§ 17. Геометрическая прогрессия

Определения и обозначения

Геометрическая прогрессия — последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается умножением предыдущего на одно и то же ненулевое число. Например, в последовательности 3, 6, 12 каждый следующий член вдвое больше предыдущего. Это определение позволяет отличить геометрическую прогрессию от других последовательностей, где числа могут просто возрастать или убывать.

Знаменатель геометрической прогрессии q — постоянное отношение любого её члена, начиная со второго, к предыдущему: q = bₙ₊₁ / bₙ. Буква bₙ обозначает член с номером n, а q показывает, во сколько раз меняется член при переходе к следующему. По знаменателю можно продолжить прогрессию или проверить, подходит ли последовательность под определение.

Формула n-го члена — bₙ = b₁qⁿ⁻¹. Она позволяет найти член с любым номером, зная первый член b₁ и знаменатель q, не выписывая все предыдущие числа. Это удобно, когда номер велик или требуется вычислить конкретный член последовательности.

Сумма первых n членов — результат сложения b₁, b₂, …, bₙ. Для её вычисления используют формулу, зависящую от первого члена, знаменателя и количества слагаемых. Отдельно рассматривают случаи q ≠ 1 и q = 1, потому что в формулах для них разные правила.

Как это устроено

По определению для перехода к следующему члену нужно умножить предыдущий на постоянное число q, поэтому bₙ₊₁ = bₙq. Если разделить обе части на bₙ, получится bₙ₊₁ / bₙ = q. Значит, отношение любой пары соседних членов одно и то же — именно этим геометрическая прогрессия отличается от последовательности с постоянной разностью. Для такой записи знаменатель предыдущего члена не должен быть нулём, иначе отношение определить нельзя.

Чтобы получить формулу n-го члена, последовательно выражаем члены через первый: b₂ = b₁q, b₃ = b₁q², b₄ = b₁q³. Каждый переход добавляет ещё один множитель q, поэтому у члена с номером n таких множителей n − 1. Отсюда bₙ = b₁qⁿ⁻¹. Проверка при n = 1 даёт b₁q⁰ = b₁, как и требуется для первого члена.

Пусть Sₙ = b₁ + b₂ + … + bₙ. Если q ≠ 1, умножим эту сумму на q: qSₙ = b₂ + b₃ + … + bₙ₊₁. При вычитании из второй записи первой почти все слагаемые сокращаются, и остаётся qSₙ − Sₙ = bₙ₊₁ − b₁. Поэтому Sₙ = (bₙ₊₁ − b₁) / (q − 1); подставив bₙ₊₁ = b₁qⁿ, получаем Sₙ = b₁(qⁿ − 1) / (q − 1). При q = 1 все члены одинаковы и равны b₁, так что сумма n одинаковых слагаемых равна nb₁.

Если известны два соседних члена, знаменатель находится делением последующего на предыдущий: q = bₙ₊₁ / bₙ. Затем можно умножать известный член на q, чтобы двигаться вперёд, или делить на q, чтобы восстанавливать предыдущие члены. Например, если соседние числа равны 6 и 12, то q = 2, а следующий член после 12 равен 24. При нулевом предыдущем члене деление не выполняется, поэтому сначала нужно проверить, допустимы ли данные как члены прогрессии.

Для трёх последовательных членов можно записать bₙ = bₙ₋₁q и bₙ₊₁ = bₙq. Тогда bₙ₋₁bₙ₊₁ = bₙ₋₁(bₙq) = (bₙ₋₁q)² = bₙ². Это объясняет свойство bₙ² = bₙ₋₁bₙ₊₁. Если знаки соседних членов разные, произведение может быть отрицательным, тогда как квадрат среднего неотрицателен; проверяй знаки и подстановку, а не делай вывод только по внешнему виду чисел.

Основные сведения о геометрической прогрессии

Сначала определите, что требуется найти: отдельный член, знаменатель или сумму. Затем выберите соответствующую строку таблицы и проверьте условия применения формулы, особенно значение q. При вычислениях удобно сначала записать подстановку, а уже потом выполнять действия.

Разбор задач

Задача 1. Последовательность 3, 6, 12, … является геометрической прогрессией. Найдите её знаменатель и следующие два члена. Чтобы продолжить последовательность, сначала проверим отношение известных соседних чисел, а затем будем повторять найденное умножение. Это помогает не угадывать числа по их росту, а опираться на правило прогрессии.

1. Находим отношение второго члена к первому: q = 6 / 3 = 2.
2. Проверяем следующее отношение: 12 / 6 = 2. Оно совпадает с первым, значит правило подтверждается.
3. Следующий член равен 12 · 2 = 24, а член после него — 24 · 2 = 48.

Ответ: q = 2; следующие два члена — 24 и 48.

Задача 2. В геометрической прогрессии b₁ = 5, q = 2. Найдите b₆. Здесь не нужно выписывать все члены: формула n-го члена сразу связывает нужный номер с первым членом и знаменателем. Важно определить, сколько переходов отделяет шестой член от первого.

1. Записываем формулу: bₙ = b₁qⁿ⁻¹.
2. Подставляем n = 6, b₁ = 5 и q = 2: b₆ = 5 · 2⁶⁻¹ = 5 · 2⁵.
3. Вычисляем степень: 2⁵ = 32, поэтому b₆ = 5 · 32 = 160.

Ответ: b₆ = 160.

Задача 3. Найдите сумму первых 8 членов геометрической прогрессии, если b₁ = 3 и q = 2. Знаменатель не равен единице, поэтому подходит формула суммы для q ≠ 1. Число слагаемых равно восьми, значит в формуле используем степень q⁸, а не q⁷.

1. Записываем формулу: Sₙ = b₁(qⁿ − 1) / (q − 1).
2. Подставляем данные: S₈ = 3(2⁸ − 1) / (2 − 1).
3. Вычисляем 2⁸ = 256, затем S₈ = 3 · 255 / 1 = 765.

Ответ: S₈ = 765.

Типичные ошибки

Ошибка: считать прогрессию геометрической только потому, что её члены увеличиваются или уменьшаются. Так можно пропустить последовательность, у которой рост не происходит в одинаковое число раз. Проверьте делением каждую пару соседних членов: все отношения должны совпадать.

Ошибка: записывать в формуле n-го члена степень n вместо n − 1. Тогда при n = 1 получится b₁q, а не первый член, и формула не пройдёт простую проверку. Подставьте номер 1: показатель должен стать нулём, а q⁰ равен 1.

Ошибка: путать знаменатель q с разностью соседних членов. Разность используют при описании арифметической прогрессии, а здесь переход задаётся умножением. Чтобы проверить себя, разделите последующий член на предыдущий и убедитесь, что результат постоянен.

Ошибка: применять формулу суммы с делением на q − 1, когда q = 1. В этом случае знаменатель дроби равен нулю, поэтому действие невозможно. Проверьте значение q до подстановки: если оно равно 1, используйте Sₙ = nb₁.

Связь с другими темами

Для работы с геометрической прогрессией нужны знания о последовательностях, степенях и буквенных формулах: без них трудно подставлять значения и находить нужный член. Как и арифметическая прогрессия, она задаёт постоянный способ перехода от одного члена к следующему, но вместо прибавления числа здесь выполняют умножение. Это удобно для описания повторяющегося изменения величины в несколько раз. Поэтому формулы встречаются в задачах на проценты, рост и уменьшение.

Что запомнить

• В геометрической прогрессии отношение соседних членов постоянно.
• Знаменатель находят делением последующего члена на предыдущий.
• bₙ = b₁qⁿ⁻¹.
• При q ≠ 1 сумму первых n членов находят по формуле Sₙ = b₁(qⁿ − 1) / (q − 1).
• При q = 1 сумма первых n членов равна nb₁.
• Для трёх последовательных членов выполняется bₙ² = bₙ₋₁bₙ₊₁.