"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г., П.В. Семенов (часть 1), Мордкович А.Г., Александрова А.Л., Мишустина Т.Н. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Функция y = x⁻ⁿ, где n — натуральное число, задаётся формулой y = 1/xⁿ и не определена при x = 0. По чётности показателя легко определить область значений, знак, симметрию и расположение ветвей графика. Оси координат являются его асимптотами: при удалении от нуля значения приближаются к нулю, а около нуля неограниченно возрастают по модулю. Эти свойства помогают строить графики и решать неравенства.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Отрицательная степень означает обратную величину: x⁻ⁿ = 1/xⁿ при x ≠ 0. Она превращает степень с положительным показателем в дробь, а не просто добавляет знак минус. Это правило позволяет исследовать функцию с отрицательным показателем обычными свойствами дробей.
Функция y = x⁻ⁿ — степенная функция с натуральным показателем n, записанная в виде y = 1/xⁿ. Каждому допустимому x соответствует одно значение y. Такая запись нужна, чтобы находить значения функции и строить её график.
Область определения функции — все значения аргумента, при которых формула имеет смысл. Для y = x⁻ⁿ это все действительные числа, кроме нуля: x ≠ 0. Исключение появляется потому, что ноль не может быть знаменателем дроби.
Чётность функции проверяют сравнением f(−x) с f(x) и −f(x). Если f(−x) = f(x), функция чётная; если f(−x) = −f(x), нечётная. Для x⁻ⁿ результат зависит от того, чётно или нечётно число n.
Формула y = x⁻ⁿ превращается в y = 1/xⁿ по правилу отрицательной степени. При x = 0 знаменатель xⁿ равен нулю, поэтому значение функции не существует. Именно поэтому в области определения появляется разрыв, а прямая x = 0 становится особой границей графика.
Знак функции определяется знаменателем. Если n чётное, то xⁿ положительно и при x > 0, и при x < 0, поэтому y всегда положительно. Если n нечётное, степень сохраняет знак числа x, так что при отрицательном x значение y отрицательно, а при положительном — положительно.
Чтобы установить симметрию, подставим вместо x число −x: f(−x) = (−x)⁻ⁿ = 1/(−x)ⁿ. При чётном n знаменатель не меняется, поэтому f(−x) = f(x), и график симметричен относительно оси Oy. При нечётном n знаменатель меняет знак, поэтому f(−x) = −f(x), а симметрия происходит относительно начала координат.
При увеличении |x| знаменатель xⁿ по модулю становится большим, поэтому дробь 1/xⁿ приближается к нулю. При приближении x к нулю знаменатель становится очень маленьким, и модуль дроби неограниченно возрастает. Отсюда следуют две асимптоты: x = 0 и y = 0, к которым график приближается, но обычно не пересекает.
Показатель n влияет на скорость изменения функции. При |x| > 1 увеличение n делает дробь меньше, а при 0 < |x| < 1 — увеличивает её модуль, поскольку возведение маленького числа в более высокую степень сильнее приближает его к нулю. Поэтому графики с большими показателями плотнее прижимаются к координатным осям.
| Свойство | n чётное | n нечётное |
|---|---|---|
| Область определения | Все действительные x, кроме 0 | Все действительные x, кроме 0 |
| Множество значений | (0; +∞) | Все действительные числа, кроме 0 |
| Чётность функции и симметрия графика | Чётная; симметрия относительно Oy | Нечётная; симметрия относительно начала координат |
| Знак функции при x > 0 и x < 0 | y > 0 при обоих знаках x | Знак y совпадает со знаком x |
| Промежутки монотонности | Возрастает на (−∞; 0), убывает на (0; +∞) | Убывает на (−∞; 0) и на (0; +∞) |
| Поведение при x → 0 и |x| → ∞ | y → +∞ при x → 0; y → 0 при |x| → ∞ | |y| → ∞ при x → 0; y → 0 при |x| → ∞ |
| Асимптоты | x = 0 и y = 0 | x = 0 и y = 0 |
Таблица помогает быстро определить вид графика, не вычисляя много точек. Сначала выясните чётность показателя и знак функции, затем используйте симметрию и промежутки монотонности. Для точного построения достаточно отметить несколько значений и учесть асимптоты.
Для функции y = x⁻² нужно записать формулу в виде дроби, найти область определения и вычислить значение при x = 2. Отрицательный показатель заменяем обратной величиной. Нулевое значение аргумента проверяем отдельно.
Ответ: y = 1/x²; D(y) = R без {0}; при x = 2 значение функции равно 1/4.
Рассмотрим функцию y = x⁻³ и определим её чётность, знак при x < 0 и четверти, в которых расположен график. Показатель 3 нечётный, поэтому отрицательное значение аргумента сохраняет свой знак при возведении в степень. Это сразу подсказывает расположение ветвей.
Ответ: функция нечётная, при x < 0 значение y отрицательно, график расположен в I и III координатных четвертях и симметричен относительно начала координат.
Построим график y = x⁻² и решим неравенство x⁻² ≥ 1/4. Поскольку показатель чётный, график имеет две положительные ветви и симметрию относительно оси Oy. Сначала найдём точки, где график равен правой части неравенства.
Ответ: x ∈ [−2; 0) ∪ (0; 2].
Включают x = 0 в область определения. Так происходит, когда забывают перейти от отрицательной степени к дроби. Проверьте знаменатель: если он равен нулю, такое значение исключается.
Считают, что x⁻ⁿ = −xⁿ. Минус в показателе означает обратную величину, а не отрицательный знак перед степенью. Всегда заменяйте выражение на 1/xⁿ и только потом вычисляйте.
Полагают, что все функции x⁻ⁿ чётные. Это верно только при чётном n, потому что именно тогда (−x)ⁿ = xⁿ. Для проверки найдите f(−x) и сравните её с f(x) и −f(x).
Рисуют нечётный график не в тех четвертях. Ошибка появляется, если не проверить знак дроби при отрицательном x. При нечётном n знак y совпадает со знаком x, поэтому ветви находятся в I и III четвертях.
Для изучения функции нужны свойства степеней с натуральными показателями и правило x⁻ⁿ = 1/xⁿ. Также пригодятся умения находить область определения, проверять чётность и строить график по его свойствам.
Эта тема связана со степенными функциями, преобразованием алгебраических выражений и графическим решением уравнений и неравенств. Понимание асимптот и симметрии помогает исследовать более сложные дробно-рациональные функции.
Почему функция y = x⁻ⁿ не определена при x = 0?
По правилу отрицательной степени y = x⁻ⁿ = 1/xⁿ. При x = 0 знаменатель становится равным нулю, а деление на ноль невозможно.
Чем отрицательный показатель степени отличается от отрицательного значения функции?
Минус в показателе означает, что степень нужно заменить обратной величиной: x⁻ⁿ = 1/xⁿ. Отрицательное значение функции записывается знаком минус перед результатом, например −xⁿ, и это совсем другое выражение.
Как определить, будет ли функция y = x⁻ⁿ чётной или нечётной?
Нужно сравнить f(−x) с f(x) и −f(x). При чётном n получается f(−x) = f(x), поэтому функция чётная, а при нечётном n — f(−x) = −f(x), поэтому функция нечётная.
Почему график функции с чётным показателем расположен выше оси Ox?
При x ≠ 0 число xⁿ для чётного n положительно: отрицательное число в чётной степени тоже даёт положительный результат. Поэтому 1/xⁿ > 0, и обе ветви графика находятся выше оси Ox.
Как меняется график функции y = x⁻ⁿ при увеличении n?
При |x| > 1 значения функции быстрее приближаются к нулю. При 0 < |x| < 1 их модуль, наоборот, быстрее возрастает, поэтому график сильнее прижимается к осям.
§ 13. Функции у = х^-n (п е N), их свойства и графики
