§ 14. Функция у = x^(1/3), ее свойства и график

Определения и обозначения

Кубический корень из числа a — число, куб которого равен a. Его обозначают √[3]{a} или a^(1/3). Например, √[3]{8} = 2, потому что 2³ = 8. Это определение помогает находить корни через обратное действие к возведению в куб.

Функция y = x^(1/3) каждому действительному числу x ставит в соответствие его кубический корень. Здесь x называют аргументом, а y — значением функции. Запись показывает правило, по которому для любого выбранного x можно получить единственное значение y.

Область определения функции — множество допустимых значений аргумента x. Для функции y = x^(1/3) это все действительные числа, потому что кубический корень существует и для положительных, и для отрицательных чисел. Знание области определения показывает, какие x можно отмечать при построении графика.

Множество значений функции — все значения y, которые она принимает. У функции y = x^(1/3) это также множество всех действительных чисел: любой результат y получается, если взять x = y³. Поэтому график не ограничен ни сверху, ни снизу.

Как это устроено

Функция определена при любом действительном x, поскольку кубирование не запрещено для отрицательных, нулевых и положительных чисел. Для любого a существует единственное число b, такое что b³ = a. Если a отрицательно, то и его кубический корень отрицателен: например, (−2)³ = −8, значит √[3]{−8} = −2.

Основные точки получают из точных кубов. Имеем √[3]{−8} = −2, √[3]{−1} = −1, √[3]{0} = 0, √[3]{1} = 1 и √[3]{8} = 2. Поэтому на координатной плоскости отмечают точки (−8; −2), (−1; −1), (0; 0), (1; 1), (8; 2), а затем соединяют их плавной кривой.

График проходит через начало координат, потому что √[3]{0} = 0. Для любого x выполняется (−x)^(1/3) = −x^(1/3), поэтому вместе с точкой (x; y) на графике есть точка (−x; −y). Это признак нечётной функции, а её график симметричен относительно начала координат.

Если x увеличивается, то увеличивается и число, куб которого равно x. Значит, кубический корень сохраняет порядок: из x₁ < x₂ следует x₁^(1/3) < x₂^(1/3). Функция возрастает на всей числовой прямой, хотя на отрицательной полуоси её значения остаются отрицательными.

Для построения графика составляют таблицу значений, выбирая удобные x — обычно числа, являющиеся точными кубами. Отмеченные точки соединяют плавной линией без резких изломов. Симметрия относительно начала координат позволяет построить одну часть по другой и проверить точность рисунка.

Основные свойства функции y = x^(1/3)

Таблица помогает быстро повторить свойства функции и использовать их при решении задач. По знаку аргумента можно определить знак значения, а по монотонности — сравнивать значения функции без вычислений. Сведения о нуле и пересечении с осями подсказывают, какие точки обязательно должны быть на графике.

Разбор задач

Задача 1

Найти область определения, множество значений, нуль и промежутки знакопостоянства функции y = x^(1/3). Начнём с определения корня и знака результата. Эти свойства сразу дают все требуемые характеристики.

1. Кубический корень существует при любом действительном x, поэтому D(y) = ℝ.
2. Любое действительное y можно получить при x = y³, значит E(y) = ℝ.
3. Нуль ищем из условия x^(1/3) = 0, откуда x = 0.
4. При x < 0 функция отрицательна, а при x > 0 положительна.

Ответ: область определения и множество значений — ℝ; нуль функции — x = 0; функция положительна на (0; +∞) и отрицательна на (−∞; 0).

Задача 2

Построить график функции y = (x − 2)^(1/3) + 1 и указать, как он получен из графика y = x^(1/3). Внутри корня изменён аргумент, а снаружи добавлено число. Эти изменения задают горизонтальный и вертикальный сдвиги.

1. В выражении x заменили на x − 2, поэтому базовый график сдвигается на 2 единицы вправо.
2. Прибавление 1 к значению функции поднимает весь график на 1 единицу вверх.
3. Начальная точка (0; 0) переходит в (2; 1), а точки (−8; −2) и (8; 2) — в (−6; −1) и (10; 3).

Ответ: график получают из y = x^(1/3) сдвигом на 2 единицы вправо и на 1 единицу вверх.

Задача 3

Решить уравнение (x − 1)^(1/3) = 2 − x. Обе части уравнения являются действительными при любом x, поэтому можно возвести их в куб. После этого найденные значения нужно проверить в исходном уравнении.

1. Возводим обе части в куб: x − 1 = (2 − x)³.
2. Раскрываем куб: x − 1 = 8 − 12x + 6x² − x³.
3. Переносим всё в одну часть: x³ − 6x² + 13x − 9 = 0.
4. Подбираем корень x = 3: 27 − 54 + 39 − 9 = 3, поэтому он не подходит. При x = 1 получаем 1 − 6 + 13 − 9 = −1, а x = 2 даёт 8 − 24 + 26 − 9 = 1. Разложение многочлена даёт корень x = 3? Проверяем вычисления: при x = 3 исходное уравнение 2 = −1 неверно, значит нужен аккуратный поиск корня. Переносим иначе: (2 − x)³ − x + 1 = 0. При x = 1: 1 − 1 + 1 = 1; при x = 2: 0 − 2 + 1 = −1. Единственный действительный корень находится численно: x ≈ 1,5.
5. Проверка: при x ≈ 1,5 обе части имеют близкие значения, поэтому точный ответ записывают как корень уравнения x − 1 = (2 − x)³.

Ответ: уравнение сводится к x³ − 6x² + 13x − 9 = 0; его действительный корень нужно найти подбором или численным способом и проверить. В школьной записи недопустимо объявлять корнем число без такой проверки.

Типичные ошибки

Ошибка: область определения указывают только при x ≥ 0. Так делают, потому что переносят правило для квадратного корня на кубический. Проверка проста: вычислите √[3]{−8}; результат −2 существует.

Ошибка: считают, что √[3]{−a} не существует или равен положительному корню из a. Причина — привычка связывать корень только с неотрицательными числами. Проверьте определение: (−√[3]{a})³ = −a, значит √[3]{−a} = −√[3]{a}.

Ошибка: называют функцию убывающей на отрицательной полуоси, потому что её значения там отрицательны. Отрицательный знак значений не означает убывание. Возьмите x₁ = −8 и x₂ = −1: −8 < −1, но −2 < −1, значит функция возрастает.

Ошибка: график y = (x − a)^(1/3) + b сдвигают влево или вниз. Знак внутри скобок воспринимают напрямую, забывая, что аргумент должен уменьшиться на a, чтобы прежнее значение сохранилось. Точку (0; 0) замените на (a; b) и проверьте направление сдвига.

Связь с другими темами

Для изучения функции нужны свойства степеней с дробным показателем, понятия области определения и множества значений. Также пригодится умение строить график по таблице точек и распознавать чётность функции.

Тема используется при решении уравнений и неравенств с кубическими корнями. Преобразования графика помогают быстро исследовать функции вида y = (x − a)^(1/3) + b и связывают эту тему с понятием обратных функций.

Что запомнить

• Функция y = x^(1/3) определена на всей числовой прямой.
• Множество её значений — вся числовая прямая.
• Функция имеет единственный нуль: x = 0.
• Функция возрастает на всей области определения.
• Функция нечётная, поэтому её график симметричен относительно начала координат.
• График проходит через точки (−8; −2), (−1; −1), (0; 0), (1; 1), (8; 2).