2.1.1. Множества точек на плоскости. Графики уравнений и неравенств

Определения и обозначения

Множество точек на плоскости — это совокупность всех точек, удовлетворяющих заданному условию. Точка задаётся двумя координатами: первой координатой x и второй координатой y, то есть записывается как (x; y). Такое описание позволяет переводить условие о числах в условие отбора точек.

График уравнения с двумя переменными — множество точек, координаты которых обращают уравнение в верное равенство. Если уравнение записано как x + y = 3, то в график входят именно те точки (x; y), для которых сумма координат равна 3. График помогает увидеть все решения уравнения на координатной плоскости.

Решение уравнения с двумя переменными — пара чисел, при подстановке которой получается верное равенство. Например, пара (1; 2) является решением уравнения x + y = 3. Ей соответствует точка (1; 2), поэтому решение и точка графика связаны напрямую.

График неравенства с двумя переменными — множество точек, координаты которых обращают неравенство в верное утверждение. В отличие от уравнения, такое множество часто занимает целую область плоскости. Его граница задаётся соответствующим уравнением, а затем определяется сторона, где выполняется неравенство.

Как это устроено

Каждой паре координат соответствует одна точка плоскости, и каждой точке соответствует пара координат. Поэтому условие на две переменные можно воспринимать как фильтр: он оставляет только подходящие точки. Например, условие x + y = 2 оставляет точки, у которых сумма координат равна 2, а все остальные точки исключает.

Чтобы построить график уравнения, находят его решения и отмечают соответствующие точки. Если выразить y через x, можно выбрать несколько значений x, вычислить y и получить пары координат. Но несколько точек — это только начало построения: нужно понять общий вид множества решений, поскольку график включает все подходящие точки, а не только проверенные.

Вид графика зависит от того, сколько решений имеет уравнение и как они расположены. Все решения могут образовывать прямую или другую линию, состоять из нескольких отдельных точек либо отсутствовать совсем. Поэтому график уравнения не обязательно является графиком функции: одной координате x иногда соответствуют несколько значений y.

Для неравенства сначала строят границу, заменяя знак неравенства знаком равенства. Эта граница разделяет плоскость на области, внутри которых выражение сохраняет один и тот же характер: неравенство либо выполняется, либо нет. Чтобы выбрать нужную область, достаточно взять пробную точку, не лежащую на границе, и подставить её координаты; если условие верно, выбирают область с этой точкой.

Граница входит в ответ не всегда, потому что это зависит от знака неравенства. При знаках ≤ и ≥ точки границы удовлетворяют условию, а при знаках < и > не удовлетворяют ему. Поэтому на рисунке границу нестрогого неравенства включают, а границу строгого неравенства не включают.

Как условие задаёт множество точек

В таблице сначала определите, какое условие дано, затем найдите его решения и выберите способ изображения. Для неравенства отдельно проверьте границу и область. При системе нужно учитывать все условия одновременно.

Разбор задач

Проверка принадлежности точки графику

Условие: проверить, принадлежит ли точка (1; 2) графику уравнения x + y = 3. Нужно выяснить, является ли пара координат (1; 2) решением этого уравнения. Для этого достаточно одной подстановки.

1. Подставим x = 1 и y = 2 в левую часть: 1 + 2.
2. Вычислим значение: 1 + 2 = 3.
3. Сравним результат с правой частью уравнения: 3 = 3, равенство верно.

Ответ: точка (1; 2) принадлежит графику. Она соответствует решению уравнения.

Построение графика уравнения

Условие: построить график уравнения x + y = 2. Удобно выразить одну переменную через другую, чтобы получать координаты точек. Поскольку это линейное уравнение, его решения расположены на одной прямой.

1. Выразим y: y = 2 − x.
2. Выберем, например, x = 0 и x = 2. Получим решения (0; 2) и (2; 0).
3. Отметим эти точки на координатной плоскости и проведём через них прямую.
4. Проверим направление: при x = −3 получаем y = 5, а при x = 5 — y = −3, поэтому прямая продолжается в обе стороны.

Ответ: график — прямая y = 2 − x. На ней лежат, например, точки (0; 2), (2; 0), (−3; 5) и (5; −3).

Построение графика неравенства

Условие: изобразить множество точек, заданное неравенством y ≥ x + 1. Сначала нужно понять, какая линия служит границей. Затем выбирается одна из двух полуплоскостей, образованных этой линией.

1. Построим граничную прямую y = x + 1, заменив знак ≥ на =.
2. Возьмём пробную точку, например (0; 0), которая не лежит на прямой.
3. Проверим неравенство: 0 ≥ 0 + 1, то есть 0 ≥ 1 — неверно.
4. Значит, выбираем область по другую сторону от прямой. Границу проводим сплошной линией, потому что знак неравенства нестрогий.

Ответ: нужно закрасить полуплоскость, расположенную выше прямой y = x + 1, вместе с самой прямой. Точка (0; 0) в это множество не входит.

Типичные ошибки

Ошибка 1. График уравнения принимают только за график функции. Так происходит, если забывают, что уравнение задаёт множество решений, а не обязательно зависимость y от x. Проверьте, может ли одной координате x соответствовать несколько значений y.

Ошибка 2. Несколько найденных решений считают всем графиком. Эти решения дают лишь отдельные отмеченные точки и не описывают множество целиком. Проверьте общий вид решений и продолжите линию или область по полученному закономерному расположению.

Ошибка 3. Границу неравенства закрашивают независимо от его знака. Причина — смешение строгих и нестрогих неравенств. Сверьте знак: ≤ и ≥ включают границу, а < и > требуют исключить её.

Ошибка 4. Область выбирают без проверки пробной точки. Даже правильно построенная граница не показывает, какую из двух областей нужно отметить. Возьмите точку вне границы и подставьте её координаты в исходное неравенство.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уверенно читать координаты точки и отмечать её на координатной плоскости. Это позволяет связывать пару чисел с конкретным положением точки. Ошибка в координатах сразу приводит к неверной проверке.

Пригодятся преобразования уравнений и неравенств, выражение одной переменной через другую и подстановка значений. Эти действия помогают находить решения и строить граничные линии. Чем точнее вычисления, тем надёжнее график.

Тема станет основой для изучения графиков функций, систем уравнений и неравенств. Пересечение графиков показывает общие решения нескольких условий. Так алгебраические задачи получают наглядный геометрический смысл.

Что запомнить

• Точка принадлежит графику уравнения тогда и только тогда, когда её координаты являются решением уравнения.
• График уравнения — множество всех его решений на координатной плоскости.
• Одно уравнение может задавать не только график функции.
• Граница графика неравенства задаётся соответствующим уравнением.
• Строгое неравенство не включает точки границы.
• Для выбора области неравенства проверь координаты пробной точки.