§ 11. Деление с остатком целых чисел

Определения и обозначения

Деление с остатком — представление целого числа a в виде a = bq + r, где b ≠ 0, а 0 ≤ r < |b|. Здесь из делимого как будто выделяют целое число групп, в каждой из которых по |b| единиц, а r показывает, что осталось. Равенство задаёт точный способ проверить результат деления.

Делимое — целое число a, которое представляют в виде суммы bq + r. Это число, которое нужно разделить на группы или выразить через делитель и остаток. Обозначение помогает сразу видеть, какое число должно получиться после вычислений.

Делитель — ненулевое целое число b, на которое делят. В границах остатка используют не сам b, а его модуль |b|, то есть расстояние от числа b до нуля. Благодаря этому правило одинаково работает и для положительного, и для отрицательного делителя.

Неполное частное q и остаток r — целые числа из равенства a = bq + r. Частное показывает, сколько раз делитель участвует в разложении делимого, а остаток — что не вошло в это количество. При заданных a и b подходящая пара q и r единственна, поэтому ответ не зависит от способа подбора.

Как это устроено

Равенство a = bq + r записывает делимое как сумму кратного делителя и того, что осталось. Произведение bq соответствует целому числу полных групп, а r — неполной части. Такая запись полезнее приближённого результата деления: она точно показывает и число групп, и остаток. Поэтому по ней легко проверить вычисления умножением и сложением.

Остаток ограничивают условием 0 ≤ r < |b|, чтобы представление было единственным. Если r отрицателен, можно перенести часть, равную делителю, из остатка в произведение и изменить q. Если же r ≥ |b|, остаток содержит ещё одно полное кратное делителя, которое тоже можно включить в частное. Границы оставляют только одно допустимое значение остатка.

Существование и единственность можно понять через соседние кратные |b|. При делении a на положительное число |b| найдётся целое число кратных, между которыми находится a; расстояние от нижнего кратного до a и будет остатком. Это расстояние неотрицательно и меньше шага между кратными, то есть |b|. Для отрицательного b знак соответствующего q меняется, но набор кратных и расстояние до них остаются теми же, поэтому пара q и r также единственна.

При отрицательном делимом нельзя просто округлять частное к нулю, если нужен неотрицательный остаток. Например, при −23 : 6 частное −3 дало бы остаток −5: −23 = 6 · (−3) − 5. Нужно взять следующее меньшее целое частное, −4, и получить −23 = 6 · (−4) + 1. Теперь остаток лежит между 0 и 6, как и требуется.

Если делитель отрицательный, равенство сохраняет вид a = bq + r, а остаток по-прежнему выбирают между 0 и |b|. Например, при делении на −12 произведение (−12) · 12 отрицательно, поэтому оно может быть близко к отрицательному делимому. Знак делителя влияет на то, каким будет q, но не меняет границы для r. Проверять результат нужно по исходному равенству и по модулю делителя.

Условия деления целых чисел с остатком

Сначала определите знаки делимого и делителя, затем запишите равенство и границы остатка. Для любого знака b сравнивают остаток с |b|, а не с самим b. В последней строке остаток нулевой, поэтому делимое делится на делитель нацело.

Разбор задач

Разделить 23 на 6 с остатком

Нужно найти целые q и r, для которых 23 = 6q + r и 0 ≤ r < 6. Ищем ближайшее к 23 кратное шести, не превосходящее 23: это 18. Разность между делимым и этим кратным станет остатком, который обязательно проверим по границам.

1. Находим целое частное: 6 · 3 = 18, а следующее кратное 6 · 4 = 24 уже больше 23. Значит, подходит q = 3. Выбор наибольшего кратного, которое не превосходит делимое, помогает сразу получить неотрицательную разность.
2. Вычисляем остаток: r = 23 − 18 = 5. Проверяем границы: 0 ≤ 5 < 6. Следовательно, равенство 23 = 6 · 3 + 5 удовлетворяет обоим условиям.

Ответ: частное 3, остаток 5. Проверка показывает, что три группы по шесть дают 18, а ещё пять единиц составляют исходное число 23.

Разделить −23 на 6 с остатком

Здесь требуется сохранить условие 0 ≤ r < 6, хотя делимое отрицательно. Если взять частное −3, получится отрицательная разность: −23 = 6 · (−3) − 5. Поэтому подбираем частное так, чтобы произведение не оказалось больше делимого и разность стала неотрицательной.

1. Берём q = −4 и умножаем: 6 · (−4) = −24. Это кратное на единицу меньше −23, поэтому разность между делимым и произведением равна 1. Такой выбор соответствует требованию неотрицательного остатка.
2. Получаем r = −23 − (−24) = 1. Проверяем границы: 0 ≤ 1 < 6, а равенство −23 = 6 · (−4) + 1 возвращает исходное число. Частное −3 не подошло бы, поскольку тогда остаток был бы −5.

Ответ: частное −4, остаток 1. При отрицательном делимом округление к нулю может привести к запрещённому отрицательному остатку, поэтому важнее проверить равенство и границы.

Найти частное и остаток при делении −137 на −12

Ищем q и r из равенства −137 = (−12)q + r, где 0 ≤ r < 12. Сравним делимое с кратными −12: произведение, близкое к −137 и не превышающее его, даст подходящее начало разложения. Затем отдельно проверим остаток и исходное равенство.

1. Берём q = 12: (−12) · 12 = −144. Следующее по направлению к нулю кратное, (−12) · 11 = −132, уже больше −137, поэтому оно дало бы отрицательный остаток. Выбор q = 12 оставляет неотрицательную разность.
2. Вычисляем r = −137 − (−144) = 7. Проверяем границы: 0 ≤ 7 < |−12| = 12. Теперь проверка равенства: (−12) · 12 + 7 = −144 + 7 = −137.

Ответ: частное 12, остаток 7. Оба условия выполнены, значит, найденная пара подходит.

Типичные ошибки

Записывают отрицательный остаток, потому что делят с округлением к нулю. Так, при −23 : 6 частное −3 приводит к r = −5, что нарушает условие r ≥ 0. После вычисления остатка проверьте его знак; если он отрицательный, измените частное и пересчитайте произведение.

Сравнивают остаток с b, а не с |b|, поэтому при отрицательном делителе получают бессмысленную или неверную границу. Например, условие r < −12 не может выполняться для неотрицательного r. Запишите модуль делителя и сравнивайте остаток с положительным числом |b|.

Допускают, что остаток равен |b|, поскольку считают его просто числом, оставшимся после деления. Но такой остаток уже составляет ещё одну полную группу, поэтому его можно перенести в частное. Чтобы обнаружить ошибку, проверьте строгое неравенство r < |b|, а не r ≤ |b|.

Проверяют только величину остатка и забывают равенство a = bq + r. Тогда правильный по размеру остаток может сочетаться с неверно выбранным частным. Подставьте оба числа в равенство и убедитесь, что результатом стало исходное делимое, а затем проверьте границы остатка.

Связь с другими темами

Для работы с остатками нужны умножение и деление целых чисел, понимание модуля и умение сравнивать числа на числовой прямой. Деление с остатком помогает проверять делимость: если r = 0, делимое кратно делителю. Оно также используется при поиске кратных и в задачах о разбиении предметов на равные группы, когда часть предметов остаётся. Позднее эта идея встречается в алгоритмах деления и рассуждениях о сравнении целых чисел по модулю.

Что запомнить

• Для целых a и b ≠ 0 существуют единственные целые q и r, такие что a = bq + r.
• Остаток всегда удовлетворяет условию 0 ≤ r < |b|.
• Остаток не может быть отрицательным или равным модулю делителя.
• При отрицательном делителе в границе остатка используют |b|.
• Если остаток равен нулю, делимое делится на делитель нацело.
• Ответ проверяют подстановкой q и r в равенство a = bq + r.