§ 5. Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки.

Определения и обозначения

Неравенство с одной переменной — это неравенство, в котором есть переменная, например x + 3 > 7, 2x ≤ 10 или −4x − 1 ≥ 3. Вместо переменной можно подставлять числа, и в зависимости от подстановки утверждение будет верным или неверным. По виду неравенства заранее видно, какое условие проверять, но значения, подходящие под него, нужно найти.

Решение неравенства — значение переменной, при котором неравенство обращается в верное числовое утверждение. Например, 5 является решением x > 2, а 1 — нет. Решения могут составлять одно число или целое множество, поэтому ответ важно записывать полностью.

Равносильные неравенства — неравенства, множества решений которых совпадают. Например, x + 2 > 5 и x > 3 равносильны: оба выполняются при одних и тех же значениях x. Это понятие позволяет заменять сложное неравенство более простым, не меняя ответа.

Числовой промежуток — множество чисел, заданное условиями на их границы. Запись (1; 4] означает, что число больше 1 и не больше 4. Промежуток помогает коротко указать сразу все решения, а скобки показывают, включаются ли крайние числа.

Как это устроено

Чтобы проверить, является ли число решением, его подставляют вместо переменной в исходное неравенство. Затем вычисляют обе части и проверяют знак: например, при x = 4 в неравенстве 2x > 6 получаем 8 > 6, то есть верное утверждение. Если после подстановки выходит неверное сравнение, число решением не является. Проверка полезна и после решения: она помогает заметить ошибку в вычислениях или записи границы.

Прибавление одного и того же числа к обеим частям сохраняет знак, потому что сдвигает оба сравниваемых числа одинаково и их порядок не меняется. Так, из 3 < 7 следует 3 + 2 < 7 + 2. Умножение или деление на отрицательное число разворачивает порядок: на числовой прямой числа после такого действия располагаются в обратном порядке, поэтому знак меняют на противоположный. Например, из 2 < 5 получается −2 > −5.

Равносильные преобразования позволяют шаг за шагом упростить запись, сохраняя всё множество решений. Слагаемое можно перенести в другую часть с противоположным знаком — это равносильно прибавлению противоположного числа к обеим частям. Затем можно разделить обе части на ненулевой коэффициент при переменной; если он отрицательный, знак нужно поменять. Например, так неравенство с несколькими действиями сводят к виду x < a или x ≥ a, который легко прочитать и изобразить промежутком.

Множество решений записывают промежутком: x < 3 — это (−∞; 3), а x ≤ 3 — (−∞; 3]. Круглая скобка показывает, что граница не включена, квадратная — что включена; знаки бесконечности всегда записывают с круглыми скобками. Если граница удовлетворяет нестрогому условию ≤ или ≥, она входит в ответ. По записи можно сразу восстановить неравенство и проверить, какие числа подходят.

Когда условие допускает несколько вариантов, используют объединение промежутков: слово «или» означает, что подходит число хотя бы из одного промежутка. Например, x < −1 или x ≥ 2 задаёт (−∞; −1) ∪ [2; +∞). Слово «и» требует одновременного выполнения условий, поэтому берут пересечение — только общую часть промежутков. Если общей части нет, пересечение пусто.

Виды числовых промежутков и их запись

В таблице a и b — границы, причём a < b. У бесконечного промежутка есть только одна конечная граница, а знак бесконечности не является числом и никогда не включается. Для лучей ниже показаны варианты, направленные вправо; лучи влево записывают аналогично, меняя направление условия.

Сначала сравните знак неравенства с условием в третьем столбце, затем выберите круглую или квадратную скобку у каждой конечной границы. Например, запись x > a соответствует открытому лучу, а x ≥ a — лучу с включённой границей. Для промежутка влево от a используются условия x < a и x ≤ a соответственно.

Разбор задач

1. Решить неравенство 3x − 5 < 7 и записать ответ числовым промежутком

Нужно оставить переменную по одну сторону, а числа — по другую. При переносе слагаемого мы фактически выполняем одно и то же действие с обеими частями, поэтому множество решений сохраняется. Получившееся строгое условие подскажет, какую скобку поставить у границы.

1. Прибавим 5 к обеим частям: 3x − 5 + 5 < 7 + 5, поэтому 3x < 12.
2. Разделим обе части на 3. Число положительное, следовательно, знак не меняется: x < 4.
3. Число 4 не входит в ответ, поскольку условие строгое. Все числа меньше 4 записываются промежутком (−∞; 4).

Ответ: x < 4, или (−∞; 4).

2. Решить неравенство −2(x + 1) ≥ 6 и проверить, входит ли −4 в множество решений

Сначала раскроем скобки, чтобы увидеть коэффициент при x. После переноса числового слагаемого придётся делить на отрицательное число, поэтому именно на этом шаге нужно поменять знак. Проверка граничного значения покажет, не потеряли ли мы его при записи промежутка.

1. Раскроем скобки: −2x − 2 ≥ 6.
2. Прибавим 2 к обеим частям: −2x ≥ 8.
3. Разделим на −2 и изменим знак на противоположный: x ≤ −4. Значит, множество решений — (−∞; −4].
4. Подставим −4 в исходное неравенство: −2(−4 + 1) = 6, а 6 ≥ 6 — верное утверждение. Следовательно, граница −4 действительно входит в ответ.

Ответ: x ≤ −4, то есть (−∞; −4]; число −4 является решением.

3. Найти пересечение промежутков (−3; 2] и [−1; 5), затем записать результат в виде неравенства

Пересечение состоит из чисел, которые одновременно лежат в обоих промежутках. Нижняя граница общей части — −1, а верхняя — 2: за эти числа один из промежутков уже не доходит. Нужно отдельно проверить обе границы, потому что положение границы в одном промежутке ещё не гарантирует её включение в пересечение.

1. Сравним нижние границы: общая часть начинается с −1, так как числа из второго промежутка не меньше −1.
2. Сравним верхние границы: общая часть заканчивается на 2, поскольку первый промежуток содержит только числа не больше 2.
3. Число −1 входит в оба промежутка: во втором оно включено квадратной скобкой, а в первом находится между границами. Число 2 также входит в оба: в первом оно включено, во втором лежит внутри.
4. Значит, обе границы включены, и пересечение равно [−1; 2]. В виде неравенства это −1 ≤ x ≤ 2.

Ответ: (−3; 2] ∩ [−1; 5) = [−1; 2], или −1 ≤ x ≤ 2.

Типичные ошибки

При умножении или делении обеих частей на отрицательное число иногда оставляют прежний знак. Ошибка возникает из-за привычки выполнять одинаковые действия с обеих частей, но отрицательное число меняет порядок чисел на противоположный. Проверяйте знак отдельным шагом; для контроля можно подставить подходящее число в исходное неравенство.

Круглые и квадратные скобки путают, если не сверять их с тем, включена ли граница. Круглая означает, что граничное число не входит, квадратная — что входит. Проверьте границу подстановкой или сравните запись промежутка с условием: например, x > 4 не допускает квадратную скобку у 4.

При строгом неравенстве иногда ошибочно включают граничное значение. Так происходит, когда записывают найденную границу, не возвращаясь к знаку < или >. Подставьте граничное число в условие: если получается равенство, оно не удовлетворяет строгому неравенству, значит, нужна круглая скобка.

Пересечение принимают за объединение и записывают все числа из обоих промежутков. Причина в том, что оба действия объединяют множества, но пересечение оставляет лишь общие элементы. Чтобы проверить себя, возьмите число из предполагаемой части ответа: оно должно принадлежать каждому из исходных промежутков.

Связь с другими темами

До этой темы нужно уметь сравнивать числа, выполнять действия с отрицательными числами и решать линейные уравнения: те же навыки нужны при преобразовании неравенств. Например, перенос слагаемых опирается на свойства равенств, а смена знака при делении на отрицательное число — на порядок чисел. Позже промежутки и преобразования неравенств пригодятся при решении систем, где нужно найти общие решения нескольких условий. Они также помогают определять область допустимых значений выражения — числа, при которых оно имеет смысл.

Что запомнить

• Решение неравенства — любое значение переменной, при котором неравенство верно.
• При прибавлении одного и того же числа к обеим частям знак неравенства сохраняется.
• При умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак неравенства меняется.
• Круглая скобка означает, что граница не входит в промежуток.
• Квадратная скобка означает, что граница входит в промежуток.
• Пересечение содержит общие элементы промежутков, объединение — элементы хотя бы одного из них.