"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень)", Пратусевич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н.
Модуль показывает расстояние числа от нуля, поэтому он не бывает отрицательным и может соответствовать двум числам — например, |x| = 2 имеет решения −2 и 2. Уравнения и неравенства с модулем решают, учитывая знак выражения под ним или переводя условие в равносильную запись. Здесь важно не только раскрыть модуль, но и проверить, подходят ли найденные корни выбранным условиям. Такие приёмы помогают исследовать графики, системы и задачи с параметрами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Модуль числа |a| — неотрицательное расстояние числа a от нуля на координатной прямой. По определению, |a| = a при a ≥ 0 и |a| = −a при a < 0. Например, |−4| = 4, потому что расстояние не может быть отрицательным; кусочная запись позволяет заменить модуль обычным выражением, когда известен знак числа.
Уравнение с модулем — равенство, в котором неизвестное содержится под знаком модуля, например |2x − 3| = 5. При решении нужно выяснить, какие значения выражения под модулем дают заданное расстояние. Поэтому такое уравнение часто сводят к двум уравнениям или разбирают по знаку выражения.
Неравенство с модулем — неравенство, в котором неизвестное входит в выражение под знаком модуля, например |x + 1| ≤ 3. Оно описывает числа, для которых расстояние от выражения до нуля меньше или больше заданной величины. Понимание этого смысла помогает записать решение одним промежутком или объединением промежутков.
Равносильные преобразования — действия, которые сохраняют множество решений уравнения или неравенства. Если преобразовать условие равносильно, в ответе не появятся лишние значения и не потеряются подходящие. При разборе модуля важно сохранять равносильность в каждом случае и отдельно учитывать его условие на знак.
Знак модуля нужен, чтобы записывать расстояние одним выражением для чисел по обе стороны от нуля. Если число неотрицательно, оно уже равно своему расстоянию до нуля, поэтому |a| = a. Если число отрицательно, расстояние получается сменой знака, поэтому |a| = −a; именно отсюда возникают два случая определения.
Чтобы раскрыть |f(x)|, сначала определяют, где f(x) ≥ 0, а где f(x) < 0. На первой области модуль заменяют на f(x), на второй — на −f(x), после чего решают полученные условия только при соответствующих ограничениях. Ограничения нужны потому, что формула для модуля верна лишь при указанном знаке; без них можно принять неподходящий корень.
В уравнении |f(x)| = a левая часть неотрицательна. Если a > 0, расстояние a от нуля имеют два числа: a и −a, поэтому получаются уравнения f(x) = a и f(x) = −a. Если a < 0, получить такое значение модуля невозможно; при a = 0 остаётся единственный случай f(x) = 0.
Для неравенства |f(x)| < a при a > 0 выражение f(x) должно находиться ближе к нулю, чем на расстояние a. Это означает, что оно расположено между −a и a: −a < f(x) < a; для знака ≤ границы включаются. Напротив, условие |f(x)| > a означает, что f(x) удалено от нуля дальше, чем a, поэтому оно лежит левее −a или правее a; при ≥ границы включаются.
Способ решения выбирают по виду задачи: модуль раскрывают по промежуткам, заменяют f(x) новой переменной, если это упрощает условие, или рассматривают график y = |f(x)|. Графический подход показывает пересечения с уровнем a для уравнения и подходящие части графика для неравенства. После любого способа проверяют корни и промежутки: при разборе по знаку проверка подтверждает, что решение действительно относится к выбранному случаю.
| Вид условия | Дополнительное условие | Равносильная запись | Геометрический смысл |
|---|---|---|---|
| |f(x)| = a | a > 0 | f(x) = a или f(x) = −a | Точки на расстоянии a от нуля |
| |f(x)| < a | a > 0 | −a < f(x) < a | Между −a и a, без границ |
| |f(x)| ≤ a | a ≥ 0 | −a ≤ f(x) ≤ a | Между −a и a, включая границы |
| |f(x)| > a | a ≥ 0 | f(x) < −a или f(x) > a | За пределами промежутка [−a; a] |
| |f(x)| ≥ a | a ≥ 0 | f(x) ≤ −a или f(x) ≥ a | За пределами промежутка, включая границы |
Сначала проверьте дополнительное условие: оно определяет, применима ли запись из третьего столбца. Для строгих неравенств границы не входят в решение, а для нестрогих входят. Слово «или» в двух внешних случаях означает объединение решений, тогда как двойное неравенство задаёт пересечение двух условий.
Ответ: x = −1 или x = 4.
Ответ: x ∈ [−4; 2].
Ответ: x = 1 или x = 4.
Первая ошибка — убрать знак модуля, не выяснив знак выражения внутри, или менять этот знак всегда. Так делают, механически перенося правило для отрицательных чисел на все случаи. Перед заменой проверьте знак выражения на рассматриваемой области: при неотрицательном значении модуль его сохраняет, при отрицательном меняет.
Вторая ошибка — заменить |f(x)| = a только на f(x) = a и забыть случай f(x) = −a. Причина в том, что ученик учитывает лишь положительное число с заданным расстоянием от нуля. Для самопроверки при a > 0 выпишите обе границы расстояния, −a и a, и проверьте оба уравнения.
Третья ошибка — записать |f(x)| < a как объединение случаев или |f(x)| > a как двойное неравенство. Первому условию соответствует промежуток между границами, а второму — области за его пределами. Можно проверить запись на числовой прямой: близость к нулю даёт середину, удалённость — две внешние части.
Четвёртая ошибка — не проверять найденные корни и ограничения случаев. При раскрытии модуля уравнение решают только там, где выбранный знак действительно верен, иначе в ответ может попасть постороннее значение. Подставьте корень в исходное условие и отдельно убедитесь, что он принадлежит нужной области.
Для решения этих задач нужны свойства модуля, навыки работы с линейными и квадратными уравнениями, промежутками и неравенствами. График y = |f(x)| позволяет увидеть решения: уравнение задаёт пересечения графика с прямой y = a, а неравенство — области выше или ниже заданного уровня. Эти приёмы пригодятся при решении систем и задач с параметрами, исследовании функций и построении графиков с модулем.
Почему уравнение с модулем даёт два случая?
Потому что числа f(x) и −f(x) имеют одинаковый модуль: оба находятся на одинаковом расстоянии от нуля. Поэтому при |f(x)| = a, где a > 0, возможны два случая: f(x) = a или f(x) = −a.
Что делать, если справа от модуля стоит отрицательное число?
Уравнение |f(x)| = a при a < 0 решений не имеет: модуль всегда неотрицателен. Неравенства тоже нужно оценивать с учётом того, что |f(x)| ≥ 0; например, |f(x)| < a при a < 0 невозможно.
Чем отличаются решения неравенств |f(x)| < a и |f(x)| > a?
При a > 0 первое неравенство означает, что f(x) находится между −a и a: −a < f(x) < a. Второе означает, что f(x) расположен за пределами этого промежутка: f(x) < −a или f(x) > a.
Нужно ли проверять корни после раскрытия модуля?
Да, если при раскрытии рассматривались отдельные случаи с ограничениями на знак выражения. Подставьте каждый корень в исходное условие или проверьте, что он удовлетворяет ограничению своего случая.
Можно ли решать уравнение или неравенство с модулем графически?
Можно: строят график y = |f(x)| и сравнивают его с прямой y = a. Точки пересечения дают решения уравнения, а нужные участки графика — решения неравенства.
§ 10. Уравнения и неравенства с модулем
