§ 9. Неравенства с одной переменной

Определения и обозначения

Неравенство с одной переменной — утверждение, содержащее переменную и один из знаков <, >, ≤ или ≥. Например, 2x + 1 > 5 истинно не при любом x: его смысл меняется в зависимости от подставленного числа. Это понятие нужно, чтобы описывать ограничения на величину и выяснять, при каких значениях условие выполняется.

Решение неравенства — значение переменной, при котором неравенство становится верным. Например, x = 4 является решением неравенства 2x > 6, а x = 2 — нет. Проверка конкретного значения помогает понять, что именно требуется найти, хотя обычно ищут не одно число, а целую совокупность значений.

Множество решений неравенства — все значения переменной, являющиеся его решениями. Его удобно записывать промежутком, например (3; +∞), или объединением промежутков, например (−∞; 0) ∪ (2; +∞). Такая запись показывает сразу все подходящие числа и то, входят ли граничные точки в ответ.

Равносильные неравенства — неравенства, имеющие одно и то же множество решений. Например, 2x > 6 и x > 3 равносильны, поскольку задают одни и те же значения x. Понятие нужно, чтобы преобразовывать исходное неравенство в более простое, не меняя ответа.

Как это устроено

Множество решений всегда ищут внутри области определения — совокупности значений, при которых выражение имеет смысл. Сначала учитывают ограничения, например запрет деления на ноль, а затем из допустимых значений выбирают те, что делают неравенство истинным. Поэтому ответ — не просто результат преобразований: он должен удовлетворять и исходному условию, и ограничениям выражения.

Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число или вычесть его, порядок чисел не изменится: на числовой прямой оба числа просто сдвинутся одинаково. Умножение или деление на положительное число тоже сохраняет порядок. Отрицательное число меняет направление порядка: например, 2 < 5, но −2 > −5, поэтому при таком умножении или делении знак разворачивают.

Решения изображают на числовой прямой, чтобы увидеть границы промежутка и включены ли они. При строгом знаке < или > точку на границе не берут, поэтому конец промежутка открытый и обозначается круглой скобкой. При нестрогом знаке ≤ или ≥ граничное значение включают, если оно допустимо, и используют закрытую точку, или квадратную скобку в записи промежутка.

Квадратное неравенство решают по нулям квадратного трёхчлена — значениям x, при которых он равен нулю. Эти корни делят числовую прямую на промежутки, а внутри каждого знак трёхчлена постоянен; поэтому достаточно установить знак на каждом таком участке. Для двух корней и положительного старшего коэффициента трёхчлен положителен снаружи корней и отрицателен между ними, для отрицательного коэффициента картина обратная.

В дробно-рациональном неравенстве знак дроби зависит и от числителя, и от знаменателя. Нули числителя могут быть решениями при нестрогом знаке, а значения, обращающие знаменатель в ноль, запрещены всегда. Поэтому обе группы точек отмечают отдельно: они делят прямую на интервалы для проверки знака, но в ответ включают только допустимые точки, подходящие по знаку неравенства.

Основные виды неравенств и способы их решения

Сначала определите вид неравенства, затем выберите подходящий приём из таблицы. Перед записью ответа проверьте, правильно ли учтены знаки, корни и ограничения области определения. Для системы отдельно решите каждое условие, а затем оставьте только общие значения.

Разбор задач

Задача 1. Решить неравенство 3x − 5 > 7. Здесь переменная входит в линейное выражение, поэтому нужно оставить слагаемое с x отдельно. При переносе числа через знак равенства мы фактически прибавляем одно и то же число к обеим частям, так что направление неравенства сохраняется.

1. Прибавим 5 к обеим частям: 3x > 12.
2. Разделим обе части на 3. Это положительное число, поэтому знак не меняется: x > 4.
3. Проверим граничное значение: при x = 4 левая часть исходного неравенства равна 7, а 7 > 7 неверно. Поэтому 4 не входит в ответ.

Ответ: x ∈ (4; +∞). Проверка точки границы подтверждает, что промежуток должен быть открытым.

Задача 2. Решить неравенство x² − 5x + 6 ≤ 0. Удобно разложить трёхчлен на множители и определить, где их произведение отрицательно или равно нулю. Поскольку знак нестрогий, нули произведения могут войти в ответ.

1. Разложим трёхчлен: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
2. Нули множителей — 2 и 3. Они разбивают прямую на три промежутка.
3. Старший коэффициент положительный, поэтому произведение отрицательно между корнями и положительно вне их. Условию ≤ 0 соответствуют значения между корнями и сами корни.

Ответ: x ∈ [2; 3]. На концах трёхчлен равен нулю, поэтому оба значения включены.

Задача 3. Решить неравенство (x − 2)(x + 1)/(x − 3) > 0. Дробь меняет знак только в точках, где числитель или знаменатель равен нулю. При этом точка из знаменателя всегда запрещена, а точки числителя не войдут в ответ из-за строгого знака.

1. Нули числителя: x = 2 и x = −1. Знаменатель обращается в ноль при x = 3, поэтому x ≠ 3.
2. Отметим точки −1, 2, 3 на прямой. Проверим знак дроби на интервалах: например, подстановка x = −2 даёт отрицательное значение, x = 0 — положительное, x = 2,5 — отрицательное, x = 4 — положительное.
3. Выберем интервалы с положительным знаком. Точки −1 и 2 исключаем по строгому знаку, а 3 — как запрещённое значение.

Ответ: x ∈ (−1; 2) ∪ (3; +∞). Подстановка контрольных значений на интервалах помогает проверить знаки.

Типичные ошибки

При делении на отрицательное число иногда оставляют прежний знак, потому что переносят правило деления уравнений на неравенства. В результате получают множество, противоположное нужному; например, из −2x > 6 ошибочно выводят x > −3 вместо x < −3. Чтобы проверить себя, умножьте полученный ответ обратно или подставьте подходящее число в исходное неравенство.

Ноль знаменателя включают в ответ, если забывают, что исходная дробь в этой точке не определена. Последующие преобразования могут скрыть запрет, но не могут сделать деление на ноль допустимым. Перед методом интервалов выпишите отдельно область определения и в конце убедитесь, что ни одна запрещённая точка не попала в ответ.

При строгом неравенстве иногда включают корни, а при нестрогом — исключают их, не обращая внимания на знак. Это происходит, когда механически копируют концы промежутка, не проверяя значение выражения на границе. Подставьте каждый корень в исходное неравенство: равенство подходит для ≤ и ≥, но не подходит для < и >, если точка допустима.

При решении системы можно ошибочно объединить решения отдельных неравенств вместо того, чтобы найти общую часть. Объединение означает «подходит хотя бы одно условие», а система требует выполнения всех условий одновременно. Изобразите промежутки на одной прямой и оставьте только пересекающиеся участки; затем проверьте, что выбранное значение удовлетворяет каждому неравенству.

Связь с другими темами

Для решения неравенств нужны преобразования выражений, разложение многочленов на множители и умение изображать числовые промежутки. Эти навыки позволяют находить корни и работать с интервалами, не теряя граничные значения. Понятия опираются на числовую прямую, функции и их нули: знак выражения можно исследовать через поведение соответствующей функции.

Неравенства помогают находить области определения функций, выяснять, где график расположен выше или ниже оси, и решать системы условий. Они также встречаются в задачах с ограничениями, например на допустимое время, расстояние или расход. Поэтому умение правильно записывать множество решений полезно не только в алгебре, но и при моделировании практических ситуаций.

Что запомнить

• Решение неравенства — это множество значений переменной, при которых оно верно.
• При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется.
• Для строгого неравенства концы промежутков не включаются.
• Для нестрогого неравенства корни включаются, если они допустимы.
• Нули знаменателя никогда не входят в множество решений.
• В квадратном неравенстве сначала находят корни, затем определяют знаки на промежутках.
• Решение системы неравенств является пересечением решений отдельных неравенств.