"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Графики y = f(x) + b и y = f(x + a) получают из графика y = f(x) простым переносом: первый — вверх или вниз, второй — влево или вправо. Форма исходного графика при этом не меняется. Зная, как меняются координаты его точек, можно строить новые графики без повторных вычислений, находить вершины и другие характерные точки, а также лучше понимать поведение функции.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
График функции — множество точек координатной плоскости с координатами (x; f(x)). При преобразовании графика меняется положение его точек, а координаты помогают проследить это изменение. Это понятие нужно, чтобы точно описать, какой график получится из исходного.
Вертикальный перенос — переход от y = f(x) к y = f(x) + b, при котором каждую точку перемещают на b единиц вдоль оси y. Число b показывает и величину, и направление сдвига. По этому правилу можно строить новый график, не меняя абсциссы его точек.
Горизонтальный перенос — переход от y = f(x) к y = f(x + a), при котором каждую точку перемещают на −a единиц вдоль оси x. Число внутри скобок связано со сдвигом противоположным знаком. Это определение помогает не перепутать направления, когда меняется аргумент функции.
Параллельный перенос графика — перемещение всех его точек на один и тот же вектор без изменения формы и размеров. Вектор задаёт, насколько и куда сдвигается каждая точка. Понятие объединяет вертикальный и горизонтальный переносы и позволяет строить график по характерным точкам.
В записи y = f(x) + b аргумент функции остаётся прежним: в точке с абсциссой x вычисляется то же значение f(x), что и раньше. К нему прибавляется число b, поэтому ордината точки становится f(x) + b. Значит, точка (x; f(x)) переходит в (x; f(x) + b), а её абсцисса не меняется. Так изменение только значения функции приводит к вертикальному переносу.
Направление сдвига зависит от знака числа b. Если b положительно, к каждой ординате прибавляется положительное число, поэтому все точки поднимаются; если b отрицательно, каждая ордината уменьшается на |b|. Например, при b = −4 график опускается на 4 единицы. Проверить направление можно на любой точке: сравнить её прежнюю и новую ординаты.
В выражении f(x + a) число прибавляется не к значению функции, а к аргументу. Чтобы получить прежнее значение f(x), нужно подставить в новую формулу такое число, чтобы x + a совпало с прежним аргументом. Для этого новая абсцисса должна быть на a меньше: (x − a) + a = x. Поэтому при a > 0 график сдвигается влево, а при a < 0 — вправо.
Именно так получается правило перехода точек: точка (x; f(x)) исходного графика становится точкой (x − a; f(x)) нового. Ордината сохраняется, потому что значение функции остаётся прежним, а абсцисса меняется на −a. Например, при переходе к y = f(x + 3) точка с абсциссой x перемещается на 3 единицы влево. Это объясняет, почему знак внутри скобок действует противоположно направлению сдвига.
При любом из этих преобразований все точки перемещаются одинаково, поэтому расстояния и форма графика сохраняются. Для построения достаточно выбрать характерные точки исходного графика — например, вершину параболы или точки пересечения с осями — и перенести их по соответствующему правилу. Затем через новые точки проводят график той же формы. Так не нужно заново вычислять значения функции для множества аргументов.
| Функция | Изменение координат точки (x; f(x)) | Направление переноса | Пример при положительном параметре |
|---|---|---|---|
| y = f(x) + b | Точка переходит в (x; f(x) + b) | Вверх при b > 0, вниз при b < 0 | y = f(x) + 2 — вверх на 2 единицы |
| y = f(x + a) | Точка переходит в (x − a; f(x)) | Влево при a > 0, вправо при a < 0 | y = f(x + 2) — влево на 2 единицы |
Сначала найдите в формуле, где стоит параметр: рядом с функцией или внутри аргумента. Затем по таблице определите, какая координата изменится, и проверьте направление переноса по знаку параметра. При построении перенесите на новые места несколько характерных точек.
Исходный график — парабола y = x² с вершиной в точке (0; 0). Число 2 прибавлено к значению функции, а не к аргументу, поэтому сдвиг будет вертикальным. Каждая ордината увеличится на 2, а абсцисса останется прежней.
Ответ: парабола y = x², сдвинутая вверх на 2 единицы; её вершина — (0; 2).
Число 3 находится внутри скобок вместе с x, значит меняется аргумент функции. Чтобы получить тот же квадрат, что и в y = x², нужно взять новое значение x на 3 меньше исходного. Поэтому перенос направлен влево, хотя в формуле стоит знак плюс.
Ответ: график y = x², сдвинутый влево на 3 единицы; новая вершина — (−3; 0).
В формуле одновременно меняются аргумент и значение функции. Выражение x − 2 можно записать как x + (−2), поэтому соответствующий горизонтальный перенос направлен вправо на 2 единицы. Прибавление 1 снаружи функции затем поднимает график на 1 единицу.
Ответ: график y = f(x) сдвигается вправо на 2 и вверх на 1; образ точки (−1; 4) — (1; 5).
График y = f(x + a) иногда сдвигают вправо при a > 0, ориентируясь только на знак плюс. Ошибка возникает потому, что знак внутри аргумента действует противоположно ожидаемому направлению: для прежнего значения функции абсциссу нужно уменьшить. Проверьте себя подстановкой: новое значение x должно удовлетворять равенству x + a = прежняя абсцисса.
В формуле y = f(x) + b можно ошибочно менять аргумент, хотя число b прибавлено к значению функции. Это происходит, если не различать выражения внутри и вне скобок функции. Сравните координаты точки: при таком преобразовании x остаётся тем же, а меняется только f(x).
При переносе графика y = f(x + a) иногда оставляют абсциссу неизменной или прибавляют к ней a с тем же знаком. Причина — забытый переход к новой точке, где значение аргумента внутри функции должно совпасть со старым. Запишите равенство xнов + a = xстар: из него следует xнов = xстар − a.
Ещё одна ошибка — менять форму графика или масштаб осей вместо переноса. Её допускают, когда строят новый график заново и случайно не сохраняют расстояния между точками. Проверьте себя: каждая точка должна получить одно и то же смещение, а исходные расстояния и форма графика — сохраниться.
Для работы с переносами нужно уметь читать координаты точек графика и строить его по известному графику или таблице значений. Эти навыки позволяют выбрать характерные точки и правильно изменить их координаты. Без понимания абсциссы и ординаты легко перепутать горизонтальный и вертикальный сдвиги.
Правила переноса пригодятся при построении графиков квадратичной и других функций, а также при поиске их нулей и промежутков возрастания. После сдвига можно определить, где график пересекает ось x и как меняется его положение. Особенно удобно переносить уже знакомую параболу, не строя её каждый раз с нуля.
Почему график y = f(x + 3) сдвигается влево, а не вправо?
Чтобы получить прежнее значение функции f(x), в выражении f(x + 3) нужно взять аргумент на 3 меньше. Поэтому точка с прежней ординатой перемещается влево на 3 единицы.
На сколько единиц перемещается график y = f(x) − 4?
График перемещается вниз на 4 единицы. У каждой точки абсцисса остаётся прежней, а ордината уменьшается на 4.
Как найти координаты точки после переноса графика?
Определите, меняется ли аргумент или значение функции. При y = f(x) + b к ординате прибавляют b, а при y = f(x + a) к абсциссе прибавляют −a.
В каком порядке выполнять переносы в выражении y = f(x + a) + b?
Сначала график y = f(x) переносят по горизонтали на −a единиц, затем по вертикали на b единиц. Порядок можно поменять: оба переноса в итоге дают те же координаты точек.
Меняется ли форма графика при добавлении числа к функции или её аргументу?
Нет, форма и размеры графика сохраняются. Все его точки перемещаются на один и тот же вектор, меняется только их положение на координатной плоскости.
5. Построение графика функции y = f (x) + b и y = f (x + a)
