"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г., П.В. Семенов (часть 1), Мордкович А.Г., Александрова А.Л., Мишустина Т.Н. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Итоговые темы алгебры 9 класса объединяют способы решения рациональных неравенств и систем уравнений, формулы прогрессий, основы вероятности и статистики. Они помогают не только вычислять, но и выбирать подходящий метод: учитывать ограничения выражений, исследовать знаки, находить общие решения и применять формулу по её условиям. Главное — следить за областью допустимых значений и проверять, что найденный ответ подходит исходной задаче.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Рациональное неравенство — неравенство, в котором есть дроби с многочленами или другие рациональные выражения. Сначала находят область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю. Это ограничение сохраняют до конца решения, чтобы случайно не включить в ответ запрещённые значения.
Система уравнений — несколько уравнений, которые должны выполняться одновременно. Её решением называют набор значений неизвестных, удовлетворяющий каждому уравнению системы. Это понятие нужно, например, когда две связи между величинами описывают одну задачу.
Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число d, называемое разностью. Её общий член: aₙ = a₁ + (n − 1)d, а сумма первых n членов: Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. Формулы позволяют находить дальние члены и сумму без последовательного сложения.
Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый следующий член получают умножением предыдущего на постоянное число q, называемое знаменателем. Общий член: aₙ = a₁qⁿ⁻¹; при q ≠ 1 сумма первых n членов равна Sₙ = a₁(1 − qⁿ)/(1 − q), а при q = 1 — Sₙ = na₁. Эти формулы полезны, когда величина каждый раз изменяется во столько-то раз.
В рациональном неравенстве значение выражения может измениться с плюса на минус, когда числитель или знаменатель обращается в ноль. Поэтому сначала находят нули числителя и знаменателя: они делят числовую прямую на промежутки, внутри которых знак не меняется. На каждом промежутке достаточно проверить знак в одной удобной точке. Нули знаменателя отмечают как запрещённые, а нули числителя включают только при нестрогом знаке неравенства.
У системы каждое уравнение задаёт собственное условие, поэтому решение системы — не все решения уравнений по отдельности, а только подходящие всем условиям сразу. Алгебраические методы превращают систему в уравнение с одной неизвестной, а затем помогают восстановить остальные значения. Графически каждое уравнение задаёт линию или другую кривую, и общие решения находятся в точках их пересечения. График наглядно показывает число и примерное положение решений, но точные значения обычно уточняют вычислениями.
У арифметической прогрессии разность соседних членов постоянна: a₂ − a₁ = d, a₃ − a₂ = d и так далее. Чтобы перейти от первого члена к n-му, нужно сделать n − 1 одинаковых шагов по d. Поэтому к a₁ прибавляют d, взятое n − 1 раз, и получают aₙ = a₁ + (n − 1)d. Если известны два члена, эту формулу можно применить к каждому и составить уравнения для неизвестных a₁ и d.
В геометрической прогрессии каждый переход к следующему члену — умножение на q. От a₁ до aₙ выполняют n − 1 таких переходов, значит, aₙ = a₁qⁿ⁻¹. Формула суммы получается при сложении членов, умноженных на последовательные степени q; при q ≠ 1 выражение сокращается до Sₙ = a₁(1 − qⁿ)/(1 − q). Если q = 1, все члены одинаковы, поэтому сумму находят простым умножением a₁ на n.
Метод выбирают по устройству задачи: выражения упрощают преобразованиями, многочлены раскладывают на множители, а повторяющуюся часть иногда заменяют новой переменной. Для систем пригодны подстановка, сложение и построение графиков; для последовательностей — формулы прогрессий. Выбор должен облегчать вычисления, но не отменяет проверки ОДЗ и найденных значений. Если один способ приводит к громоздким действиям, стоит проверить, не видна ли более простая структура.
| Тема | Основное понятие или формула | Условия применения | Что требуется уметь находить |
|---|---|---|---|
| Рациональные выражения и область допустимых значений | Дробь определена, если её знаменатель не равен нулю | Ограничения задают по исходному выражению | ОДЗ, значения выражения |
| Рациональные уравнения | Преобразуют уравнение, сохраняя равносильность; проверяют корни | Исключают нули исходных знаменателей | Корни, подходящие исходному уравнению |
| Рациональные неравенства и метод интервалов | Нули числителя и знаменателя делят прямую на промежутки | Знаменатель не равен нулю; учтён вид знака неравенства | Промежутки, на которых выражение имеет нужный знак |
| Системы уравнений | Решение — общая часть решений всех уравнений | Проверяют найденные значения в каждом уравнении | Пары значений или точки пересечения графиков |
| Арифметическая прогрессия | aₙ = a₁ + (n − 1)d; Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 | Разность соседних членов постоянна | Член прогрессии, разность, сумму |
| Геометрическая прогрессия | aₙ = a₁qⁿ⁻¹; при q ≠ 1: Sₙ = a₁(1 − qⁿ)/(1 − q) | Отношение соседних членов постоянно; при q = 1 сумму считают отдельно | Член прогрессии, знаменатель, сумму |
| Комбинаторные правила | Правило суммы и правило произведения | Выбор разбит на случаи или состоит из последовательных шагов | Число способов |
| Вероятность события | Для равновозможных исходов P(A) = m/n | Известно общее число исходов и число благоприятных исходов | Вероятность события |
| Статистические характеристики | Среднее, мода, медиана, размах | Даны числовые данные выборки | Характеристики набора данных |
Используйте таблицу как карту: сначала определите, к какой теме относится задача, затем проверьте условия применения формулы или метода. После вычислений проверьте ограничения исходного выражения и смысл полученного результата.
Решим неравенство (x − 2)(x + 1)/(x − 3) > 0. Здесь знак зависит от множителей числителя и знаменателя, поэтому удобно исследовать интервалы. Значение x = 3 запрещено, а x = 2 и x = −1 обращают числитель в ноль. Поскольку неравенство строгое, нули числителя в ответ не попадут.
Находим критические точки: −1, 2 и 3. Точка 3 исключается из ОДЗ, остальные делят прямую вместе с ней на четыре промежутка.
Проверяем знак, например, в каждом промежутке, учитывая знаки множителей. Получаем положительное выражение на (−1; 2) и (3; +∞), а на двух остальных промежутках оно отрицательно.
Записываем только промежутки с положительным знаком. Точки −1 и 2 не включаем из-за строгого знака, а 3 — из-за нулевого знаменателя.
Ответ: x ∈ (−1; 2) ∪ (3; +∞).
Решим систему x + y = 7, x² + y² = 25. Первое уравнение позволяет выразить одну переменную через другую, поэтому применим подстановку. После нахождения кандидатов проверим их в обоих уравнениях: это гарантирует, что пара подходит всей системе.
Из первого уравнения получаем y = 7 − x. Подставляем это выражение во второе: x² + (7 − x)² = 25.
Раскрываем скобки: 2x² − 14x + 24 = 0, или x² − 7x + 12 = 0. Разложение на множители даёт (x − 3)(x − 4) = 0, поэтому x = 3 или x = 4.
Находим y по формуле y = 7 − x. При x = 3 получаем y = 4, а при x = 4 — y = 3; обе пары удовлетворяют исходным уравнениям.
Ответ: (3; 4), (4; 3).
В арифметической прогрессии a₃ = 8 и a₁₀ = 29. Требуется найти первый член и сумму первых 20 членов. Разность между заданными членами равна семи шагам прогрессии, поэтому сначала из этих данных найдём d. Затем восстановим a₁ и используем формулу суммы.
Записываем формулу общего члена: a₃ = a₁ + 2d = 8, a₁₀ = a₁ + 9d = 29. Вычитаем первое равенство из второго: 7d = 21, значит, d = 3.
Подставляем d = 3 в a₁ + 2d = 8. Получаем a₁ + 6 = 8, поэтому a₁ = 2.
Находим двадцатый член: a₂₀ = 2 + 19 · 3 = 59. Применяем формулу суммы: S₂₀ = 20(2 + 59)/2 = 610.
Ответ: a₁ = 2, S₂₀ = 610.
Не учитывают знак выражения при умножении или делении неравенства. Если умножить обе части на неизвестное выражение, знак которого заранее не установлен, знак неравенства может измениться. Ошибка возникает, когда выражение считают положительным без проверки. Чтобы избежать её, сначала определите знак множителя или перенесите всё в одну часть и примените метод интервалов.
Не исключают запрещённые значения после преобразования рационального уравнения. Умножение на знаменатели может убрать дроби, но не делает допустимым значение, при котором исходный знаменатель равен нулю. Корень полученного уравнения иногда оказывается именно таким значением. Выпишите ОДЗ до преобразований и проверьте каждый найденный корень в исходном уравнении.
Путают разность d и знаменатель q. В арифметической прогрессии переход между членами — сложение с d, а в геометрической — умножение на q. Путаница обычно появляется потому, что обе величины описывают связь соседних членов. Проверьте тип последовательности: разности должны совпадать для арифметической, а отношения — для геометрической.
Записывают для системы решения уравнений по отдельности, не находя общую часть. Значение может удовлетворять одному уравнению, но нарушать другое. Такую ошибку допускают, если забывают о слове «одновременно» в определении системы. Подставьте каждую найденную пару во все уравнения или проверьте, соответствует ли она общей точке графиков.
Для решения этих задач нужны свойства степеней и дробей, разложение многочленов на множители, навыки решения линейных и квадратных уравнений и работа с координатной плоскостью. Дальше эти знания пригодятся при изучении функций, математического анализа, вероятности и статистики, а также в прикладных задачах. При подготовке к ОГЭ важно распознать тип задания, выбрать формулу или метод и проверить ограничения исходного выражения.
Почему найденное при решении рационального уравнения значение иногда приходится исключать?
При преобразованиях можно получить значение, при котором знаменатель исходного уравнения равен нулю. Такое значение не принадлежит области допустимых значений, поэтому его исключают, даже если оно удовлетворяет преобразованному уравнению.
Как понять, какой метод выбрать для решения системы уравнений?
Если одно уравнение легко выразить через одну переменную, удобно применить подстановку. Если уравнения удаётся сложить или вычесть так, чтобы переменная исчезла, подходит метод сложения; для наглядного приближённого ответа можно использовать графики.
Чем арифметическая прогрессия отличается от геометрической?
В арифметической прогрессии соседние члены отличаются на одно и то же число d. В геометрической прогрессии соседние члены связаны постоянным отношением q: каждый следующий получают умножением предыдущего на q.
Можно ли применять формулу суммы прогрессии, если число членов неизвестно?
Для численного ответа число членов или сведения, позволяющие его найти, необходимы. Если неизвестное число членов обозначить буквой, формулу можно записать символически и использовать вместе с другими условиями задачи.
Как проверить, что ответ задачи не содержит лишних решений?
Подставьте найденные значения в исходные уравнения или неравенство и проверьте каждое ограничение области допустимых значений. Для системы убедитесь, что пара удовлетворяет всем уравнениям одновременно; графический результат можно сверить подстановкой.
Основные результаты
