"Алгебра", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Система линейных неравенств с одной переменной задаёт сразу несколько условий для числа x. Решением будет только такое значение, которое подходит каждому условию одновременно, поэтому ответ находят как пересечение множеств решений неравенств. Сначала решают каждое неравенство отдельно, затем отмечают полученные промежутки на числовой прямой и выделяют общую часть. Она может быть промежутком, одной точкой или пустым множеством.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система линейных неравенств с одной переменной — это несколько неравенств с одной и той же переменной, которые должны выполняться одновременно. Например, x > 2 и x < 5 образуют систему. Такая запись нужна, когда значение переменной должно соответствовать сразу нескольким ограничениям.
Решение системы — значение переменной, при котором истинны все неравенства системы. Например, для условий x > 2 и x < 5 подходят числа между 2 и 5. Решений может не быть, если ни одно значение не удовлетворяет всем условиям сразу.
Множество решений системы — пересечение множеств решений входящих в неё неравенств. Пересечение оставляет только те значения, которые есть в каждом из множеств. Ответ обычно записывают числовым промежутком, например (2; 5], или знаком ∅, если общих решений нет.
Решение системы означает, что все её условия выполнены одновременно. Поэтому нужно найти значения, подходящие каждому неравенству, а не собрать значения, подходящие хотя бы одному из них. На числовой прямой это соответствует общей части отмеченных множеств — их пересечению.
Каждое линейное неравенство сначала решают отдельно: слагаемые с переменной приводят к одной части, а числа — к другой. Затем коэффициент при переменной убирают делением, чтобы получить условие вроде x ≤ 4. Если делить на отрицательное число, знак меняют на противоположный: например, −2x ≤ −4 превращается в x ≥ 2. Это необходимо, потому что при смене знака числа меняют взаимный порядок.
После решения всех неравенств полезно изобразить каждое множество на числовой прямой. Для системы оставляют только те точки, которые попали во все отмеченные множества. Такой способ наглядно показывает, где условия совпадают, и помогает не перепутать пересечение с объединением.
Границы отмечают с учётом знака неравенства. При строгом знаке < или > граничная точка не подходит: на прямой её изображают выколотой, а в записи промежутка используют круглую скобку. При нестрогом знаке ≤ или ≥ граница подходит, поэтому точка закрашенная, а скобка квадратная.
Общая часть может оказаться промежутком, одной точкой или пустым множеством. Например, промежутки [1; 3] и [3; 5] имеют общую граничную точку 3, а (1; 3) и (3; 5) не имеют общих точек. Если одно условие требует x < 1, а другое — x > 4, выполнить их оба невозможно.
| Ситуация на числовой прямой | Множество решений | Как записать ответ |
|---|---|---|
| Промежутки решений пересекаются на промежутке | Общая часть — промежуток | Записать его границы и скобки |
| Промежутки имеют одну общую граничную точку | Одна точка | Записать {a}, где a — общая точка |
| Промежутки не пересекаются | Пустое множество | Записать ∅ |
| В общей части есть или нет граничных точек | Граница входит или не входит в ответ | Квадратная скобка — входит, круглая — не входит |
Пользуйся таблицей после того, как решил каждое неравенство и изобразил его решения на прямой. Сначала определи вид общей части, затем проверь, какие границы в неё входят. Так можно выбрать правильную запись ответа.
Задача 1. Решите систему: x > 2, x < 5. Оба неравенства уже решены, поэтому остаётся найти числа, которые одновременно больше 2 и меньше 5. На прямой это общая часть двух лучей.
Ответ: x ∈ (2; 5). Это и есть все значения, удовлетворяющие обоим условиям.
Задача 2. Решите систему: 3x − 4 ≤ 8, 2 − x < 5. Сначала найдём решения неравенств по отдельности, а после этого сравним промежутки. Во втором неравенстве переменная получится с отрицательным коэффициентом, поэтому при делении понадобится сменить знак.
Ответ: x ∈ (−3; 4]. Число −3 не входит из-за строгого неравенства, а 4 входит из-за знака ≤.
Задача 3. Решите систему: 2(x − 1) ≥ 3x − 5, 4 − 2x ≤ 0, и проверьте, входят ли граничные точки в ответ. Здесь обе границы могут оказаться частью общей области, поэтому важно отдельно проследить за знаками неравенств. После преобразований останется найти пересечение двух лучей.
Ответ: x ∈ [2; 3]. Проверка границ подтверждает: 2 и 3 удовлетворяют обоим неравенствам.
Иногда решения неравенств объединяют, хотя нужно пересечение. Так происходит, если забыть, что условия системы выполняются одновременно. Проверь себя: выбранное число должно подходить каждому неравенству, а не только одному.
При делении на отрицательное число некоторые забывают поменять знак неравенства. Из-за этого меняется направление решения и получается неверный промежуток. Проверь каждый шаг: если делишь или умножаешь обе части на отрицательное число, знак должен стать противоположным.
Ещё одна ошибка — неверно учитывать границу: включать её при строгом знаке или исключать при нестрогом. Причина обычно в том, что знак не сверяют с записью промежутка. Проверь: < и > дают открытую границу, а ≤ и ≥ — закрытую.
Можно записать ответ, не выяснив, пересекаются ли промежутки вообще. Тогда легко пропустить пустое множество или единственную общую точку. Перед записью ответа отметь оба промежутка на прямой и убедись, что общая часть действительно есть.
Для решения систем нужно уметь решать линейные неравенства и изображать числовые промежутки на координатной прямой. Эти навыки позволяют получить отдельные множества решений и наглядно найти их общую часть. Поэтому перед решением системы стоит проверить, умеешь ли ты менять знак при делении на отрицательное число и читать границы промежутков.
Пересечение множеств используется не только в системах линейных неравенств. Оно помогает понимать, какие значения одновременно удовлетворяют уравнениям и неравенствам, в том числе системам с квадратными неравенствами. В таких задачах сами промежутки могут находить сложнее, но правило общей части остаётся тем же.
Чем решение системы отличается от решения одного неравенства?
Решение одного неравенства должно удовлетворять только ему. Решение системы должно подходить каждому неравенству, входящему в неё, поэтому оно может быть лишь частью решений каждого условия.
Почему для системы нужно находить пересечение, а не объединение?
В системе условия действуют одновременно: число обязано удовлетворять всем неравенствам. Пересечение оставляет только общие значения, а объединение включило бы числа, подходящие лишь одному из условий.
Как показать решения системы на числовой прямой?
Сначала отметьте на прямой множество решений каждого неравенства. Затем выделите часть, которая принадлежит всем отмеченным множествам, и запишите её в виде промежутка или отдельной точки.
Что делать, если промежутки решений не пересекаются?
Тогда ни одно число не удовлетворяет всем условиям одновременно. Множество решений системы пусто, и в ответе записывают ∅.
Как понять, включается ли граничная точка в ответ?
При строгом знаке < или > граница не входит в множество, поэтому её отмечают выколотой точкой и используют круглую скобку. При знаке ≤ или ≥ граница входит, её отмечают закрашенной точкой и используют квадратную скобку.
§ 6. Системы линейных неравенств с одной переменной
