x² ≤ 4 и −2 ≤ x ≤ 2. Это область определения.
2. Выражение под корнем изменяется от 0 до 4: ноль получается при x = −2 или x = 2, а максимум 4 — при x = 0.
3. Квадратный корень неотрицателен, поэтому из чисел от 0 до 4 под корнем получаются значения от 0 до 2.

Ответ: D(f) = [−2; 2], E(f) = [0; 2].

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что область определения всегда состоит из всех действительных чисел. Знаменатель, корень и другие элементы формулы могут ограничивать подстановки. Проверьте каждую операцию в записи до начала вычислений.

Ошибка — исключать x, при котором сама функция равна нулю. Нулевое значение функции допустимо: запрещённым является, например, нулевой знаменатель. Подставьте число именно в формулу и проверьте, существует ли результат.

Ошибка — путать область определения и область значений. Первая относится к аргументам x, а вторая — к результатам y. Полезно подписывать рядом с множеством букву: D — для x, E — для y.

Ошибка — записывать в область значений только несколько найденных результатов. Нужно учитывать все значения функции на всей области определения, включая промежуточные. Проверьте, не пропущен ли целый промежуток возможных y.

Связь с другими темами

Для изучения функции нужны знания о числовых множествах, действиях с действительными числами и условиях существования дробей и арифметических корней. Именно эти правила помогают установить, какие аргументы допустимы.

Области определения и значений используются при исследовании графиков, решении уравнений и изучении свойств функций. По ним можно понять, где существует график и какие результаты вообще могут появиться.

Что запомнить

• Функция каждому допустимому x ставит в соответствие ровно одно y.
• Аргумент обозначают x, значение функции — f(x) или y.
• Область определения — множество допустимых аргументов.
• Область значений — множество получаемых значений функции.
• Для нахождения области определения проверяют ограничения формулы.
• По графику область определения читают по оси x, а область значений — по оси y.