§ 9. Построение графика функции y = kf(x)

Определения и обозначения

Функция вида y = kf(x) — функция, значения которой получают умножением значений f(x) на постоянное число k. Иными словами, для каждого выбранного x сначала находят f(x), а затем умножают результат на k. Такое обозначение позволяет получить новую функцию на основе уже известной и использовать её график для построения.

Коэффициент k — постоянное число, на которое умножают каждое значение функции f(x). Он может быть положительным, отрицательным или равным нулю. По его знаку и величине можно заранее определить, как изменится график, поэтому при построении сначала полезно посмотреть именно на k.

Растяжение графика по оси ординат — преобразование, при котором каждую ординату умножают на число k, если |k| > 1. Расстояние точки от оси Ox становится больше в |k| раз, а её абсцисса остаётся прежней. Это определение помогает понять, почему график сильнее удаляется от горизонтальной оси.

Сжатие графика по оси ординат — преобразование, при котором каждую ординату умножают на число k, если 0 < |k| < 1. Значения по модулю уменьшаются, поэтому точки приближаются к оси Ox. По этому правилу удобно отличать сжатие от растяжения и не ориентироваться только на внешний вид графика.

Как это устроено

Пусть точка (x; f(x)) лежит на графике исходной функции. Для нового графика при том же аргументе значение равно kf(x), значит, соответствующая точка имеет координаты (x; kf(x)). Абсцисса сохраняется, потому что x не умножают на коэффициент: он стоит перед функцией и меняет её значение. Поэтому для построения достаточно взять точки известного графика и преобразовать их ординаты.

Если k > 1, то каждая ордината становится в k раз больше по модулю. Например, ордината 2 превратится в 6 при k = 3, а −2 — в −6. В обоих случаях расстояние до оси Ox увеличится втрое, хотя точки останутся по разные стороны от неё. Поэтому говорят о растяжении от оси Ox.

При 0 < k < 1 каждое значение умножается на положительное число меньше единицы. Например, при k = 0,5 ординаты 4 и −4 станут соответственно 2 и −2: их модули уменьшатся вдвое, а знаки сохранятся. Значит, точки приближаются к оси Ox с той же стороны, на которой находились. Это сжатие графика к оси.

Если k < 0, произведение kf(x) имеет знак, противоположный знаку f(x), когда f(x) не равно нулю. Точки над осью Ox переходят под неё, а точки под осью — над неё, поэтому происходит отражение относительно Ox. После отражения модуль ординаты дополнительно умножается на |k|: при |k| > 1 график растягивается, а при 0 < |k| < 1 сжимается.

При k = 0 произведение 0 · f(x) равно нулю для любого x из области определения исходной функции. Поэтому все точки нового графика имеют вид (x; 0) и располагаются на оси Ox. Коэффициент не меняет область определения: значения функции рассматриваются при тех же допустимых x, что и раньше. На практике полезно также помнить, что точки с нулевой ординатой при любом k остаются на оси.

Как коэффициент k изменяет график y = f(x)

Сначала найдите строку, подходящую для коэффициента, а затем отдельно учтите знак и модуль ординат. Для отрицательного k в таблице указаны сразу два действия: отражение и изменение масштаба. При k = −1 происходит только отражение, а при k = 1 график не меняется.

Разбор задач

Постройте график y = 2x², используя график y = x².

1. Исходная функция имеет вид f(x) = x², а коэффициент равен 2. Значит, каждую ординату выбранной точки нужно умножить на 2, не меняя её абсциссу.
2. Возьмём точки исходного графика: (0; 0), (1; 1), (−1; 1), (2; 4), (−2; 4). После преобразования получим (0; 0), (1; 2), (−1; 2), (2; 8), (−2; 8).
3. Отметим новые точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией, сохраняя форму параболы. Поскольку коэффициент больше единицы, точки с ненулевыми ординатами удалились от оси Ox.

Ответ: график y = 2x² — парабола, построенная по точкам (0; 0), (±1; 2), (±2; 8); она растянута относительно графика y = x².

Постройте график y = 0,5|x|, используя график y = |x|.

1. Здесь f(x) = |x|, а k = 0,5. Поэтому x сохраняется, а каждое значение модуля делится на 2; график сжимается к оси Ox.
2. Для исходных точек (0; 0), (2; 2), (−2; 2), (4; 4), (−4; 4) получим соответственно (0; 0), (2; 1), (−2; 1), (4; 2), (−4; 2). Вершина (0; 0) остаётся на месте, поскольку её ордината равна нулю.
3. Отметим полученные точки и соединим их двумя лучами. Ломаная сохраняет вершину, но становится менее крутой, потому что ординаты уменьшены вдвое.

Ответ: график y = 0,5|x| строится по точкам (0; 0), (±2; 1), (±4; 2) и сжат к оси Ox относительно графика y = |x|.

По графику y = f(x) постройте y = −3f(x) и укажите, как перейдут точки (−2; 1), (0; −2), (3; 0).

1. В новом выражении k = −3. Каждой точке (x; y) соответствует (x; −3y): знак ординаты изменится, а её модуль увеличится втрое.
2. Для точки (−2; 1) получаем (−2; −3), так как −3 · 1 = −3. Для точки (0; −2) получаем (0; 6), так как −3 · (−2) = 6.
3. У точки (3; 0) новая ордината тоже равна нулю: −3 · 0 = 0. После переноса точек график отражают относительно Ox и растягивают от неё в три раза.

Ответ: (−2; 1) → (−2; −3), (0; −2) → (0; 6), (3; 0) → (3; 0); график отражается относительно Ox и растягивается.

Типичные ошибки

Первая ошибка — умножать на k абсциссы вместо ординат. Её допускают, смешивая правило y = kf(x) с преобразованием аргумента функции. Проверьте запись координат: при переходе (x; y) → (x; ky) первая координата буквально остаётся той же.

Вторая ошибка — называть преобразование при 0 < k < 1 растяжением. Возможно, слово связывают с тем, что график тоже изменяет форму, но ординаты здесь уменьшаются по модулю. Для проверки подставьте, например, y = 4 и k = 0,5: получится 2, то есть точка приблизится к оси Ox.

Третья ошибка — при отрицательном k учитывать только изменение масштаба и забывать о смене знака. Так происходит, если смотрят лишь на |k| и не проверяют само произведение. Возьмите ординату 2: при k = −3 выйдет −6, значит, точка должна оказаться по другую сторону от оси Ox.

Четвёртая ошибка — изменить формулу, но не перенести точки графика по правилу. Иногда вычисляют новые значения функции, однако оставляют исходные точки на рисунке или меняют обе координаты. Проверьте каждую выбранную точку отдельно: у пары (x; y) должна появиться ровно одна соответствующая пара (x; ky).

Связь с другими темами

Для работы с преобразованием нужно уметь строить график y = f(x), находить координаты его точек и пользоваться координатной плоскостью. Тогда новую функцию можно получить из знакомой, не строя её с нуля: достаточно перенести несколько точек по правилу для ординат. Эта тема связана с преобразованиями графиков и служит инструментом для построения функций, заданных через известные функции. При более сложных построениях такое умножение сочетают с другими преобразованиями, применяя каждое правило последовательно.

Что запомнить

• В графике y = kf(x) абсциссы точек не меняются.
• Каждая ордината графика y = f(x) умножается на k.
• При k > 1 график растягивается от оси Ox.
• При 0 < k < 1 график сжимается к оси Ox.
• При k < 0 график отражается относительно оси Ox.
• При k = 0 график совпадает с осью Ox.