3. Чётные и нечётные функции

Определения и обозначения

Чётная функция — это функция, для каждого x из области определения которой число −x также входит в область определения и выполняется равенство f(−x) = f(x). Значения функции при противоположных аргументах совпадают. Такое свойство помогает распознать симметрию графика и сократить вычисления.

Нечётная функция — это функция, для каждого x из области определения которой число −x также входит в область определения и выполняется равенство f(−x) = −f(x). При замене аргумента на противоположный значение меняет знак. Это позволяет исследовать одну часть графика по другой.

Область определения — множество всех допустимых значений аргумента x. Для чётной или нечётной функции она должна быть симметрична относительно нуля: если x принадлежит области определения, то и −x принадлежит ей. Без этого условия определения чётности и нечётности неприменимы.

Геометрический смысл свойств связан с графиком функции. График чётной функции симметричен относительно оси Oy, а график нечётной — относительно начала координат. Поэтому вид симметрии можно использовать как быстрый способ проверки по графику.

Как это устроено

Симметричность области определения необходима потому, что в формулах чётности и нечётности сравниваются f(x) и f(−x). Если −x не является допустимым аргументом, второе значение функции не существует. Например, у функции √(x + 1) область определения [−1; +∞), и вместе с некоторыми положительными числами их противоположные значения в неё не входят.

Проверку начинают с области определения, а не с преобразования формулы. Затем в выражение функции вместо x подставляют −x, не забывая заменить каждое вхождение переменной. Если получившееся выражение совпало с f(x), функция чётная, а если совпало с −f(x), функция нечётная.

Для чётной функции точка (x; f(x)) принадлежит графику, и из равенства f(−x) = f(x) следует принадлежность точки (−x; f(x)). Эти точки имеют одинаковые ординаты и противоположные абсциссы. Поэтому они являются зеркальными отражениями относительно оси Oy.

Для нечётной функции из точки (x; f(x)) получается точка (−x; −f(x)). При этом меняются знаки обеих координат, что соответствует симметрии относительно начала координат. Поворот графика на 180° вокруг этой точки оставляет его без изменений.

Функция может не быть ни чётной, ни нечётной, если не выполняется ни одно из двух равенств или область определения несимметрична. Одновременно чётной и нечётной может быть только функция, равная нулю на всей области определения: тогда f(x) = −f(x) возможно лишь при f(x) = 0. Ненулевая функция обладать обоими свойствами не может.

Признаки чётной и нечётной функций

Пользуйтесь таблицей как кратким алгоритмом: сначала сравните области определения, затем — формулы значений. Пример в последней строке помогает связать алгебраическое условие с видом симметрии графика.

Разбор задач

Задача 1. Определите, является ли функция f(x) = x² чётной, нечётной или ни той ни другой.

1. Область определения — все действительные числа, она симметрична относительно нуля.
2. Вычислим f(−x) = (−x)² = x².
3. Получили f(−x) = f(x), значит, функция чётная. Равенство f(−x) = −f(x) для ненулевых x не выполняется.

Ответ: функция чётная.

Задача 2. Определите чётность функции f(x) = x³ − 2x.

1. Область определения состоит из всех действительных чисел и симметрична относительно нуля.
2. Подставим −x: f(−x) = (−x)³ − 2(−x) = −x³ + 2x.
3. Вынесем минус: −x³ + 2x = −(x³ − 2x) = −f(x). Следовательно, функция нечётная.

Ответ: функция нечётная.

Задача 3. Определите, является ли функция f(x) = √(x + 1) чётной или нечётной.

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: x + 1 ≥ 0, поэтому x ≥ −1.
2. Область определения [−1; +∞) несимметрична относительно нуля: например, 2 входит в неё, а −2 — нет.
3. Уже по области определения видно, что сравнение f(x) и f(−x) невозможно для всех аргументов. Проверять равенства дальше не требуется.

Ответ: функция не является ни чётной, ни нечётной.

Типичные ошибки

Первая ошибка — сразу вычислять f(−x), не проверив область определения. Так можно получить формальное равенство, хотя противоположный аргумент не всегда допустим. Проверьте симметрию области до подстановки.

Вторая ошибка — заменять на −x только одну часть формулы или неверно раскрывать скобки. Особенно часто забывают, что (−x)² = x², а (−x)³ = −x³. После преобразований подставьте простое число и проверьте знак результата.

Третья ошибка — считать, что не являющаяся чётной функция обязательно нечётная. Между этими свойствами есть третий вариант: функция может не иметь ни одного из них. Сравните f(−x) по очереди с f(x) и −f(x).

Четвёртая ошибка — делать вывод по одному совпавшему значению. Чётность или нечётность требует равенства для каждого x области определения. Проверьте именно формулу, а не отдельную пару чисел.

Связь с другими темами

Для проверки свойств нужны навыки нахождения области определения и подстановки выражения вместо аргумента. Поэтому сначала повторите ограничения для дробей, корней и других формул.

Тема связана с симметрией относительно оси и начала координат: алгебраическое равенство объясняет геометрический вид графика. По графику иногда можно быстро предположить свойство функции.

Чётность и нечётность применяются при исследовании функций и построении графиков. Зная симметрию, можно построить только часть графика, а затем восстановить остальную.

Что запомнить

• Для чётной функции f(−x) = f(x).
• Для нечётной функции f(−x) = −f(x).
• Область определения чётной или нечётной функции симметрична относительно нуля.
• График чётной функции симметричен относительно оси Oy.
• График нечётной функции симметричен относительно начала координат.
• Функция может не быть ни чётной, ни нечётной.