§ 11. Квадратичная функция, её график и свойства

Определения и обозначения

Квадратичная функция — функция вида y = ax² + bx + c, где a, b, c — числа и a ≠ 0. Коэффициент a стоит при x², b — при x, а c — свободный член. Условие a ≠ 0 нужно, чтобы в формуле действительно присутствовал квадрат аргумента и функция была квадратичной. По значениям коэффициентов можно исследовать и строить её график.

Парабола — график квадратичной функции. Её форма определяется коэффициентом a: ветви могут быть направлены вверх или вниз, а их ширина зависит от величины этого коэффициента. Понимание формы графика помогает заранее представить, какие значения принимает функция. Чтобы построить параболу, достаточно найти несколько точек, в том числе вершину, и использовать симметрию.

Вершина параболы — точка, в которой функция достигает наименьшего или наибольшего значения. Какое именно это значение, зависит от направления ветвей: при направлении вверх вершина нижняя, при направлении вниз — верхняя. Знание вершины позволяет определить экстремум функции и границу её множества значений. Координаты вершины удобно находить после преобразования формулы.

Ось симметрии параболы — прямая x = −b/(2a), делящая параболу на симметричные части. Она проходит через вершину и параллельна оси y. Если две точки параболы расположены на одинаковом расстоянии от этой прямой, их ординаты равны. Ось симметрии помогает строить график и находить значения функции в симметричных точках.

Как это устроено

График y = x² служит основой для изучения других парабол. В функции y = ax² значения y графика y = x² умножаются на a: при |a| > 1 точки удаляются от оси x, а при 0 < |a| < 1 приближаются к ней. Поэтому парабола становится уже или шире. Если a < 0, все значения y меняют знак, и график отражается относительно оси x; вершина при этом остаётся в начале координат.

Чтобы найти вершину функции y = ax² + bx + c, выделяют полный квадрат. Выносим a из первых двух слагаемых и дополняем выражение в скобках до квадрата: y = a(x + b/(2a))² + c − b²/(4a). Получаем вид y = a(x − m)² + n, где вершина имеет координаты (m; n). В таком виде сразу видны и вершина, и ось симметрии x = m; отсюда следует формула абсциссы вершины −b/(2a).

В вершинном виде y = a(x − m)² + n квадрат (x − m)² неотрицателен. Поэтому при a > 0 прибавка к n не бывает отрицательной, и значения функции не меньше n: ветви направлены вверх. При a < 0 произведение a(x − m)² не положительно, так что y не больше n, а ветви направлены вниз. Так знак старшего коэффициента одновременно объясняет форму графика и вид экстремума.

Вершина разделяет график на две части, на которых функция ведёт себя по-разному. При ветвях вверх, двигаясь слева направо к вершине, мы спускаемся, а после неё поднимаемся; значит, функция сначала убывает, затем возрастает. При ветвях вниз порядок меняется: до вершины график поднимается, после — опускается. Границей этих промежутков служит абсцисса вершины.

Расположение параболы относительно осей координат позволяет читать её свойства с графика. Самая низкая или высокая точка задаёт наименьшее или наибольшее значение, а направление ветвей показывает, какие значения возможны дальше. Пересечения с осью x дают нули функции: если пересечений нет, действительных нулей нет, если парабола касается оси — нуль один, а если пересекает её дважды — нулей два. Координата пересечения с осью y равна c, поскольку при x = 0 формула принимает вид y = c.

На графике y = x² и его преобразования видно, как меняются положение и форма параболы.

Свойства квадратичной функции y = ax² + bx + c

Сначала определите знак a, затем найдите x₀ = −b/(2a) и ординату вершины y₀ = f(x₀). По знаку a выбирайте нужный столбец: так вы получите направление ветвей, промежутки монотонности и множество значений. Квадратные скобки указывают, что значение в вершине включено.

Разбор задач

Координаты вершины и наименьшее значение

Для функции y = 3x² − 12x + 7 найдите координаты вершины, уравнение оси симметрии и наименьшее значение. Так как коэффициент при x² положителен, парабола направлена вверх, поэтому вершина будет точкой минимума. Найдём её, выделив полный квадрат.

1. Сгруппируем слагаемые с x: y = 3(x² − 4x) + 7.
2. Дополняем выражение в скобках до квадрата: x² − 4x = (x − 2)² − 4. Тогда y = 3(x − 2)² − 12 + 7 = 3(x − 2)² − 5.
3. Сравниваем с y = a(x − m)² + n: вершина имеет координаты (2; −5), а ось симметрии задаётся уравнением x = 2.
4. Поскольку коэффициент 3 положителен, вершина — нижняя точка графика. Значит, наименьшее значение функции равно −5.

Ответ: вершина (2; −5), ось симметрии x = 2, наименьшее значение −5.

Построение графика и чтение свойств

Построим график y = −2x² + 8x − 6 и укажем нули, промежутки возрастания и убывания, множество значений. Отрицательный коэффициент при x² означает, что ветви направлены вниз, а значит, вершина задаёт максимум. Вершинный вид поможет найти вершину и точки пересечения с осью x.

1. Выносим −2 за скобки: y = −2(x² − 4x) − 6.
2. Выделяем квадрат: x² − 4x = (x − 2)² − 4. Получаем y = −2(x − 2)² + 2, значит, вершина — (2; 2), а ось симметрии — x = 2.
3. Находим нули: −2(x − 2)² + 2 = 0, откуда (x − 2)² = 1. Поэтому x = 1 или x = 3; точки пересечения с осью x — (1; 0) и (3; 0).
4. При ветвях вниз функция возрастает до абсциссы вершины и убывает после неё. Её максимальное значение равно 2, поэтому множество значений — (−∞; 2].
5. Для построения отметьте вершину и точки (1; 0), (3; 0), а также точку пересечения с осью y: при x = 0 получаем y = −6. Отразите точки относительно x = 2 и проведите плавную параболу.

Ответ: нули 1 и 3; функция возрастает на (−∞; 2] и убывает на [2; +∞); множество значений (−∞; 2].

Нахождение функции по трём точкам

График квадратичной функции проходит через точки (0; 3), (1; 0) и (2; −1). Нужно найти формулу и определить экстремум. Подставим координаты каждой точки в общий вид y = ax² + bx + c: так получим три уравнения для трёх неизвестных коэффициентов.

1. Точка (0; 3) даёт 3 = c, поэтому c = 3.
2. Для (1; 0): a + b + 3 = 0, то есть a + b = −3. Для (2; −1): 4a + 2b + 3 = −1, то есть 2a + b = −2.
3. Вычитаем из второго уравнения первое: a = 1. Подставляем в a + b = −3 и находим b = −4.
4. Формула функции: y = x² − 4x + 3 = (x − 2)² − 1. Вершина имеет координаты (2; −1), ось симметрии — x = 2.
5. Коэффициент a положителен, значит, вершина задаёт наименьшее значение. Оно равно −1.

Ответ: y = x² − 4x + 3; наименьшее значение −1.

Типичные ошибки

Некоторые считают квадратичной любую функцию, в записи которой есть x, и забывают проверить коэффициент при x². Если a = 0, получается линейная или постоянная функция, а не квадратичная. Ошибку легко избежать, проверив условие a ≠ 0 до исследования графика. Если квадратного слагаемого нет, правило о параболе применять нельзя.

Частая ошибка при нахождении вершины — использовать x = −b/a вместо x = −b/(2a). Она возникает, когда ученик забывает, что квадратный член влияет на положение вершины вместе с линейным членом. Проверить себя можно выделением полного квадрата: в выражении a(x − m)² + n абсцисса вершины равна m. Если два способа дают разные результаты, нужно заново проверить вычисления.

Иногда направление ветвей определяют по знаку b или c, хотя его задаёт только коэффициент a. При a > 0 ветви направлены вверх, при a < 0 — вниз. Чтобы не перепутать, посмотрите на член с x² и мысленно сравните график с y = x² или y = −x². Знак свободного члена c определяет пересечение с осью y, а не направление параболы.

Промежутки возрастания и убывания нельзя указывать, не найдя вершину и не проверив знак a. Ошибка появляется, если механически запомнить только один порядок промежутков и не учесть, что при смене знака a ветви переворачиваются. Сначала отметьте абсциссу вершины, затем определите направление ветвей и проследите движение графика слева направо. При ветвях вверх функция убывает до вершины и возрастает после неё, при ветвях вниз — наоборот.

Связь с другими темами

Для изучения параболы нужны навыки работы с координатной плоскостью, построения графика линейной функции, преобразования выражений и выделения полного квадрата. Квадратичная функция пригодится при решении квадратных уравнений и неравенств: её нули и расположение графика помогают понять ответ. Она также встречается в системах уравнений, где нужно найти общие точки графиков. В задачах на движение, площадь и оптимизацию парабола помогает находить наибольшее или наименьшее значение величины.

Что запомнить

• Квадратичная функция имеет вид y = ax² + bx + c, где a ≠ 0.
• График квадратичной функции — парабола.
• Абсцисса вершины равна −b/(2a).
• Ось симметрии параболы проходит через её вершину.
• При a > 0 парабола направлена вверх, при a < 0 — вниз.
• Вершина задаёт наименьшее значение при a > 0 и наибольшее значение при a < 0.
• Нули функции — абсциссы точек пересечения параболы с осью x.