§ 15. Определение числовой функции. Область определения, область значений функции

Определения и обозначения

Числовая функция — правило, которое каждому числу из заданного множества ставит в соответствие ровно одно число. Такое правило позволяет по известному аргументу получить определённый результат. Функции используют, чтобы описывать зависимости между величинами.

Аргумент функции — независимая переменная, обычно обозначаемая буквой x; допустимые значения аргумента задаются областью определения. Аргумент выбирают из разрешённого множества и подставляют в правило. Поэтому знание аргумента позволяет найти соответствующее значение функции.

Значение функции — число, которое получается при подстановке допустимого значения аргумента; его обозначают f(x). Если задан конкретный аргумент, запись f(4), например, означает результат вычисления при x = 4. Значение функции также часто обозначают буквой y.

Область определения функции — множество всех значений аргумента, для которых функция задана; область значений — множество всех получающихся значений функции. Первая область отвечает на вопрос, что можно подставить, а вторая — что получится. Эти множества могут не совпадать.

Как это устроено

Для задания функции недостаточно написать только формулу: нужно указать, для каких чисел она действует. Например, выражение с делением не имеет смысла при нулевом знаменателе, поэтому такие аргументы нельзя включать в область определения. Кроме того, каждому допустимому аргументу должен соответствовать ровно один результат, иначе правило не будет функцией.

В записи y = f(x) буква x обозначает аргумент, а f — правило, по которому из x получают результат. Запись f(x) означает значение функции при выбранном аргументе, поэтому f(x) и y обозначают одно и то же число. Например, если f(x) = 2x − 3, то f(4) = 2 · 4 − 3 = 5.

Область определения иногда прямо задают условием: например, функция рассматривается на отрезке [−2; 3]. Если ограничение не указано, его проверяют по формуле. В дроби знаменатель должен быть не равен нулю, а под знаком чётного корня должно находиться неотрицательное выражение, потому что иначе результат не будет действительным числом.

Область значений получают после учёта области определения и самого правила. Нужно выяснить, какие выходные значения реально достигаются при всех разрешённых аргументах, а не просто перечислить числа, которые кажутся возможными. Одна и та же формула может давать разные области значений при разных ограничениях на x.

Основные понятия о числовой функции

Сначала по таблице определите, о каком множестве идёт речь: о входных числах или о результатах. Затем выберите способ нахождения — подстановку, проверку ограничений или исследование функции. Обозначения D(f) и E(f) могут использоваться для краткой записи областей.

Разбор задач

1. Для функции f(x) = 2x − 3 найдите f(4).

Нужно найти результат функции при конкретном аргументе. Число 4 подставляем вместо x, после чего выполняем действия по порядку. Получаем f(4) = 2 · 4 − 3 = 8 − 3 = 5.

1. Записываем формулу для указанного аргумента: f(4) = 2 · 4 − 3.
2. Умножаем 2 на 4 и вычитаем 3.
3. Получаем значение функции 5.

Ответ: f(4) = 5.

2. Найдите область определения функции f(x) = 1/(x − 5).

Ограничение появляется из-за знаменателя: делить на ноль нельзя. Приравниваем знаменатель к нулю и находим запрещённое значение x = 5. Все остальные действительные числа допустимы.

1. Записываем условие: x − 5 ≠ 0.
2. Решаем его: x ≠ 5.
3. Записываем область определения: (−∞; 5) ∪ (5; +∞).

Ответ: D(f) = (−∞; 5) ∪ (5; +∞).

3. Найдите область определения и область значений функции f(x) = x² на промежутке [−2; 3].

Промежуток уже задан в условии, поэтому он и есть область определения. На отрезке есть число 0, дающее наименьшее значение квадрата 0. Наибольший квадрат получается на конце с большим по модулю числом: 3² = 9, поэтому область значений — [0; 9].

1. Записываем область определения: D(f) = [−2; 3].
2. Находим минимум: f(0) = 0² = 0.
3. Сравниваем значения на концах: f(−2) = 4, f(3) = 9.
4. Делаем вывод: E(f) = [0; 9].

Ответ: D(f) = [−2; 3], E(f) = [0; 9].

Типичные ошибки

Смешивать области определения и значений. Так происходит, когда не различают вход функции и её результат. Проверьте себя вопросами: что можно подставить и что получилось после подстановки.

Оставлять значение, обнуляющее знаменатель. Его иногда включают, потому что оно кажется обычным числом. Подставьте подозрительное значение в знаменатель: если выходит ноль, оно запрещено.

Записывать все кажущиеся возможными результаты. Не каждое число обязательно достигается при допустимых аргументах. Для проверки найдите аргумент, который даёт выбранный результат, и убедитесь, что он разрешён.

Игнорировать ограничение на аргумент. Формулу применяют ко всем числам, хотя условие задаёт только промежуток или отдельное множество. Сначала выпишите область определения из условия, а уже затем ищите область значений.

Связь с другими темами

До изучения функции нужно уметь подставлять числа в буквенные выражения. Также пригодятся действия с рациональными и иррациональными выражениями, поскольку именно они часто задают правило функции.

Тема опирается на понятие множества и запись числовых промежутков. Скобки и точки на концах промежутка помогают показать, входят ли граничные значения в область.

Область определения и область значений необходимы при изучении графиков и свойств функций. По графику можно видеть допустимые значения x и соответствующие им значения y.

Что запомнить

• Функция каждому допустимому аргументу ставит в соответствие ровно одно значение.
• Аргумент обычно обозначают x, значение функции — f(x) или y.
• Область определения состоит из допустимых значений аргумента.
• Область значений состоит из значений, которые функция принимает.
• Для дробной функции знаменатель должен быть отличен от нуля.
• Ограничение на аргумент может изменить область значений.