"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Модуль можно поставить у аргумента функции или у всего значения функции, и графики в этих случаях строятся по-разному. Для y = f(|x|) берут правую часть графика y = f(x) и отражают её влево относительно оси Oy. Для y = |f(x)| сохраняют участки над осью Ox, а лежащие ниже отражают вверх. Эти правила помогают быстро строить графики, находить их симметрию и не путать две похожие записи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Функция y = f(|x|) — это функция, в которой в качестве аргумента f берут модуль числа x. Модуль числа неотрицателен, поэтому f получает только значения аргумента не меньше нуля. Поскольку |x| = |−x|, значения новой функции в точках x и −x совпадают. Эта запись нужна, чтобы увидеть, как модуль аргумента меняет исходную функцию.
График функции y = f(|x|) получают из правой части графика y = f(x): её отражают относительно оси Oy, то есть оси ординат. Для построения достаточно знать исходный график при x ≥ 0, а левую сторону достроить зеркально. Ось Oy становится осью симметрии полученного графика. Такое правило помогает строить график, не вычисляя значения отдельно для отрицательных x.
Функция y = |f(x)| — это функция, в которой модуль берут от значения f(x), а не от аргумента x. Сначала для каждого x находят f(x), затем заменяют отрицательный результат на противоположное число. Положительные значения и нули остаются прежними. Это обозначение позволяет описывать функцию, значения которой не бывают отрицательными.
График функции y = |f(x)| получают из графика y = f(x): части выше оси Ox и на ней сохраняют, а части ниже оси отражают вверх относительно Ox. При таком отражении точки с координатами (x; y) переходят в точки (x; −y), поэтому абсцисса не меняется. Нули функции остаются на месте. Это правило нужно, чтобы по исходному графику построить график с неотрицательными значениями.
При построении y = f(|x|) сначала рассматривают исходный график y = f(x) только при x ≥ 0. Причина в том, что модуль любого числа неотрицателен: например, и при x = 3, и при x = −3 в функцию f подставляется 3. Значит, левая часть исходного графика не задаёт новых значений для построения. Если область определения f содержит не все неотрицательные числа, нужно учитывать только допустимые значения.
Выбранную правую часть оставляют на месте, а её отражение относительно Oy достраивают слева. Отражение меняет знак абсциссы точки, но не её ординату: точка (a; f(a)) переходит в (−a; f(a)). Так возникает симметрия, потому что для x и −x модуль одинаков. Например, если справа есть точка (2; 3), слева на новом графике будет точка (−2; 3).
Для построения y = |f(x)| исходный график сохраняют там, где f(x) ≥ 0. Там, где f(x) < 0, значение модуля меняет знак на противоположный, а потому точка графика поднимается на такое же расстояние над Ox. Абсцисса при этом остаётся прежней. Поэтому график не обязательно симметричен относительно Ox: отражают только части, которые изначально лежали ниже оси.
Чтобы найти участки для отражения, сначала определяют нули f(x), то есть значения x, при которых график пересекает или касается Ox. Между соседними нулями знак функции обычно постоянен, поэтому достаточно проверить знак в одной точке каждого такого промежутка. На участках с f(x) ≥ 0 графики y = f(x) и y = |f(x)| совпадают, а при f(x) < 0 выполняется отражение. Нули остаются на месте, поскольку |0| = 0.
Область определения зависит от того, к чему применён модуль. Для f(|x|) допустимы те x, для которых число |x| входит в область определения f; например, если f задана только при аргументах не меньше нуля, ограничение автоматически выполняется. Для |f(x)| новых ограничений не возникает: если f(x) определена, то определён и модуль её значения. Поэтому область определения остаётся прежней.
| Что сравниваем | y = f(|x|) | y = |f(x)| |
|---|---|---|
| Где сначала рассматривают исходный график | Часть при x ≥ 0 | Части, где f(x) ≥ 0 |
| Как достраивают график | Отражают выбранную часть относительно Oy | Части ниже Ox отражают относительно Ox |
| Ось симметрии | Oy | Ox не обязательно является осью симметрии |
| Область определения | Все x, для которых |x| принадлежит области определения f | Область определения f |
| Знак значений новой функции | Зависит от f | Всегда неотрицательные значения |
Сначала найди, где именно стоит модуль: у аргумента или у значения функции. Затем выбери нужную строку и выполни отражение относительно указанной оси. Сравнение области определения и знака значений поможет проверить, не перепутано ли правило.
Здесь y = |x| можно записать как f(|x|), если f(x) = x. Значит, действует правило для модуля аргумента: сначала берём часть исходного графика при x ≥ 0, а затем зеркально достраиваем её слева. Такая последовательность показывает, почему получается угол с вершиной в начале координат.
Ответ: график y = |x| — V-образная линия с вершиной (0; 0), состоящая из лучей y = x при x ≥ 0 и y = −x при x < 0.
В этой записи модуль относится ко всему значению функции f(x) = x − 1. Поэтому сначала нужно понять, где прямая находится ниже Ox. Её нуль задаёт границу между отрицательными и положительными значениями. Ниже оси лежит часть при x < 1.
Ответ: график y = |x − 1| состоит из лучей y = x − 1 при x ≥ 1 и y = 1 − x при x < 1; вершина находится в точке (1; 0).
Сначала важно прочитать скобки: в y = |x| − 1 модуль берётся только от x, а затем из результата вычитают 1. Для второй функции y = |x − 1| модуль берётся от значения x − 1. Поэтому к ним применяются разные приёмы, и заранее ожидать совпадения графиков нельзя.
Ответ: графики y = |x| − 1 и y = |x − 1| различны; первый получен сдвигом графика y = |x| вниз, второй — отражением отрицательной части y = x − 1 вверх.
Ошибка: для y = f(|x|) отражают график относительно Ox. Так происходит, когда любой модуль связывают с изменением знака y. Но здесь модуль стоит у x, поэтому меняется знак аргумента при отражении относительно Oy. Проверь себя: новая функция должна иметь одинаковые значения при x и −x.
Ошибка: для y = |f(x)| отражают весь график или его части относительно Oy. Такое правило переносят с функции f(|x|), хотя здесь модуль относится к ординате. Относительно Ox поднимают только участки ниже оси, а верхние оставляют. Проверка простая: у полученной функции не должно быть отрицательных значений.
Ошибка: при построении y = f(|x|) используют левую часть исходного графика. Однако в f подставляется |x|, а это неотрицательное число, поэтому сначала выбирают часть при x ≥ 0. Затем её зеркально достраивают слева. Проверь выбор на паре x = 2 и x = −2: для обоих аргумент функции f равен 2.
Ошибка: считают f(|x|) и |f(x)| одной и той же функцией из-за похожих обозначений. В первом случае меняется аргумент, во втором — значение функции; например, при f(x) = x − 1 получаются |x| − 1 и |x − 1|. Сравни вершины или вычисли значения при x = 0: они различаются. Такая проверка помогает заметить ошибку до построения всего графика.
Для работы с графиками с модулем нужно уметь строить элементарные функции, находить их область определения и нули. Нули помогают определить, где график пересекает ось Ox и какие части нужно отражать. Без этих навыков трудно правильно выбрать участки для преобразования.
Симметрия относительно координатных осей встречается и при других преобразованиях графиков. Умение распознавать её полезно при построении новых функций и при решении уравнений графическим способом. Например, пересечения графиков помогают увидеть решения уравнения.
Свойства модуля нужны и для более сложных выражений, где модуль стоит у аргумента или у всей функции. Если научиться различать эти два случая, легче анализировать график по частям и проверять область допустимых значений. Это становится основой для дальнейшего изучения функций с модулем.
Почему график y = f(|x|) симметричен относительно оси Oy?
При замене x на −x модуль не меняется: |−x| = |x|. Поэтому значения функции в точках x и −x одинаковы, а соответствующие точки графика зеркально расположены относительно Oy.
Какую часть исходного графика нужно взять для построения y = f(|x|)?
Сначала берут часть графика y = f(x), где x ≥ 0. В новой функции в качестве аргумента f подставляются только неотрицательные числа.
Что делать с участком графика y = f(x), который расположен ниже оси Ox?
Если строится y = |f(x)|, этот участок отражают вверх относительно оси Ox. Если строится y = f(|x|), правило другое: используют исходную часть при x ≥ 0 и отражают её относительно Oy.
Меняется ли область определения при переходе от f(x) к |f(x)|?
Нет, область определения остаётся такой же, как у f(x), потому что модуль любого допустимого значения определён. Для f(|x|) область определения может измениться: требуется, чтобы |x| принадлежало области определения f.
Чем отличаются функции f(|x|) и |f(x)|?
В f(|x|) модуль берётся от аргумента, поэтому график становится симметричным относительно Oy. В |f(x)| модуль берётся от значения функции, поэтому отрицательные значения y заменяются положительными.
6. Построение графика функции y = f (/x/) и y = / f (x)/
