§ 15. Числовые последовательности

Определения и обозначения

Числовая последовательность — упорядоченный набор чисел, каждому члену которого соответствует свой номер. Упорядоченность означает, что важно не только, какие числа записаны, но и в каком порядке они стоят. Это понятие позволяет описывать числовые закономерности и находить числа по их месту.

Член последовательности — число, стоящее на определённом месте; его обозначают буквой с индексом, например aₙ. Индекс помогает отличить одно место от другого и коротко записывать члены. Поэтому вместо перечисления «первое число, второе число» используют обозначения a₁, a₂ и далее.

n-й член последовательности — член, имеющий номер n; запись aₙ указывает, как найти число на заданном месте. Например, a₃ означает третий член, а не число a, возведённое в третью степень. Эта запись нужна, когда требуется сформулировать общее правило для членов последовательности.

Рекуррентная формула — правило, позволяющее находить очередные члены последовательности через предыдущие. Она удобна, когда каждый новый член зависит от уже найденного. Чтобы начать вычисления, вместе с таким правилом задают начальный член или несколько начальных членов.

Как это устроено

Последовательность можно рассматривать как функцию, заданную на натуральных числах: номеру n сопоставляется значение aₙ. В обычной функции аргумент может принимать разные значения, а здесь в роли аргумента выступает номер члена. Такое представление помогает применять знакомую запись функции: каждому допустимому номеру соответствует ровно одно число.

Индекс показывает порядковый номер члена, а не степень: например, a₃ — третий член последовательности. Путаница возникает потому, что в других выражениях маленькая цифра справа сверху обозначает степень. Здесь цифра записана снизу и отвечает на вопрос «какое по счёту число?», поэтому a₃ нужно искать по правилу последовательности, а не возводить a в куб.

Последовательность задают перечислением первых членов, формулой n-го члена, описанием правила словами или рекуррентно; каждый способ подходит для разных задач. Перечисление наглядно показывает начало ряда, но не всегда позволяет понять, как найти далёкий член. Формула даёт прямой способ вычисления, словесное описание передаёт закономерность, а рекуррентное правило удобно, когда новый член строится из предыдущего.

По формуле n-го члена находят любой указанный член напрямую, подставляя его номер вместо n. Причина в том, что формула сразу связывает номер и соответствующее ему значение, поэтому обычно не требуется вычислять все предыдущие члены. Например, если дана формула aₙ = 2n − 1 и нужен a₇, достаточно заменить n на 7 и выполнить действия.

Чтобы задать последовательность рекуррентно, недостаточно правила перехода: нужно указать начальный член или начальные члены. Формула перехода сообщает, как получить следующий результат, но не определяет, откуда начать вычисление. Если стартовое значение изменить, при том же правиле получатся другие числа, поэтому без начальных данных последовательность не задаётся однозначно.

Способы задания числовой последовательности

Пользуйся таблицей, отталкиваясь от того, что известно в задаче: формула или список чисел. Если дан рекуррентный переход, сначала найди начальные данные — без них вычисления не начнутся. Для поиска далёкого члена проверь, можно ли воспользоваться прямой формулой вместо последовательного подсчёта всех предыдущих.

Разбор задач

Задача 1

Запишите первые пять членов последовательности, заданной формулой aₙ = 2n − 1. Формула связывает номер каждого члена с его значением. Чтобы получить первые пять чисел, подставим номера по порядку, начиная с 1.

1. Для первого члена подставляем n = 1: a₁ = 2 · 1 − 1 = 1.
2. Для второго и третьего: a₂ = 2 · 2 − 1 = 3; a₃ = 2 · 3 − 1 = 5.
3. Для четвёртого и пятого: a₄ = 2 · 4 − 1 = 7; a₅ = 2 · 5 − 1 = 9.

Ответ: 1, 3, 5, 7, 9. Значения получены в порядке номеров, поэтому это и есть первые пять членов последовательности.

Задача 2

Последовательность задана формулой aₙ = n² − 3n. Найдите a₄ и номер члена, равного 10. В первой части известен номер, а во второй — значение; поэтому сначала подставим номер, а затем составим уравнение. Найденный номер во второй части нужно проверить: он должен быть натуральным.

1. Для a₄ подставляем n = 4: a₄ = 4² − 3 · 4 = 16 − 12 = 4.
2. Чтобы найти номер члена, равного 10, приравниваем формулу к 10: n² − 3n = 10.
3. Переносим 10 в левую часть: n² − 3n − 10 = 0. Разлагаем: (n − 5)(n + 2) = 0, поэтому n = 5 или n = −2.
4. Номер последовательности должен быть натуральным, значит, подходит только n = 5.

Ответ: a₄ = 4; числу 10 равен пятый член. Отрицательный корень уравнения не является номером члена и потому не подходит.

Задача 3

Задано a₁ = 3 и aₙ₊₁ = 2aₙ − 1. Найдите первые пять членов и объясните, почему для вычисления a₅ нужны предыдущие члены. Здесь нет прямой формулы через номер: правило задаёт каждый новый член через предыдущий. Поэтому будем двигаться от известного a₁ шаг за шагом.

1. Начинаем с заданного значения: a₁ = 3.
2. Вычисляем следующий член: a₂ = 2 · 3 − 1 = 5.
3. Продолжаем: a₃ = 2 · 5 − 1 = 9, затем a₄ = 2 · 9 − 1 = 17.
4. Для пятого члена используем четвёртый: a₅ = 2 · 17 − 1 = 33.

Ответ: 3, 5, 9, 17, 33. Чтобы найти a₅, сначала нужно получить a₄, для него — a₃ и так далее, потому что формула связывает соседние члены, а не выражает a₅ напрямую через его номер.

Типичные ошибки

• Путают номер члена и его значение: n — номер, а aₙ — число, стоящее на этом месте. Это происходит, когда обе величины обозначаются числами. Проверяй, что именно требуется найти: если дано «пятый член», ищи a₅, а затем вычисляй его значение.

• Считают aₙ степенью a в степени n, хотя индекс обозначает номер члена. Путаницу вызывает расположение маленького символа рядом с буквой. Сверяйся с записью: индекс стоит снизу, а степень — сверху; для последовательности a₃ означает третий член.

• При вычислении по формуле подставляют не тот номер или начинают нумерацию с нуля, хотя в школьной записи обычно первый член имеет номер 1. Ошибка часто возникает при невнимательном чтении слова «первые». Перед вычислением выпиши номера 1, 2, 3 и проверь, что для aₖ подставлено n = k.

• Задают рекуррентное правило без начального члена и ожидают единственную последовательность. Одно и то же правило перехода может дать разные значения при разных стартах. Проверь, есть ли начальный член или набор начальных членов; если их нет, данных для однозначного вычисления не хватает.

Связь с другими темами

Для работы с последовательностями нужно знать натуральные числа и порядок их расположения: без номеров нельзя определить, какой член является первым или следующим. Также пригодится умение подставлять значения букв в выражения и выполнять вычисления. Эти навыки нужны как при поиске члена по формуле, так и при применении рекуррентного правила.

Понятие последовательности понадобится при изучении арифметической и геометрической прогрессий — это последовательности с особыми закономерностями перехода от одного члена к следующему. Последовательностями также описывают закономерности и вычислительные процессы, где результат одного шага связан с номером шага или с предыдущим результатом. Поэтому умение читать индексы и правила задаёт основу для дальнейших тем.

Что запомнить

• Числовая последовательность сопоставляет натуральным номерам числа.
• aₙ обозначает член последовательности с номером n.
• Номер члена и его значение — разные величины.
• Формула n-го члена позволяет находить нужный член напрямую.
• Рекуррентное правило связывает очередные члены последовательности.
• Для задания последовательности рекуррентно необходимы начальные данные.