§ 1. Свойства функции

Определения и обозначения

Нуль функции — значение аргумента x, при котором f(x) = 0. На графике нулю соответствует абсцисса точки пересечения с осью Ox. Нули нужны, чтобы находить решения уравнения f(x) = 0 и отмечать границы, на которых может меняться знак функции.

Промежуток знакопостоянства — промежуток, на котором функция сохраняет один знак: либо f(x) > 0, либо f(x) < 0. Знак читают по положению графика относительно Ox: выше оси значения положительны, ниже — отрицательны. Это свойство помогает решать неравенства и понимать, где график находится по отношению к оси.

Функция возрастает на промежутке, если для любых x₁ < x₂ из него f(x₁) < f(x₂); убывает, если f(x₁) > f(x₂). Сравнивать нужно значения при любых двух аргументах промежутка, а не только в нескольких выбранных точках. Возрастание и убывание описывают изменение функции и не говорят о том, положительны ли её значения.

Наибольшее значение функции — значение, которое она принимает в области определения и которое не меньше всех остальных её значений. Наименьшее значение не больше ни одного другого значения функции. Эти понятия позволяют определить пределы изменения y на заданном множестве и могут отсутствовать, если нужного крайнего значения функция не достигает или не ограничена.

Как это устроено

Область определения показывает, при каких x функция вообще имеет смысл; поэтому любое исследование начинают с неё. Каждому допустимому аргументу соответствует точка графика с координатами (x; f(x)), а значит, график собирает сведения о значениях функции. Пересечения с осями дают отдельные ориентиры: пересечение с Ox связано с нулём, а пересечение с Oy показывает значение при x = 0, если ноль входит в область определения. Направление графика помогает увидеть, как меняются значения при движении слева направо.

Чтобы найти нули по формуле, решают уравнение f(x) = 0 и проверяют, входят ли найденные x в область определения. По графику нули читают как абсциссы точек, где линия пересекает или касается Ox. После этого область определения делят найденными нулями на промежутки: внутри каждого такого промежутка непрерывный график не может перейти с положительной стороны оси на отрицательную, не встретив саму ось. Знак проверяют по графику или подстановкой одного удобного значения из каждого промежутка, не забывая о разрывах и границах области определения.

На графике возрастанию соответствует движение вверх слева направо, убыванию — вниз. Но графический вид нужно понимать точно: на всём рассматриваемом промежутке должны выполняться сравнения для любых x₁ < x₂, а не только для соседних точек. По формуле такое свойство устанавливают сравнением f(x₁) и f(x₂), когда оба аргумента принадлежат промежутку. Одну и ту же функцию можно исследовать по отдельным промежуткам, потому что направление её изменения может меняться.

Наибольшее и наименьшее значения ищут среди всех значений на выбранной области, а не только возле вершины или точки поворота. Локальный максимум — значение, большее соседних значений, а локальный минимум — меньшее соседних; в другой части графика могут находиться значения ещё больше или меньше. На замкнутом отрезке полезно проверить критические точки и концы отрезка. Крайнее значение может не существовать: например, если график не ограничен сверху или приближается к границе, которой не достигает.

Чётность проверяют по равенству f(−x) = f(x), а нечётность — по f(−x) = −f(x); для таких проверок вместе с x должна быть допустима и точка −x. В первом случае точки графика попарно симметричны относительно Oy, во втором — относительно начала координат. Периодичность устроена иначе: значения повторяются при сдвиге аргумента на одно и то же ненулевое число T, то есть f(x + T) = f(x). Поэтому достаточно знать поведение на одном периоде, чтобы понять повторяющийся рисунок графика.

Основные свойства функции и способы их определения

Сначала уточните область определения: некоторые выводы относятся только к допустимым аргументам. Затем используйте формулу или график и проверяйте, на каком именно промежутке сформулировано свойство. Таблица помогает не смешивать свойства, отвечающие на разные вопросы: например, знак функции и направление её изменения.

Разбор задач

Задача 1. По графику функции определите её нули и промежутки, на которых функция положительна и отрицательна. Сначала найдём точки пересечения графика с осью Ox — именно они задают нули. Затем проверим расположение графика на участках между точками пересечения и за ними. Границы области определения также нужно учитывать: вне неё промежутки рассматривать нельзя.

1. Считаем по оси x абсциссы точек, где график встречает Ox; обозначим их a и b, где a < b.
2. Разбиваем область определения этими числами и смотрим, где график расположен выше Ox. На таких промежутках f(x) > 0.
3. На участках ниже Ox функция отрицательна, то есть f(x) < 0. Сами точки a и b не включаем в промежутки знакопостоянства, поскольку там f(x) = 0.

Ответ: нули — абсциссы пересечений с Ox; промежутки положительности и отрицательности — участки области определения, где график соответственно выше и ниже оси. Их конкретные границы считывают с данного графика. Проверка проста: выберите точку из каждого найденного промежутка и убедитесь, что знак соответствует положению линии.

Задача 2. Для y = x² − 4 найдите нули, промежутки знакопостоянства и монотонности, а также наименьшее значение. Разложим выражение на множители, чтобы получить нули и выяснить знак. Парабола направлена вверх и симметрична относительно оси Oy, поэтому вершина определяет смену убывания на возрастание. Учитываем, что область определения — все действительные числа.

1. Решаем x² − 4 = 0: (x − 2)(x + 2) = 0, откуда x = −2 или x = 2.
2. Между корнями, например при x = 0, значение отрицательно: y = −4. За пределами корней выражение положительно, поэтому знак меняется в точках −2 и 2.
3. Вершина находится при x = 0, y = −4. При движении к вершине слева функция убывает, а справа от неё возрастает; в вершине достигается минимум.

Ответ: нули −2 и 2; функция положительна при x < −2 и x > 2, отрицательна при −2 < x < 2; убывает на (−∞; 0] и возрастает на [0; +∞); наименьшее значение равно −4. Нулевые точки не относятся ни к положительному, ни к отрицательному промежутку. Верхней границы у значений этой функции нет.

Задача 3. Для y = (x − 1)² на отрезке [−1; 3] найдите область значений, наибольшее и наименьшее значения. Вершина параболы находится при x = 1 и лежит внутри заданного отрезка. Квадрат неотрицателен, поэтому в вершине получается наименьшее значение. Для наибольшего значения сравним значения в концах отрезка, поскольку по обе стороны от вершины функция удаляется от нуля.

1. Находим значение в вершине: при x = 1 получаем y = 0. Оно является наименьшим на отрезке, так как квадрат не может быть отрицательным.
2. Проверяем левый конец: при x = −1 получаем y = (−2)² = 4. Проверяем правый конец: при x = 3 получаем y = 2² = 4.
3. Внутри отрезка значения не превосходят 4: расстояние от x до 1 не больше 2. Значит, крайние значения достигаются и в вершине, и на концах отрезка соответственно.

Ответ: область значений — [0; 4], наименьшее значение равно 0, наибольшее равно 4. Концы отрезка входят в область определения, поэтому значения в них учитываются. Если бы отрезок не включал точку, где достигается крайнее значение, вывод мог бы измениться.

Типичные ошибки

Ошибочно считать нулём функции значение y. Нулём называют именно аргумент x, при котором значение функции равно нулю; путаница возникает из-за слова «нуль». Проверьте себя: подставьте найденное число в формулу и убедитесь, что получается f(x) = 0, а затем запишите, что это число относится к x.

Нельзя устанавливать знак функции только по нескольким точкам, не учитывая нули и границы области определения. Между выбранными точками график может пересечь ось или в промежутке может быть разрыв, поэтому пробные значения сами по себе не гарантируют вывод. Сначала отметьте нули и исключённые значения, разделите область определения на части, а затем проверьте знак на каждой части.

Возрастание не означает положительность: это разные свойства. Функция может расти, оставаясь отрицательной, например переходить от −5 к −2, потому что −2 больше −5. Проверка: отдельно спросите, сравниваются ли значения при росте x или определяется их знак относительно нуля.

Локальный максимум или минимум не всегда является наибольшим или наименьшим значением на всей области. В соседних точках экстремум выглядит крайним, но далеко от него могут быть значения ещё больше или меньше. Чтобы не ошибиться, сравните его со всеми значениями на заданном множестве, а на отрезке проверьте также концы.

Связь с другими темами

Для изучения свойств полезно уметь читать график, находить область определения и сравнивать значения функции. Эти навыки позволяют перейти от рисунка или формулы к точным выводам о знаке, изменении и крайних значениях. Сами свойства затем помогают строить и преобразовывать графики, а также решать уравнения и неравенства. В старших классах исследование функций станет систематическим, поэтому понимание этих понятий послужит основой для более сложных методов.

Что запомнить

• Нули функции — значения аргумента, при которых f(x) = 0.
• Знак функции на графике определяется её расположением выше или ниже оси Ox.
• Возрастание и убывание рассматривают на промежутках области определения.
• Наибольшее и наименьшее значения сравнивают со всеми значениями функции на заданном множестве.
• Чётная функция имеет график, симметричный относительно оси Oy.
• Нечётная функция имеет график, симметричный относительно начала координат.
• Период функции — ненулевое число T, при котором f(x + T) = f(x) для всех допустимых x.

К графику y = x³ − 3x можно применить сразу несколько этих идей: определить нули, знаки и промежутки монотонности, а также увидеть локальные экстремумы. Симметрия графика относительно начала координат показывает, что функция нечётная. При этом она не ограничена ни сверху, ни снизу, поэтому локальные экстремумы не являются наибольшим и наименьшим значениями на всей области определения.