"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Графики y = kf(x) и y = f(kx) строят по известному графику y = f(x), не вычисляя заново все значения функции. В первом случае меняются ординаты точек, во втором — абсциссы. Коэффициент k задаёт масштаб преобразования, а отрицательный знак добавляет отражение относительно одной из осей. Эти правила помогают быстро строить графики и не путать вертикальное и горизонтальное изменение.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Исходная функция f(x) — функция, график которой используют для построения графиков y = kf(x) и y = f(kx). Иными словами, это уже известный график, точки которого преобразуют по правилам. Такое обозначение позволяет не строить новую функцию с нуля.
Функция y = kf(x) — функция, значения которой получены умножением значений f(x) на число k. Аргумент x при этом остаётся тем же, меняется результат вычисления. Эта запись нужна, когда требуется изменить график по вертикали.
Функция y = f(kx) — функция, в которой аргумент исходной функции заменён на kx. Значение функции берётся при другом аргументе, поэтому меняется расположение точек по горизонтали. Такая запись помогает строить графики с горизонтальным растяжением или сжатием.
Коэффициент преобразования k — число, которое задаёт изменение графика. Рассматривают случаи k > 1, 0 < k < 1 и k < 0, потому что от величины и знака зависит масштаб и возможное отражение. Для масштаба удобно отдельно учитывать модуль |k|.
При переходе от y = f(x) к y = kf(x) абсциссы точек сохраняются, а ординаты умножаются на k: (x; y) переходит в (x; ky). Причина проста: при прежнем x значение функции f(x) теперь умножается на k. Поэтому каждая точка перемещается вверх или вниз вдоль вертикальной прямой с той же абсциссой.
Если k > 1 в формуле y = kf(x), график растягивается вдоль оси y в k раз. Расстояние каждой точки от оси x становится в k раз больше, поскольку её ордината умножается на k. При 0 < k < 1 ордината уменьшается по модулю, поэтому график сжимается к оси x.
Если k < 0 в формуле y = kf(x), ордината меняет знак: точка с положительным y оказывается ниже оси x, а точка с отрицательным — выше. Это и есть отражение относительно оси x. Одновременно множитель |k| изменяет вертикальный масштаб: его величина не исчезает из-за отрицательного знака.
При переходе к y = f(kx) сохраняется значение функции, но для него требуется другой аргумент. Если точка исходного графика имеет координаты (x₀; y), то в новом графике нужно решить kx = x₀, откуда x = x₀/k. Поэтому точка переходит в (x₀/k; y), а меняется именно абсцисса.
В формуле y = f(kx) при |k| > 1 абсциссы делятся на число больше единицы и становятся ближе к нулю. Из-за этого график сжимается к оси y. При 0 < |k| < 1 деление увеличивает модуль абсциссы, и график растягивается от оси y.
Отрицательное k в y = f(kx) меняет знак абсциссы: точка справа от оси y переходит в точку слева, а точка слева — вправо. Поэтому появляется отражение относительно оси y. Модуль |k| при этом по-прежнему определяет горизонтальный масштаб, так что отражение не заменяет сжатие или растяжение.
Например, для y = (2x − 1)² можно положить f(x) = x² и заметить, что аргумент равен 2x − 1, а не просто 2x. Если исходная точка имеет координаты (u; u²), то после замены 2x − 1 = u получаем x = (u + 1)/2. Значит, абсциссы сначала сжимаются вдвое, а затем увеличиваются на ½, то есть график сдвигается вправо на ½.
| Преобразование | Изменение координат точки | Результат при k > 1 | Результат при 0 < k < 1 | Результат при k < 0 |
|---|---|---|---|---|
| y = kf(x): координаты | (x; y) → (x; ky) | Абсцисса та же, ордината умножается на k | Абсцисса та же, ордината умножается на k | Ордината меняет знак и масштаб |
| y = kf(x): масштаб и отражение | Меняется y-координата | Вертикальное растяжение в k раз | Вертикальное сжатие к оси x | Отражение относительно оси x; масштаб задаёт |k| |
| y = f(kx): координаты | (x; y) → (x/k; y) | Абсцисса делится на k | Абсцисса делится на k | Абсцисса меняет знак и масштаб |
| y = f(kx): масштаб и отражение | Меняется x-координата | Горизонтальное сжатие к оси y | Горизонтальное растяжение от оси y | Отражение относительно оси y; масштаб задаёт |k| |
Сначала выбери строку с нужной формулой и посмотри, какую координату нужно изменить. Затем учти величину коэффициента и отдельно проверь его знак. Если k отрицателен, к изменению масштаба добавляется отражение.
Здесь удобно взять исходную функцию f(x) = x²: новая запись имеет вид y = 2f(x). Значит, значение каждого y удваивается, а x остаётся прежним. Выберем характерные точки исходной параболы, включая вершину и точки по обе стороны от неё.
Ответ: график y = x², растянутый вдоль оси y в 2 раза; его точки имеют координаты (x; 2y), если (x; y) лежала на исходном графике.
Формула записана как y = kf(x), где f(x) = |x|, а k = −0,5. Модуль коэффициента меньше единицы, поэтому по вертикали график сжимается вдвое. Минус меняет знак каждой ординаты, значит, получившийся график окажется отражён относительно оси x.
Ответ: график y = |x| сжат к оси x в 2 раза и отражён относительно этой оси; его вершина остаётся в точке (0; 0).
В аргументе стоит выражение 2x − 1, поэтому нельзя просто поделить абсциссы пополам и забыть о вычитании единицы. Обозначим абсциссу исходной точки буквой u, чтобы не смешивать её с новой абсциссой x. Для соответствующей точки нового графика должно выполняться 2x − 1 = u.
Ответ: это график y = x², сжатый по горизонтали в 2 раза и сдвинутый вправо на ½. Проверка вершины помогает заметить сдвиг: значение выражения 2x − 1 равно нулю при x = ½.
Для y = f(kx) иногда умножают абсциссы исходных точек на k. Так происходит потому, что в формуле заметен множитель k, но координату нужно находить из равенства kx = x₀, поэтому результат — x₀/k. Проверь себя, подставив новую абсциссу в аргумент: должно получиться прежнее x₀.
При |k| > 1 график y = f(kx) ошибочно растягивают по горизонтали. Путают действие множителя в аргументе с умножением самой координаты, хотя абсцисса делится на k и становится ближе к нулю. Проверка на точке с абсциссой 2 при k = 2 даёт новую абсциссу 1, то есть точка приближается к оси y.
Для отрицательного k иногда учитывают только отражение, забывая про масштаб. Минус действительно отвечает за смену знака координаты, но модуль коэффициента продолжает сжимать или растягивать график. Раздели действие на два шага: сначала рассмотри |k|, затем измени знак нужной координаты.
При y = kf(x) могут менять абсциссы вместо ординат. Это происходит, когда путают множитель перед функцией с множителем внутри аргумента. Проверь запись: если k стоит перед f(x), x остаётся на месте, а значение f(x) умножается на k.
Для работы с преобразованиями нужно уметь читать график: находить координаты точек и строить кривую по нескольким точкам. Эти навыки позволяют применить правило к уже известному графику, не вычисляя каждое значение функции заново. Особенно полезно проверять преобразование на вершинах, пересечениях с осями и других заметных точках.
Преобразования графиков пригодятся при построении сложных функций и исследовании их свойств. По изменению масштаба и отражению можно заранее понять, где окажутся характерные точки и как будет выглядеть график. Это помогает сравнивать функции и находить их особенности.
Почему в формуле y = f(kx) график сжимается, когда k больше единицы?
Чтобы получить прежнее значение функции f(x), аргумент в новой формуле должен удовлетворять равенству kx = x₀, где x₀ — прежняя абсцисса. Значит, новая абсцисса равна x₀/k и становится ближе к оси y. Поэтому график сжимается по горизонтали.
Как определить, какие координаты точек меняются при умножении функции на число?
Если число умножает всю функцию, как в y = kf(x), меняются ординаты: (x; y) переходит в (x; ky). Абсцисса остаётся прежней, потому что аргумент x не изменился.
Что происходит с графиком, если коэффициент k отрицательный?
При y = kf(x) знак минус отражает график относительно оси x, а модуль |k| задаёт вертикальный масштаб. При y = f(kx) знак минус отражает график относительно оси y, а |k| задаёт горизонтальный масштаб.
Чем отличаются преобразования y = kf(x) и y = f(kx)?
В y = kf(x) умножаются значения функции, поэтому меняются ординаты. В y = f(kx) изменён аргумент, поэтому меняются абсциссы: точка (x; y) исходного графика переходит в (x/k; y).
Как построить новый график, если известен только график исходной функции?
Выбери несколько точек исходного графика и измени координаты по правилу нужного преобразования. Для y = kf(x) умножь ординаты на k, а для y = f(kx) раздели абсциссы на k. Нанеси полученные точки и соедини их с учётом формы исходного графика.
4. Построение графика функции y = kf (x), y=f(kx)
