"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г., П.В. Семенов (часть 1), Мордкович А.Г., Александрова А.Л., Мишустина Т.Н. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Арифметическая прогрессия — последовательность чисел, в которой каждое следующее число получают прибавлением одного и того же значения. Это значение называют разностью прогрессии. Зная первый член и разность, можно найти любой член последовательности, а затем вычислить сумму нескольких первых членов. Эти правила помогают описывать закономерности и решать задачи, где числа изменяются на равные шаги.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается прибавлением одного и того же числа к предыдущему. Например, в последовательности 3, 7, 11, 15 каждый раз прибавляют 4. Это определение позволяет распознать закономерность и продолжить последовательность.
Разность арифметической прогрессии — число d, равное разности любого члена и предыдущего: d = aₙ₊₁ − aₙ. Буквой aₙ обозначают член, стоящий на месте с номером n. Разность нужна, чтобы описать шаг изменения последовательности и по известным данным находить остальные члены.
Формула n-го члена — aₙ = a₁ + (n − 1)d; она позволяет найти член прогрессии по его номеру. Здесь a₁ — первый член, n — номер искомого члена, d — постоянная разность. Формула удобна, когда не требуется выписывать все члены по порядку.
Сумма первых n членов арифметической прогрессии обозначается Sₙ и вычисляется по формулам Sₙ = (a₁ + aₙ)n / 2 или Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d)n / 2. В первой формуле нужны первый и последний из складываемых членов, во второй — первый член и разность. Эти записи помогают выбрать способ вычисления суммы по имеющимся данным.
Постоянство разности соседних членов задаёт всю прогрессию, потому что каждый очередной член получается из предыдущего одним и тем же действием. Если известны первый член и разность, можно прибавлять d и получать члены один за другим. Например, при a₁ = 2 и d = 3 последовательность начинается так: 2, 5, 8, 11. Поэтому для описания всей последовательности достаточно этих двух данных.
В формуле n-го члена используется множитель n − 1, поскольку от первого члена до n-го нужно выполнить ровно n − 1 переходов. Например, от a₁ к a₂ — один переход, а от a₁ к a₅ — четыре. На каждом переходе прибавляется d, поэтому к первому члену добавляют (n − 1)d. Если умножить d на n, получится лишнее прибавление.
Разность может быть положительной, отрицательной или равной нулю, и знак d объясняет направление изменения членов. При d > 0 каждый новый член больше предыдущего, потому что к нему прибавляется положительное число. При d < 0 прибавляется отрицательное число, то есть каждый член уменьшается; при d = 0 ничего не меняется. Так можно заранее понять, возрастает прогрессия, убывает или остаётся постоянной.
Формулу суммы можно понять, если записать одни и те же члены сначала по порядку, а затем в обратном порядке. В каждой паре крайних членов сумма одинакова: a₁ + aₙ, a₂ + aₙ₋₁ и так далее, потому что при движении от краёв к середине один член увеличивается ровно настолько, насколько другой уменьшается. Если сложить эти две записи, получится n одинаковых пар, а исходная сумма окажется взята дважды. Поэтому Sₙ = (a₁ + aₙ)n / 2.
Формула суммы через первый член и разность получается из формулы через крайние члены, а не вводится отдельно. Для этого вместо aₙ подставляют выражение a₁ + (n − 1)d из формулы n-го члена. В скобках выходит a₁ + a₁ + (n − 1)d, то есть 2a₁ + (n − 1)d. Так получаем Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d)n / 2, когда последний член отдельно не задан.
| Что найти | Формула | Какие данные нужны |
|---|---|---|
| Разность | d = aₙ₊₁ − aₙ | Два соседних члена |
| n-й член | aₙ = a₁ + (n − 1)d | a₁, d и n |
| Сумма первых n членов через первый и последний члены | Sₙ = (a₁ + aₙ)n / 2 | a₁, aₙ и n |
| Сумма первых n членов через первый член и разность | Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d)n / 2 | a₁, d и n |
Сначала найди в таблице нужную величину и проверь, есть ли у тебя все данные из третьего столбца. Если чего-то не хватает, вычисли это по другой формуле: например, найди aₙ перед расчётом суммы. Затем подставь значения, сохраняя скобки и порядок действий.
Задача 1. Найдите разность арифметической прогрессии 7, 11, 15, … и запишите её следующий член. Нужно сравнить соседние члены: сначала определить, сколько прибавляют при переходе от 7 к 11. Затем эту же величину прибавить к последнему известному члену, 15. Поскольку члены идут с постоянным шагом, найденная разность подходит и для следующего перехода.
Ответ: d = 4, следующий член — 19. Проверка показывает, что 19 − 15 тоже равно 4, поэтому продолжение соответствует правилу прогрессии.
Задача 2. В арифметической прогрессии a₁ = 5 и d = 3. Найдите a₁₂. Здесь известны первый член и постоянный шаг, поэтому подходит формула n-го члена. Номер искомого члена равен 12, но число прибавлений разности будет на единицу меньше. После подстановки остаётся выполнить умножение и сложение.
Ответ: a₁₂ = 38. Число 33 показывает, насколько увеличился первый член после одиннадцати переходов по 3.
Задача 3. Найдите сумму первых 20 членов прогрессии, если a₁ = 4, а a₂₀ = 61. Известны первый и последний члены нужного отрезка последовательности, а также число слагаемых. Значит, формула суммы через крайние члены применима сразу. Не нужно находить разность или перечислять все двадцать членов.
Ответ: сумма первых 20 членов равна 650. Умножение на 10 вместо отдельного умножения на 20 и деления на 2 — это то же самое действие, выполненное удобнее.
Иногда разность находят в обратном порядке: вычисляют aₙ − aₙ₊₁ вместо aₙ₊₁ − aₙ. Так знак результата меняется, хотя члены прогрессии остаются прежними. Эту ошибку допускают, когда ориентируются только на слова «разность двух чисел». Проверь запись: вычитать нужно предыдущий член из следующего.
В формуле n-го члена могут написать a₁ + nd вместо a₁ + (n − 1)d. Причина — желание умножить разность на номер искомого члена, хотя первый член уже известен и до него переходов нет. Для самопроверки рассмотри случай n = 1: формула должна дать a₁. Выражение с nd этому условию не соответствует.
Другая ошибка — путать номер члена n с его значением aₙ. Например, подставить 12 вместо a₁₂ там, где требуется значение самого члена, или считать, что a₁₂ означает произведение a₁ и 12. Индекс здесь показывает место члена в последовательности. Перед вычислениями подпиши отдельно, какие числа являются данными, а что нужно найти.
При вычислении суммы иногда забывают умножить полусумму крайних членов на n или делят на 2 только один член. Это происходит, если формулу Sₙ = (a₁ + aₙ)n / 2 читают без скобок. Сначала сложи a₁ и aₙ, затем умножь их сумму на число членов и раздели результат на 2. Проверяй, что в ответе учтены все n слагаемых.
Для работы с арифметической прогрессией нужно уметь вычитать числа и понимать, как задают последовательности: списком членов или формулой. Здесь эти навыки помогают находить постоянную разность и определять член по его номеру. Формулы прогрессии применяются в задачах на закономерности и суммирование числовых данных, когда изменения происходят равными шагами. С геометрической прогрессией тему объединяет изучение последовательностей, но правило изменения другое: соседние члены там отличаются в постоянное число раз, а не на одно и то же число.
Как проверить, является ли последовательность арифметической прогрессией?
Вычти каждый член, начиная со второго, из предыдущего по порядку: из следующего вычитай предыдущий. Если все полученные разности одинаковы, последовательность является арифметической прогрессией. Для проверки достаточно сравнить несколько соседних пар, если известны все члены.
Может ли разность арифметической прогрессии быть отрицательной или нулевой?
Да. При отрицательной разности каждый следующий член меньше предыдущего, а при нулевой все члены равны. Положительная разность означает, что последовательность возрастает.
Почему в формуле n-го члена стоит n − 1, а не n?
Первый член уже задан, поэтому переходов от него к самому себе нет. Чтобы дойти до члена с номером n, нужно сделать n − 1 переходов, каждый раз прибавляя разность d.
Как найти разность, если известны два члена прогрессии, но они не соседние?
Если известны aₘ и aₙ, где n больше m, то между ними n − m переходов. Поэтому d = (aₙ − aₘ) / (n − m). Сначала вычти значения членов, затем раздели результат на число переходов.
Какую формулу суммы выбрать, если последний член прогрессии неизвестен?
Если известны первый член a₁, разность d и число членов n, используй Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d)n / 2. Если данных для этой формулы не хватает, сначала найди последний член по формуле aₙ = a₁ + (n − 1)d, а затем примени Sₙ = (a₁ + aₙ)n / 2.
§ 16. Арифметическая прогрессия
