7. Квадратичная функция, её график и свойства

Определения и обозначения

Квадратичная функция — функция вида y = ax² + bx + c, где a, b, c — числа и a ≠ 0. Коэффициент a при x² не может равняться нулю: иначе слагаемое ax² исчезнет и останется линейная или постоянная функция. Именно наличие ненулевого квадратичного члена отличает эту функцию от других и приводит к графику в форме параболы.

Парабола — график квадратичной функции. Если a > 0, её ветви направлены вверх, а если a < 0 — вниз. Это правило помогает сразу понять, будет ли функция иметь наименьшее или наибольшее значение и как следует продолжать график за пределами уже отмеченных точек.

Вершина параболы — точка, в которой функция достигает наименьшего значения при a > 0 или наибольшего при a < 0. Для y = ax² + bx + c её координаты равны (−b/(2a); (4ac − b²)/(4a)). Координата x показывает, где находится вершина по горизонтали, а координата y — значение функции в этой точке.

Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину и делит график на две зеркально одинаковые части. Её уравнение: x = −b/(2a). Ось помогает строить график: точки параболы, расположенные на одинаковом расстоянии от неё, имеют одинаковые значения y.

Как это устроено

Чтобы увидеть вершину и ось симметрии, квадратный трёхчлен ax² + bx + c преобразуют, выделяя полный квадрат. Получается выражение a(x − m)² + n, равное исходному при любых x. Поскольку квадрат обращается в ноль при x = m, значение функции там равно n, поэтому вершина имеет координаты (m; n), а ось симметрии задаётся равенством x = m. Такой вид удобен тем, что положение вершины видно сразу, без подстановки в длинную формулу.

Направление ветвей и вид вершины следуют из того, что (x − m)² не бывает отрицательным. При a > 0 произведение a(x − m)² тоже неотрицательно, поэтому наименьшее значение выражения достигается, когда квадрат равен нулю, то есть при x = m. При a < 0 это произведение не положительно, и в вершине получается наибольшее значение. Поэтому знак коэффициента a определяет и направление ветвей, и характер значения в вершине.

График можно представить как результат преобразований графика y = x². В записи a(x − m)² + n замена x на x − m сдвигает параболу вправо на m единиц, если m положительно, и влево, если отрицательно; число n сдвигает её вверх или вниз. Множитель a растягивает график по вертикали при |a| > 1 и сжимает при 0 < |a| < 1. Если a < 0, дополнительно происходит отражение относительно оси x, поэтому ветви направляются вниз.

В формуле квадратичной функции можно подставить любое действительное число вместо x: знаменателей с переменной или ограничений на корень здесь нет. Значит, область определения — все действительные числа. Множество значений ограничено со стороны вершины: при ветвях вверх функция не опускается ниже yв, а при ветвях вниз не поднимается выше yв. Поэтому оно записывается как [yв; +∞) или (−∞; yв] соответственно.

Ось симметрии делит график на две части с одинаковым поведением. При ветвях вверх, двигаясь слева к вершине, значения функции уменьшаются, а после вершины увеличиваются; при ветвях вниз порядок меняется. Пересечение с осью x возможно там, где y = 0, поэтому абсциссы таких точек являются корнями уравнения ax² + bx + c = 0. Уравнение может иметь два, один или ни одного действительного корня — это соответствует двум пересечениям, касанию оси или отсутствию пересечений.

Основные свойства функции y = ax² + bx + c

Чтобы пользоваться таблицей, сначала определи коэффициенты a, b и c, а затем найди координаты вершины и знак a. Эти данные позволят установить направление ветвей, множество значений и промежутки монотонности. Нули можно находить решением квадратного уравнения или чтением точек пересечения графика с осью x.

Разбор задач

Задача 1. Постройте график функции y = x² − 4 и укажите её вершину и ось симметрии.

Сравним выражение с графиком y = x²: к квадрату прибавлено −4, значит, значения функции в каждой точке уменьшились на 4. Это сдвиг исходной параболы вниз, а её форма и направление ветвей не изменились. Чтобы построить график, достаточно отметить вершину и несколько симметричных точек.

1. У исходного графика y = x² вершина (0; 0); после сдвига вниз на 4 она переходит в точку (0; −4).
2. Коэффициент при x² равен 1 и положителен, поэтому ветви направлены вверх.
3. Для x = 1 и x = −1 получаем y = −3; для x = 2 и x = −2 получаем y = 0. Парные точки симметричны относительно прямой x = 0.
4. Нанесём точки и проведём через них плавную параболу.

Ответ: вершина (0; −4), ось симметрии x = 0. График — парабола y = x², сдвинутая вниз на 4 единицы.

Задача 2. Найдите вершину и промежутки монотонности функции y = 2x² − 8x + 5.

Удобно выделить полный квадрат: так вершина сразу окажется перед нами. Коэффициент при x² положительный, поэтому после нахождения вершины можно определить, в какую сторону меняется функция по обе стороны от неё. Проверка через формулу xв = −b/(2a) даёт тот же результат.

1. Сгруппируем слагаемые с x: y = 2(x² − 4x) + 5.
2. Дополняем выражение до квадрата: x² − 4x = (x − 2)² − 4. Тогда y = 2(x − 2)² − 8 + 5 = 2(x − 2)² − 3.
3. Из полученной записи читаем вершину: (2; −3), а ось симметрии: x = 2. По формуле абсциссы также получаем −(−8)/(2 · 2) = 2.
4. Так как a = 2 > 0, ветви направлены вверх. До вершины функция убывает, после неё возрастает.

Ответ: вершина (2; −3), функция убывает на (−∞; 2] и возрастает на [2; +∞).

Задача 3. Для функции y = −x² + 6x − 5 постройте график, найдите множество значений и нули функции.

Сначала приведём выражение к виду с квадратом двучлена, чтобы определить вершину и направление ветвей. После этого множество значений будет видно по самой вершине и знаку коэффициента при квадрате. Нули найдём отдельно, приравняв функцию к нулю.

1. Выносим минус из квадратных слагаемых: y = −(x² − 6x) − 5 = −(x − 3)² + 9 − 5 = −(x − 3)² + 4.
2. Вершина параболы — (3; 4), ось симметрии — x = 3. Поскольку коэффициент перед квадратом отрицательный, ветви направлены вниз.
3. Наибольшее значение равно 4, поэтому множество значений — (−∞; 4]. Для построения отметим вершину и симметричные точки, например (2; 3) и (4; 3).
4. Ищем нули: −x² + 6x − 5 = 0. Умножим обе части на −1: x² − 6x + 5 = 0 = (x − 1)(x − 5), откуда x = 1 или x = 5.

Ответ: вершина (3; 4), ось симметрии x = 3, множество значений (−∞; 4], нули функции 1 и 5. График пересекает ось x в точках (1; 0) и (5; 0).

Типичные ошибки

Ошибка: считать функцию квадратичной, даже если a = 0. Так бывает, когда замечают в формуле буквы и числа, но не проверяют, при каком коэффициенте стоит x². При a = 0 квадратный член пропадает, поэтому перед применением свойств параболы проверь значение a.

Ошибка: находить абсциссу вершины по формуле xв = b/(2a), забывая минус. Формулу легко перепутать, если запоминать её без связи с выделением полного квадрата. Проверь результат: для записи a(x − m)² + n абсцисса вершины равна m, и вычисление по формуле должно дать то же число.

Ошибка: определять направление ветвей по знаку свободного члена c. Свободный член показывает значение функции при x = 0, то есть точку пересечения с осью y, но не направление параболы. За направление отвечает знак a; быстрая проверка — посмотреть, положительно или отрицательно слагаемое a(x − m)² при ненулевом квадрате.

Ошибка: записывать множество значений, не учитывая, куда направлены ветви. Например, при a < 0 нельзя утверждать, что функция принимает все значения от yв и выше: вершина здесь является максимумом. Сначала найди yв и установи знак a, затем запиши луч с нужной стороны; значение вершины включается в промежуток.

Связь с другими темами

Для изучения квадратичной функции полезны навыки построения графика y = x² и преобразования квадратных выражений: выделение полного квадрата помогает быстро находить вершину. Также нужно уметь решать квадратные уравнения, потому что их корни дают нули функции и точки пересечения параболы с осью x. Эти знания соединяют вычисления с чтением графиков.

Квадратичная функция используется в задачах на поиск наибольшего и наименьшего значения: достаточно определить вершину и направление ветвей. Её график помогает разбирать квадратные неравенства и исследовать пересечения графиков уравнений. Поэтому свойства параболы становятся инструментом и для алгебраических вычислений, и для практических задач.

Что запомнить

• Квадратичная функция имеет вид y = ax² + bx + c, где a ≠ 0.
• График квадратичной функции — парабола.
• Ось симметрии параболы задаётся уравнением x = −b/(2a).
• Вершина параболы имеет абсциссу −b/(2a).
• Знак a определяет направление ветвей.
• Ордината вершины задаёт наименьшее или наибольшее значение функции.
• Нули функции — точки пересечения графика с осью x.