§ 4. Неравенства с одной переменной

Определения и обозначения

Неравенство с одной переменной — неравенство, содержащее переменную, значения которой делают его истинным. Например, 2x − 1 > 4 — неравенство с переменной x. При разных значениях x оно может быть верным или неверным, поэтому само наличие переменной ещё не даёт ответа. Это понятие нужно, чтобы описывать условие, которому должны удовлетворять неизвестные значения.

Решение неравенства — значение переменной, при котором неравенство обращается в верное числовое утверждение. Например, для 2x − 1 > 4 число 3 не подходит, а число 4 подходит: после подстановки получаем 7 > 4. Проверка отдельного числа помогает понять, входит ли оно в ответ. Но даже найденное подходящее число не заменяет полного решения.

Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что решений нет. Нужно не просто подобрать несколько подходящих значений, а установить общее условие для переменной. Например, ответ x > 2 сразу показывает, что подходят все числа больше 2. Если ни одно значение условию не удовлетворяет, это также полноценный результат решения.

Множество решений неравенства — все значения переменной, удовлетворяющие неравенству; его обычно записывают промежутком. Так, условию x > 2 соответствует промежуток (2; +∞), а условию x ≤ 2 — (−∞; 2]. Такая запись компактно объединяет бесконечно много чисел и показывает, входит ли граница в ответ. Поэтому по промежутку можно быстро восстановить исходное ограничение на переменную.

Как это устроено

Проверяя, является ли число решением, подставляют его вместо переменной и сравнивают полученные числа. Например, при x = 3 в неравенстве 2x − 1 > 4 слева получится 5, а 5 > 4 — верное утверждение. Подстановка превращает выражение с переменной в обычное числовое сравнение. Если сравнение оказалось неверным, выбранное число не является решением.

Линейное неравенство после упрощения часто принимает вид x > a или x ≤ a, где a — число. Тогда все подходящие значения расположены по одну сторону от границы a: больше неё или меньше неё. Знак сравнения показывает, в какую сторону продолжается множество решений, а знак равенства под чертой указывает, включена ли сама граница. Поэтому ответ обычно представляет собой промежуток, а не отдельное число.

Прибавление или вычитание одного и того же числа из обеих частей не меняет множество решений. Если к двум сравниваемым числам прибавить одно и то же число, их порядок сохранится: например, из 3 < 7 следует 3 + 2 < 7 + 2. Вычитание числа равносильно прибавлению противоположного, поэтому действует то же правило. Благодаря этому слагаемые можно переносить из одной части неравенства в другую, не меняя знак сравнения.

Умножение или деление обеих частей на положительное число сохраняет порядок чисел. Например, из 2 < 5 следует 2 · 3 < 5 · 3, поэтому знак неравенства остаётся прежним. Отрицательное число меняет порядок на противоположный: из 2 < 5 следует −2 > −5. Значит, при умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак обязательно переворачивают, иначе получится неверное сравнение и изменится множество решений.

На числовой прямой промежуток показывают точкой границы и лучом в сторону подходящих значений. Для строгого неравенства границу отмечают пустым кружком, а для нестрогого — закрашенным; это наглядно показывает, входит ли она в ответ. В записи промежутка строгой границе соответствует круглая скобка, а включённой — квадратная. Например, x < 4 задаёт (−∞; 4), тогда как x ≥ 4 задаёт [4; +∞).

Преобразования неравенств и изменение множества решений

Пользуйтесь таблицей, чтобы перед каждым преобразованием проверить, меняется ли знак неравенства. Особенно внимательно следите за умножением и делением: решающим является знак числа, на которое выполняется действие. Если делите или умножаете на отрицательное, сразу запишите новый знак противоположного направления.

Разбор задач

Задача 1. Проверьте, является ли число 3 решением неравенства 2x − 1 > 4. Здесь не требуется находить все решения: нужно проверить только предложенное значение. Для этого вместо x подставим 3 и вычислим левую часть. Затем сравним получившиеся числа.

1. Подставим x = 3: 2 · 3 − 1 > 4.
2. Вычислим левую часть: 6 − 1 > 4, то есть 5 > 4.
3. Сравнение верно, значит, подстановка удовлетворяет неравенству.

Ответ: да, число 3 является решением неравенства.

Задача 2. Решите неравенство 5x − 7 ≤ 8 и запишите ответ в виде промежутка. Сначала отделим слагаемое с переменной от числовой части. Затем разделим обе части на коэффициент при x и проверим, изменится ли знак сравнения. Коэффициент 5 положительный, поэтому направление останется прежним.

1. Прибавим 7 к обеим частям: 5x − 7 + 7 ≤ 8 + 7, откуда 5x ≤ 15.
2. Разделим обе части на 5: x ≤ 3. Поскольку 5 > 0, знак ≤ не меняется.
3. Граница 3 входит в решение, так как неравенство нестрогое. Все подходящие числа меньше 3 или равны ему.

Ответ: x ≤ 3, или (−∞; 3].

Задача 3. Решите неравенство −3(2x − 1) > 9, изобразите множество решений на числовой прямой и запишите его промежутком. Сначала раскроем скобки: минус перед скобками влияет на оба слагаемых внутри неё. После этого переменная окажется в линейном неравенстве, которое можно решить делением. Делить предстоит на отрицательное число, поэтому направление знака изменится.

1. Раскроем скобки: −6x + 3 > 9.
2. Вычтем 3 из обеих частей: −6x > 6.
3. Разделим обе части на −6 и поменяем знак: x < −1.
4. На прямой отметим −1 пустым кружком и проведём луч влево, поскольку подходят числа меньше −1.

Ответ: x < −1, или (−∞; −1).

Типичные ошибки

При умножении или делении на отрицательное число иногда оставляют прежнее направление знака. Так происходит, если помнить правило только для положительных чисел и не учитывать, что отрицательное число меняет порядок. Перед таким действием отметьте знак множителя или делителя и сразу переверните знак неравенства. Проверить результат можно подстановкой значения из полученного промежутка в исходное неравенство.

Некоторые меняют знак неравенства при прибавлении или вычитании числа. Вероятная причина — смешение этого правила с делением на отрицательное число, хотя прибавление и вычитание порядок чисел не меняют. Запишите действие с обеими частями и оставьте знак прежним. Для самопроверки выполните ту же операцию на простом числовом сравнении, например 2 < 5.

Ошибка при раскрытии скобок часто возникает, когда перед ними стоит минус: забывают изменить знак одного из слагаемых. В результате меняется само выражение и дальнейшее решение уже относится к другому неравенству. Умножайте на число перед скобками каждый её член отдельно, например −3(2x − 1) = −6x + 3. Проверить раскрытие можно обратным вынесением общего множителя.

Граничное значение иногда включают в ответ при строгом знаке или исключают при нестрогом. Путаница возникает из-за того, что в обоих случаях на прямой показывают одну и ту же границу, хотя её принадлежность различается. Сверяйте знак: < и > не включают границу, а ≤ и ≥ включают. Затем проверьте запись промежутка: круглая скобка означает, что граница не входит, квадратная — что входит.

Связь с другими темами

Для решения неравенств нужны навыки действий с числами и выражениями, раскрытия скобок и решения линейных уравнений. Особенно полезно уверенно выполнять перенос слагаемых и деление на отрицательное число: это позволяет не терять решения при преобразованиях. Далее неравенства помогают исследовать функции, решать системы неравенств и находить область допустимых значений в задачах. Во всех этих случаях нужно определить не отдельное значение, а условия, которым должны удовлетворять переменные.

Что запомнить

• Решением неравенства является значение переменной, при котором оно истинно.
• Прибавление или вычитание одного и того же числа сохраняет множество решений.
• Умножение или деление на положительное число сохраняет направление знака.
• При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняет направление.
• Ответом служит множество всех решений, а не только одно найденное значение.
• Для строгого неравенства граничная точка не входит в решение; для нестрогого — входит.