"Алгебра", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Графики y = f(x) + b и y = f(x + a) получают из графика y = f(x) сдвигом по вертикали или горизонтали. Число b показывает, на сколько единиц график поднимается или опускается, а число a — насколько он перемещается влево или вправо. Эти правила позволяют быстро строить графики парабол, линейных и других функций, не вычисляя заново множество точек.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Вертикальный сдвиг графика — это перемещение графика y = f(x) вверх или вниз без изменения абсцисс его точек. В записи y = f(x) + b число b определяет направление и величину такого перемещения. Это правило помогает строить новый график, изменяя только значения y.
Горизонтальный сдвиг графика — перемещение графика влево или вправо без изменения его формы. Он описывается формулой y = f(x + a), где число a связано с величиной переноса. Такое обозначение нужно внимательно читать, потому что направление сдвига противоположно знаку внутри скобок.
Параметр b — число, которое прибавляют к значению функции. При b > 0 график поднимается вверх, а при b < 0 опускается вниз на |b| единиц. Поэтому b изменяет высоту точек, но не их положение по горизонтали.
Параметр a — число внутри аргумента функции. Если a > 0, график y = f(x + a) сдвигается влево на a единиц, а если a < 0 — вправо на |a| единиц. Понимание роли a позволяет не перепутать знак в формуле с направлением переноса.
При переходе от y = f(x) к y = f(x) + b к каждому значению функции прибавляют одно и то же число. Поэтому для того же x новая точка имеет ординату y + b, а её абсцисса остаётся прежней. Все точки поднимаются или опускаются одинаково, так что расстояния между ними и форма графика сохраняются.
В формуле y = f(x + a) изменяется не результат функции, а значение аргумента, которое в неё подставляют. Пусть исходная точка имеет координаты (x₀; y₀), то есть y₀ = f(x₀). В новом графике такое же значение y₀ получится при x + a = x₀, откуда x = x₀ − a; значит, точка перейдёт в (x₀ − a; y₀).
Из-за этого знак горизонтального сдвига выглядит противоположным привычному направлению. Например, в y = f(x + 3) прежний аргумент x₀ достигается при x = x₀ − 3. Все точки оказываются левее исходных на 3 единицы, поэтому график сдвигается влево.
Вертикальный сдвиг не меняет область определения: допустимые значения x остаются теми же. При горизонтальном сдвиге допустимость проверяется уже для выражения x + a, поэтому вся область определения переносится на −a единиц. Например, если исходная функция определена при x ≥ 0, то для f(x + 2) нужно x + 2 ≥ 0, то есть x ≥ −2.
Для построения нового графика не нужно заново составлять всю таблицу значений. Достаточно выбрать вершину, точки пересечения с осями или другие характерные точки исходного графика и перенести каждую по нужному правилу. Соединив полученные точки в прежней форме, получают искомый график.
| Преобразование | Формула | Куда перемещается график | Как меняются координаты точки (x; y) |
|---|---|---|---|
| Вертикальный сдвиг вверх на b единиц (b > 0) | y = f(x) + b | Вверх на b | (x; y) → (x; y + b) |
| Вертикальный сдвиг вниз на |b| единиц (b < 0) | y = f(x) + b | Вниз на |b| | (x; y) → (x; y + b) |
| Горизонтальный сдвиг влево на a единиц (a > 0) | y = f(x + a) | Влево на a | (x; y) → (x − a; y) |
| Горизонтальный сдвиг вправо на |a| единиц (a < 0) | y = f(x + a) | Вправо на |a| | (x; y) → (x − a; y) |
Сначала определите, находится ли число за пределами функции или внутри её аргумента. Затем установите знак числа и примените соответствующее правило к координатам характерных точек.
Таблица особенно полезна для проверки направления переноса. Если сомневаетесь в горизонтальном сдвиге, подставьте координату исходной точки в новое выражение и убедитесь, где получится прежнее значение y.
Исходный график — парабола y = x² с вершиной в точке (0; 0). Число 2 стоит вне выражения x², поэтому оно задаёт вертикальный, а не горизонтальный перенос. Каждую выбранную точку параболы нужно поднять на 2 единицы.
Ответ: график y = x² + 2 — парабола y = x², сдвинутая вверх на 2 единицы; её вершина находится в точке (0; 2).
Здесь число 3 находится внутри скобок, значит, происходит горизонтальный сдвиг. Поскольку записано x + 3, параболу нужно перенести влево на 3 единицы. Вершина исходной параболы (0; 0) станет точкой (−3; 0).
Ответ: график y = (x + 3)² — парабола y = x², сдвинутая влево на 3 единицы.
Внутри скобок стоит x − 2, что равносильно x + (−2), поэтому график сдвигается вправо на 2. Число −1 вне скобок затем опускает уже перенесённую параболу на 1 единицу. Так удобнее выполнять преобразования последовательно.
Ответ: график получают сдвигом y = x² вправо на 2 и вниз на 1; вершина имеет координаты (2; −1).
Сдвиг вправо вместо влево в y = f(x + a) при a > 0. Ошибку вызывают привычные рассуждения о знаке плюс. Проверьте себя уравнением x + a = x₀: новая координата равна x₀ − a.
Изменение абсцисс при вертикальном сдвиге. Иногда к обеим координатам прибавляют b, хотя меняется только значение функции. Запишите правило (x; y) → (x; y + b) и сравните с построенными точками.
Сдвиг по вертикали из-за числа внутри аргумента. Выражение x + a влияет на то, при каком x достигается прежнее значение функции, поэтому перенос происходит горизонтально. Найдите образ одной известной точки: её y должен сохраниться.
Изменение формы или масштаба графика. При сдвиге точки перемещаются одинаково, а расстояния между ними не меняются. Проверьте, осталась ли вершина на прежнем расстоянии от соседних характерных точек.
Для изучения сдвигов нужно уметь читать координаты точек и строить графики простейших функций, особенно линейной функции и параболы. Без этого трудно выбрать характерные точки и правильно перенести их.
Правила переноса пригодятся при построении графиков квадратичных и других функций. Они также подготавливают к изучению более сложных преобразований: растяжения, сжатия и отражения графиков.
Почему график y = f(x + 2) сдвигается влево, а не вправо?
Чтобы получить прежнее значение функции f(x₀), в новой формуле нужно взять x + 2 = x₀. Значит, x = x₀ − 2, поэтому каждая точка перемещается влево на 2 единицы.
Что происходит с координатами точки при вертикальном сдвиге?
При переходе к y = f(x) + b абсцисса не меняется, а ордината увеличивается на b. Точка (x; y) переходит в точку (x; y + b).
Меняется ли область определения после сдвига графика?
При вертикальном сдвиге область определения остаётся прежней. При горизонтальном сдвиге она переносится на −a единиц: если исходная область — D, то новая задаётся условием x + a ∈ D.
Как построить график, если в формуле есть и сдвиг по горизонтали, и сдвиг по вертикали?
Сначала перенесите исходный график по горизонтали согласно выражению внутри аргумента, затем по вертикали согласно числу вне функции. Например, график y = (x − 2)² − 1 получают сдвигом вправо на 2 и вниз на 1.
Меняет ли сдвиг форму графика функции?
Нет, сдвиг не изменяет форму, размеры и наклон графика. Все его точки перемещаются на одинаковое расстояние в одном направлении.
§ 10. Построение графика функции y = f(x) + b и y = f(x + a)
