§ 7. Повторение и расширение сведений о функции

Определения и обозначения

Функция — зависимость, при которой каждому значению аргумента из области определения соответствует ровно одно значение функции. Аргумент обычно обозначают x, а соответствующее ему значение — y или f(x). Это правило позволяет однозначно вычислять результат и строить график зависимости.

Область определения функции — множество всех значений аргумента, при которых функция задана. Её часто обозначают D(f). Зная область определения, можно понять, какие x разрешено подставлять в формулу и для каких значений график может существовать.

Множество значений функции — множество значений, которые функция принимает при всех аргументах из области определения. Его нередко обозначают E(f). Оно отвечает не на вопрос «какие x допустимы?», а на вопрос «какие y получаются?», поэтому его не следует путать с областью определения.

Нуль функции — значение аргумента, при котором значение функции равно нулю. Иначе говоря, число a является нулём, если f(a) = 0. Нули нужны, чтобы находить пересечения графика с осью x и решать уравнения, заданные функцией.

Как это устроено

Область определения по формуле находят, проверяя каждое действие: не все операции можно выполнить при любом x. Например, на ноль делить нельзя, поэтому значения, обращающие знаменатель в ноль, исключают. Под корнем чётной степени должно стоять неотрицательное число, иначе результат не будет действительным; если ограничений несколько, должны выполняться все сразу.

На графике каждой точке соответствуют координаты (x; y), поэтому её положение показывает и аргумент, и значение функции. Все абсциссы точек графика составляют область определения, а все ординаты — множество значений. Так график помогает читать оба множества по разным осям и не смешивать входные данные с результатами.

Чтобы найти нули по графику, смотрят, где он пересекает или касается оси x: на этой оси ордината равна нулю. Затем отмечают участки графика выше и ниже оси. Выше оси значения y положительны, ниже — отрицательны, потому что координаты точек там соответственно больше и меньше нуля.

Возрастание и убывание определяют, двигаясь вдоль графика слева направо, то есть увеличивая x. Если при этом график поднимается, значения функции растут; если опускается — уменьшаются. Такое сравнение показывает поведение функции на промежутках, а не просто направление отдельного участка.

Чётность и нечётность связывают значения функции при противоположных аргументах x и −x. Для чётной функции они равны, поэтому точки (x; y) и (−x; y) образуют пары, симметричные относительно оси y. Для нечётной значения противоположны, так что парные точки (x; y) и (−x; −y) симметричны относительно начала координат; в обоих случаях область определения должна быть симметрична относительно нуля.

Основные свойства функции и способы их определения

Сначала определите, какие координаты или участки графика отвечают нужному свойству, затем запишите результат через значения x или y. Для чётности и нечётности одной внешней похожести недостаточно: нужно убедиться, что симметрия соблюдается для всего графика. Таблица помогает выбрать подходящий способ, но точные границы промежутков следует считывать по шкале осей.

Разбор задач

Задача 1. Для функции y = (x + 2)/(x − 1) найдите область определения. Нужно выяснить, при каких x формула имеет смысл. Числитель допускает любые значения x, но знаменатель дроби не может быть нулём.

1. Запишем условие: x − 1 ≠ 0.
2. Решим его: x ≠ 1.
3. Исключим найденное значение из множества всех действительных чисел.

Ответ: область определения — все действительные числа, кроме 1. Проверка проста: при любом другом x знаменатель не равен нулю.

Задача 2. По графику функции определите её нули и промежутки, на которых она положительна или отрицательна. Сначала найдите места, где график встречается с осью x: там значение y равно нулю. Затем разделите ось x этими точками на промежутки и проверьте, где расположены ветви графика.

1. Отметьте все точки пересечения графика с осью x и запишите их абсциссы. Это и будут нули функции.
2. На каждом промежутке между нулями посмотрите, выше или ниже оси x находится график.
3. Для участков выше оси укажите f(x) > 0, для участков ниже — f(x) < 0; концы промежутков учитывайте по самому графику.

Ответ: нули — абсциссы пересечений с осью x, промежутки положительности и отрицательности — участки соответственно выше и ниже этой оси. Числовые значения границ можно назвать, если они видны на данном графике.

Задача 3. Исследуйте функцию y = x² − 4 на чётность, найдите её нули и промежутки возрастания и убывания. Проверим формулу при противоположных аргументах, решим уравнение f(x) = 0 и определим, как меняется парабола относительно вершины.

1. f(−x) = (−x)² − 4 = x² − 4 = f(x), поэтому функция чётная.
2. Нули найдём из x² − 4 = 0: x² = 4, откуда x = −2 или x = 2.
3. Парабола направлена ветвями вверх и имеет вершину при x = 0. Слева от вершины её значения уменьшаются, справа — увеличиваются.

Ответ: функция чётная, её нули — −2 и 2; она убывает на (−∞; 0] и возрастает на [0; +∞). Симметрия графика относительно оси y согласуется с полученным равенством f(−x) = f(x).

Типичные ошибки

Можно принять область определения за множество значений функции, потому что оба понятия описывают множества чисел. Но область определения содержит аргументы x, а множество значений — результаты y. Проверяйте себя вопросом: «Что я выбираю для подстановки, а что получаю после вычисления?»

При поиске области определения иногда забывают исключить ноль знаменателя или, наоборот, включают его в ответ. Это происходит, если проверяют только часть формулы или просто подставляют значения, не оценивая допустимость операций. Подставьте найденный подозрительный x обратно: если знаменатель обращается в ноль, такое значение не подходит.

Нуль функции путают с точкой пересечения графика и осью y, потому что в обоих случаях речь идёт о пересечении с координатной осью. Нуль — это абсцисса пересечения с осью x, где y = 0; пересечение с осью y соответствует x = 0. Для проверки посмотрите, какая координата должна быть нулевой.

Функцию называют чётной или нечётной, заметив похожую на симметрию форму графика, но не проверив область определения. Если вместе с x в область не входит −x, условия чётности и нечётности нарушаются. Сначала проверьте симметричность области относительно нуля, а затем сравните f(−x) с f(x) или −f(x).

Связь с другими темами

Для работы с функциями понадобятся координатная плоскость, понимание графика и умение вычислять значение по формуле. Эти знания позволяют переводить описание зависимости с языка формул на язык точек и обратно. Свойства функций затем используют при исследовании и построении графиков квадратичной функции, а также при решении уравнений и неравенств.

Область определения и множество значений нужны и при изучении более сложных функций. При преобразованиях графика эти множества помогают проверить, какие аргументы допустимы и какие значения может принимать функция. Поэтому навыки чтения формулы и графика пригодятся далеко за пределами одной темы.

Что запомнить

• Каждому допустимому значению аргумента функция ставит в соответствие ровно одно значение.
• Область определения задаёт допустимые значения аргумента.
• Нули функции — решения уравнения f(x) = 0.
• График расположен выше оси x там, где функция положительна, и ниже — там, где она отрицательна.
• При возрастании функции большему аргументу соответствует большее значение функции.
• График чётной функции симметричен относительно оси y, а нечётной — относительно начала координат.