§ 8. Свойства функции

Определения и обозначения

Область определения функции — все значения аргумента, при которых функция задана. Её обозначают D(f), где f — имя функции. Например, если f(x) = 1 / x, то x не может быть равен нулю. Область определения нужна, чтобы понимать, для каких x можно вычислять значение функции.

Нуль функции — значение аргумента x, при котором значение функции равно нулю: f(x) = 0. Например, если f(2) = 0, то 2 — нуль функции. На графике нулю соответствует абсцисса точки, в которой график пересекает или касается оси Ox, поэтому нули помогают находить решения уравнения f(x) = 0.

Функция возрастает на промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции; убывает, если большему x соответствует меньшее значение функции. Иначе говоря, при движении слева направо график возрастающей функции поднимается, а убывающей — опускается. Эти свойства показывают, как меняется функция на разных частях области определения.

Наибольшее значение функции — значение функции, которое не меньше всех остальных её значений на рассматриваемой области; наименьшее — значение, которое не больше остальных. Речь идёт именно о значениях y, а не о том, при каком x они получаются. Эти понятия помогают определить верхнюю и нижнюю границы значений функции.

Как это устроено

Область определения находят из условия задачи или из ограничений формулы. Дробь не имеет смысла, когда её знаменатель равен нулю, поэтому такие значения x исключают. Для квадратного корня в школьной алгебре подкоренное выражение должно быть неотрицательным: отрицательное число нельзя извлечь в действительных числах. Например, для √(9 − x²) требуется 9 − x² ≥ 0, откуда −3 ≤ x ≤ 3.

Область значений — все значения функции, которые получаются при подстановке допустимых x. По графику их определяют, мысленно проецируя график на ось Oy: смотрят, каких высот достигают его точки. При этом учитывают границы рассмотрения и то, принадлежат ли графику крайние точки. Так можно отличить, например, достигнутое наибольшее значение от высоты, к которой график только приближается.

Чтобы найти нули и промежутки знакопостоянства, сначала смотрят, где график встречается с осью Ox. Абсциссы этих точек — нули, а они разделяют ось на части, внутри которых график обычно остаётся либо выше, либо ниже Ox. Выше оси значения функции положительны, ниже — отрицательны. Проверить знак на каждом промежутке можно по любой точке из него, подставив её в формулу или посмотрев на график.

Возрастание и убывание читают по графику слева направо, то есть по мере увеличения x. Если линия поднимается, значения y становятся больше и функция возрастает; если опускается — убывает. На одном графике могут чередоваться участки подъёма и спуска, поэтому всю область определения проверяют по частям. Для точного ответа важно указать промежутки, а не отдельные точки поворота.

Наибольшее и наименьшее значения ищут среди всех значений функции на заданной области. На графике это самые высокая и низкая точки, но край промежутка может не входить в область рассмотрения, если он открыт. Тогда значение в этом конце не учитывают. Если же график уходит вверх или вниз без границы, соответствующего наибольшего или наименьшего значения может не существовать.

Основные свойства функции и их чтение по графику

Сначала уточни, на какой области рассматривается функция: график за её пределами в ответ не включают. Затем читай нужную строку таблицы и проверяй, входят ли крайние точки в область. Для знака и нулей ориентируйся на ось Ox, а для области значений и экстремальных значений — на высоту графика.

Разбор задач

Задача 1. Для функции y = x² − 4 найдите нули и определите, где она положительна и где отрицательна.

1. Нули — это такие x, при которых y = 0. Решаем уравнение x² − 4 = 0: x² = 4, значит, x = −2 или x = 2.

2. Эти нули делят числовую прямую на промежутки: (−∞; −2), (−2; 2) и (2; +∞). Чтобы установить знак, проверим значение функции внутри каждого промежутка.

3. При x = 0 получаем y = −4, поэтому на промежутке (−2; 2) функция отрицательна. При x = −3 и x = 3 получаем y = 5, поэтому вне отрезка [−2; 2] функция положительна.

Ответ: нули −2 и 2; функция положительна при x < −2 и x > 2, отрицательна при −2 < x < 2.

Задача 2. По графику функции на отрезке [−3; 4] укажите промежутки возрастания и убывания, а также наибольшее и наименьшее значения. Сам график в условии должен быть задан: без него нельзя назвать конкретные промежутки и значения. Покажем порядок чтения такого графика.

1. Начинаем с x = −3 и движемся вправо до x = 4. Каждый участок, на котором график поднимается, записываем как промежуток возрастания; каждый спуск — как промежуток убывания.

2. Отмечаем точки поворота, в которых подъём сменяется спуском или наоборот. Они помогают разделить отрезок на участки с разным поведением функции.

3. Сравниваем ординаты крайних точек и точек поворота. Самая большая из них даёт наибольшее значение, самая маленькая — наименьшее; концы −3 и 4 входят в отрезок и учитываются.

Ответ: промежутки и значения определяются по конкретному графику указанным способом.

Задача 3. Для f(x) = √(9 − x²) найдите область определения, нули, область значений, промежутки возрастания и убывания, наибольшее значение.

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: 9 − x² ≥ 0, поэтому x² ≤ 9 и −3 ≤ x ≤ 3. Значит, D(f) = [−3; 3].

2. Нули находим из √(9 − x²) = 0. Корень равен нулю, когда подкоренное выражение равно нулю: x² = 9, откуда x = −3 и x = 3.

3. Функция неотрицательна, потому что квадратный корень не бывает отрицательным. При x = 0 она равна √9 = 3, а на концах области определения равна нулю, поэтому область значений — [0; 3], наибольшее значение равно 3.

4. Функция симметрична относительно оси Oy: значения при x и −x одинаковы. На отрезке [−3; 0] она возрастает к максимуму, а на [0; 3] убывает от него.

Ответ: D(f) = [−3; 3]; нули −3 и 3; область значений [0; 3]; возрастает на [−3; 0], убывает на [0; 3]; наибольшее значение — 3.

Типичные ошибки

Путают область определения и область значений: первая состоит из допустимых x, вторая — из соответствующих y. Это происходит потому, что обе области описывают наборы чисел, связанные одной функцией. Проверка простая: область определения читают по оси Ox, область значений — по Oy; в записи функции x является аргументом, а f(x) — результатом.

За нуль функции принимают точку графика целиком, хотя нуль — это её абсцисса, то есть значение x. Ошибка возникает из-за того, что точка пересечения выглядит как пара координат. Чтобы проверить ответ, запиши нуль как число и подставь его в функцию: должно получиться f(x) = 0.

Промежуток возрастания иногда определяют, двигаясь по графику справа налево. Тогда направление меняется на противоположное и участки перепутываются. Всегда увеличивай x, то есть читай график слева направо: подъём означает возрастание, спуск — убывание.

Считают, что наибольшее или наименьшее значение обязательно существует на любом промежутке. Но на открытом конце график может не достигать крайней высоты, а неограниченная функция может продолжать расти или убывать. Проверь, принадлежит ли крайняя точка рассматриваемой области, и убедись, что график действительно достигает нужной границы.

Связь с другими темами

Чтобы читать свойства функции, нужно уметь находить координаты точек и разбирать графики, решать уравнения и неравенства. Эти навыки позволяют переходить от формулы к графику и обратно. Свойства применяют при исследовании линейной, квадратичной и других функций, а также при графическом решении уравнений и неравенств. Понятия возрастания и убывания пригодятся позднее, когда нужно будет подробно анализировать графики.

Что запомнить

• Область определения — допустимые значения аргумента.
• Нуль функции удовлетворяет равенству f(x) = 0.
• Выше оси Ox график соответствует положительным значениям функции, ниже — отрицательным.
• Возрастание и убывание графика читают слева направо.
• Наибольшее и наименьшее значения — значения y, а не значения x.
• При определении свойств по графику учитывают только заданную область рассмотрения.