"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г., П.В. Семенов (часть 1), Мордкович А.Г., Александрова А.Л., Мишустина Т.Н. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Степенная функция y = xⁿ задаёт зависимость между числом x и его натуральной степенью. Выбор показателя n меняет форму графика и поведение функции, но некоторые свойства остаются общими: область определения — все действительные числа, а график проходит через (0; 0) и (1; 1). По чётности показателя можно определить симметрию графика, множество значений и промежутки возрастания и убывания. Эти знания помогают строить и сравнивать графики, а также решать уравнения и неравенства.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степенная функция — функция, заданная формулой y = xⁿ, где n — натуральное число. Например, при n = 2 получаем y = x², а при n = 3 — y = x³; это разные функции с разными графиками. Показатель n указывает, в какую степень возводят аргумент x. Такое обозначение позволяет изучать сразу целое семейство похожих функций.
Чётная функция — функция, для которой при каждом x из области определения выполняется f(−x) = f(x). Значит, противоположные аргументы дают одинаковые значения функции. На графике точкам (x; y) соответствуют точки (−x; y), поэтому график симметричен относительно оси y. Проверка этого равенства помогает быстро установить вид симметрии.
Нечётная функция — функция, для которой f(−x) = −f(x). При замене аргумента на противоположный значение функции тоже меняет знак. Поэтому каждой точке (x; y) соответствует точка (−x; −y), и график симметричен относительно начала координат. Это свойство помогает строить часть графика, а затем дополнять её симметричной частью.
Монотонность показывает, как меняется функция при увеличении аргумента на выбранном промежутке. Если значения функции не убывают, она возрастает; если не возрастают — убывает. У степенных функций направление изменения зависит от чётности n и от того, с какой стороны от нуля находится x. Знание монотонности помогает находить значения и понимать форму графика.
Чтобы узнать, чётная функция или нечётная, заменим x на −x в формуле y = xⁿ. При чётном n множители −x можно сгруппировать в пары: произведение каждой пары равно x², поэтому (−x)ⁿ = xⁿ. При нечётном n после таких пар остаётся один множитель −x, и получается (−x)ⁿ = −xⁿ. Так чётность показателя определяет чётность самой функции.
Симметрия графика следует из равенства значений для противоположных аргументов. Если функция чётная, точки с координатами (x; y) и (−x; y) одинаково удалены от оси y, поэтому эта ось делит график на зеркальные части. Если функция нечётная, точке (x; y) соответствует (−x; −y), то есть точка, полученная поворотом на 180° вокруг начала координат. Этим и объясняется симметрия графика нечётной функции относительно начала координат.
Любое действительное число можно возвести в натуральную степень, поэтому область определения y = xⁿ — вся числовая прямая. При чётном n отрицательные множители объединяются в пары, так что результат неотрицателен; нуль достигается при x = 0, а любое положительное значение можно получить, выбрав подходящий x. Поэтому множество значений — [0; +∞). При нечётном n отрицательное число в нечётной степени остаётся отрицательным, а любое действительное значение получается, например, при x = ⁿ√y, поэтому множество значений — ℝ.
Если n чётное, при движении от больших отрицательных x к нулю модуль x уменьшается, а значит, уменьшается и xⁿ. После нуля при увеличении x степень, наоборот, растёт. Поэтому функция убывает на (−∞; 0] и возрастает на [0; +∞). При нечётном n порядок аргументов сохраняется и для отрицательных, и для положительных чисел: функция возрастает на всей числовой прямой.
При x = 0 любое натуральное число в степени даёт 0, а при x = 1 — 1; при x = −1 значение зависит от чётности n. Если показатели разные, сравнивайте степени с учётом модуля аргумента: при 0 < |x| < 1 каждое умножение на |x| уменьшает результат, а при |x| > 1 — увеличивает. Поэтому около нуля график с большим показателем прижимается к оси x сильнее, но за пределами x = −1 и x = 1 растёт быстрее. На рисунке для сравнения показаны графики y = x², y = x³ и y = x⁴.
| Свойство | n — чётное | n — нечётное |
|---|---|---|
| Область определения | ℝ | ℝ |
| Множество значений | [0; +∞) | ℝ |
| Чётность функции и симметрия графика | Чётная; симметрия относительно оси y | Нечётная; симметрия относительно начала координат |
| Монотонность | Убывает на (−∞; 0], возрастает на [0; +∞) | Возрастает на всей ℝ |
| Общие точки графиков | (0; 0), (1; 1), (−1; 1) | (0; 0), (1; 1), (−1; −1) |
Чтобы быстро описать график, сначала определите чётность n, а затем прочитайте соответствующие свойства в таблице. При проверке общих точек учитывайте значение функции в x = −1: оно равно 1 для чётного показателя и −1 для нечётного. Область определения у обеих групп одна и та же.
Определим область определения и множество значений функции y = x⁴, а также выясним, чётная она или нечётная. Сначала проверим, для каких x можно вычислить четвёртую степень. Затем рассмотрим знак результата и сравним значения при аргументах x и −x.
Четвёртую степень можно вычислить для любого действительного x, поэтому область определения — ℝ. Ограничений на аргумент нет. Следовательно, ни одно действительное число исключать не нужно.
При любом x имеем x⁴ ≥ 0, поскольку отрицательные множители можно объединить в пары. Ноль получается при x = 0, а любое положительное число a можно получить, взяв x = ⁴√a. Поэтому множество значений — [0; +∞).
Подставим −x: f(−x) = (−x)⁴ = x⁴ = f(x). Полученное равенство показывает, что функция чётная. Её график симметричен относительно оси y.
Ответ: область определения — ℝ; множество значений — [0; +∞); функция чётная.
Построим график функции y = x³ для значений аргумента −2, −1, 0, 1, 2 и опишем монотонность. Для построения найдём значение функции в каждой заданной точке. Затем отметим точки на координатной плоскости и учтём симметрию графика.
Вычислим значения: (−2)³ = −8, (−1)³ = −1, 0³ = 0, 1³ = 1, 2³ = 8. Получаем таблицу соответствий x: −2, −1, 0, 1, 2 и y: −8, −1, 0, 1, 8. Каждое значение нужно записывать в точку с тем же аргументом x.
Отметим точки (−2; −8), (−1; −1), (0; 0), (1; 1), (2; 8). Так как показатель 3 нечётный, график симметричен относительно начала координат: например, точкам (1; 1) и (−1; −1) соответствует такая симметрия. Через отмеченные точки проведём плавную линию.
При увеличении x значения x³ также увеличиваются, в том числе на отрицательной части числовой прямой. Следовательно, функция возрастает на всей ℝ. Полученные точки согласуются с этим свойством: их ординаты идут по возрастанию вместе с аргументами.
Ответ: точки графика перечислены выше; функция возрастает на всей числовой прямой.
Найдём общие точки графиков и сравним их положение при 0 < |x| < 1 и |x| > 1. Обе функции чётные, поэтому достаточно понять, как соотносятся значения при положительном модуле аргумента. Для общих точек отдельно проверим нули и значения при |x| = 1.
При x = 0 обе функции равны 0, значит, точка (0; 0) общая. При x = 1 обе степени равны 1, и при x = −1 также получаем 1. Поэтому ещё две общие точки — (1; 1) и (−1; 1).
Если 0 < |x| < 1, то умножение |x| на себя уменьшает число. Поэтому |x|⁴ < |x|², то есть x⁴ < x². Значит, график y = x⁴ расположен ниже графика y = x² в этих промежутках.
Если |x| > 1, умножение числа на себя увеличивает его, поэтому x⁴ > x². Теперь выше расположен график y = x⁴. Из-за чётности обеих функций сравнение одинаково справа и слева от оси y.
Ответ: общие точки — (−1; 1), (0; 0), (1; 1); при 0 < |x| < 1 выше график y = x², а при |x| > 1 — график y = x⁴.
Ошибка: считать, что функция с чётным показателем принимает отрицательные значения. Её допускают, ориентируясь на отрицательный аргумент и забывая, что чётное число отрицательных множителей можно объединить в пары. Проверка проста: возведите отрицательное число, например −2, в чётную степень — результат будет положительным, а при x = 0 равным нулю.
Ошибка: путать чётность показателя и чётность функции. Совпадение названий сбивает с толку, хотя связь такая: чётный показатель даёт чётную функцию, а нечётный — нечётную. Подставьте −x в формулу и проверьте, осталось ли значение тем же или изменило знак. Это надёжнее, чем определять вид функции только по названию степени.
Ошибка: утверждать, что при чётном n функция убывает на всей числовой прямой. Слева от нуля значения уменьшаются по мере приближения к нулю, но справа от нуля они растут. Иногда одну часть графика принимают за весь график. Проверьте значения в точках −2, −1, 0, 1: направление изменения после нуля меняется.
Ошибка: сравнивать xᵐ и xⁿ, не учитывая |x|. Для чисел между 0 и 1 большая степень меньше, а для числа больше 1 — больше; знак аргумента тоже может влиять на знак результата. Чтобы избежать ошибки, сначала сравните |x| с единицей, а затем учитывайте чётность показателей, если x отрицательное. Например, при |x| = ½ четвёртая степень меньше второй, а при |x| = 2 — больше.
Для работы со степенными функциями нужно уметь возводить положительные и отрицательные числа в натуральную степень и строить график по таблице значений. Здесь используются понятия функции, области определения, множества значений, чётности, возрастания и убывания. Позже эти знания помогут исследовать более сложные функции, выполнять преобразования графиков и решать уравнения и неравенства.
Почему график функции y = x^4 не опускается ниже оси x?
При любом действительном x четвёртая степень неотрицательна: если x отрицательное, его четвёртая степень всё равно положительна. При x = 0 значение равно нулю, поэтому график касается оси x в начале координат, но ниже неё не проходит.
Как по показателю степени понять, будет ли функция чётной или нечётной?
Подставьте −x вместо x и сравните результат с исходной формулой. Если n чётное, то (−x)ⁿ = xⁿ и функция чётная; если n нечётное, то (−x)ⁿ = −xⁿ и функция нечётная.
Почему график y = x² симметричен относительно оси y?
Для противоположных аргументов x и −x получаются одинаковые значения: (−x)² = x². Поэтому каждой точке графика справа от оси y соответствует точка с тем же значением y слева.
Как определить, где функция y = xⁿ возрастает и убывает?
Если n чётное, функция убывает на (−∞; 0] и возрастает на [0; +∞). Если n нечётное, она возрастает на всей числовой прямой. Это можно проверить и по таблице значений: при движении слева направо значения функции не уменьшаются.
Почему графики y = x² и y = x⁴ пересекаются не только в начале координат?
При x = 1 обе функции равны 1, а при x = −1 обе равны 1. Поэтому графики пересекаются в точках (−1; 1), (0; 0) и (1; 1).
§ 12. Функции у = х^n (n е N), их свойства и графики
