"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Неравенство с одной переменной сравнивает два выражения, в которых есть неизвестное число. Решить его — значит найти все значения переменной, при которых сравнение верно. Чтобы получить ответ, преобразуют неравенство, сохраняя или меняя его знак по определённым правилам. Если выражение состоит из произведения или дроби, разбивают числовую прямую на промежутки и выясняют, где оно имеет нужный знак. Ответ обычно записывают промежутком или объединением промежутков.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Неравенство с одной переменной — это сравнение двух выражений, содержащих одну переменную, с помощью знака <, >, ≤ или ≥. Например, ax + b > 0 — общий вид линейного неравенства, где x — переменная, а a и b — числа. Такая запись позволяет описать не одно значение, а условие, которому могут отвечать разные числа.
Решение неравенства — значение переменной, при котором неравенство превращается в верное числовое сравнение. Чтобы проверить число, его подставляют вместо переменной и вычисляют обе части. Это понятие помогает отличить подходящие значения от неподходящих.
Множество решений неравенства — все значения переменной, при которых неравенство верно. Решений может быть одно, несколько или бесконечно много; иногда их нет вовсе. Запись всего множества, а не одного примера, и составляет ответ задачи.
Равносильные неравенства — неравенства с одинаковыми множествами решений. Их можно заменять друг другом, если преобразование не добавляет и не теряет подходящие значения. Это позволяет упростить исходную запись и прийти к неравенству, ответ которого легко прочитать.
Чтобы проверить, является ли число решением, подставь его вместо переменной и вычисли обе части. Например, для 2x > 3 при x = 2 получается 4 > 3 — верное утверждение, значит, 2 подходит. Если выходит неверное сравнение, число не входит в множество решений.
Прибавление одного и того же числа к обеим частям неравенства сдвигает оба сравниваемых числа на одинаковую величину. Их разность и порядок при этом не меняются; то же верно, если вместо числа прибавить одинаковое выражение. Вычитание выражения — это прибавление противоположного, поэтому оно тоже сохраняет знак неравенства. Так можно переносить слагаемые, не меняя множество решений.
Умножение на положительное число растягивает числовую прямую, но сохраняет порядок чисел: меньшее число остаётся меньшим. Деление на положительное число действует так же, поэтому знак не меняют. Отрицательное число отражает прямую относительно нуля и меняет порядок на обратный: например, 2 < 5 превращается в −2 > −5. Поэтому при умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак нужно перевернуть.
Множество решений часто удобно записывать числовым промежутком. Для x > 2 подходит промежуток (2; +∞), а для x ≥ 2 — [2; +∞): круглая скобка исключает конец, квадратная включает его. При строгом знаке < или > граничное значение не входит, при нестрогом ≤ или ≥ входит, если оно допустимо в исходном выражении. У бесконечности всегда ставят круглую скобку, поскольку бесконечность не является числом, которое можно включить.
В произведении или дроби знак зависит от знаков множителей и числителя с знаменателем. Сначала находят нули выражения и точки, в которых дробь не определена, затем они делят прямую на промежутки; внутри каждого промежутка знак не меняется, поскольку выражение непрерывно и не обращается в ноль. При переходе через ноль знак может измениться, но не обязан: например, множитель в квадрате сохраняет знак по обе стороны нуля. Поэтому на каждом промежутке знак проверяют, подставляя пробное число.
| Действие с обеими частями | Условие | Что происходит со знаком |
|---|---|---|
| Прибавление или вычитание одного и того же числа (выражения) | Всегда | Знак не меняется |
| Умножение или деление на положительное число | Множитель или делитель больше нуля | Знак не меняется |
| Умножение или деление на отрицательное число | Множитель или делитель меньше нуля | Знак меняется на противоположный |
| Умножение или деление на выражение с переменной | Нужно отдельно знать знак выражения | Преобразование проводят с учётом знака на каждом промежутке |
Пользуйся таблицей перед каждым преобразованием: сначала выясни, что именно делаешь с обеими частями, затем проверь условие. Если делитель или множитель зависит от x, нельзя сразу выбрать правило для положительного или отрицательного числа. Нужно определить его знак для рассматриваемых значений переменной.
Задача 1. Решить неравенство 3x − 5 > 7. Здесь нужно оставить x отдельно, выполняя одинаковые действия с обеими частями. Прибавим 5, чтобы убрать вычитаемое, затем разделим на коэффициент при x. Оба преобразования сохраняют знак, поскольку делим на положительное число.
Ответ: (4; +∞).
Задача 2. Решить неравенство −2x + 4 ≤ 10. Сначала избавимся от свободного слагаемого, а затем разделим на коэффициент −2. На этом шаге порядок чисел изменится, поэтому знак неравенства нужно перевернуть. Нестрогий знак сохранится по виду: ≤ станет ≥.
Ответ: [−3; +∞).
Задача 3. Решить неравенство (x − 1)(x + 3) > 0. Произведение положительно, если оба множителя положительны или оба отрицательны. Их нули — 1 и −3; эти точки делят прямую на три промежутка. Проверим знак произведения на каждом из них, чтобы не принять одни только нули за ответ.
Ответ: (−∞; −3) ∪ (1; +∞).
При делении на отрицательное число иногда оставляют знак прежним. Это происходит, когда правило вспоминают как обычное действие с равенством и не учитывают изменение порядка: например, из −2x ≤ 6 ошибочно получают x ≤ −3. Проверь себя подстановкой x = 0: исходное −2·0 ≤ 6 верно, а условие 0 ≤ −3 — нет.
В произведении или дроби можно найти нули, но одних нулей недостаточно для ответа. Они лишь разделяют прямую на промежутки, а на каждом из них выражение может иметь нужный или неподходящий знак. Отметь точки-разделители и проверь знак пробным числом; отдельно исключи точки, где знаменатель равен нулю.
Граничную точку ошибочно включают при строгом знаке или исключают при нестрогом. Причина в том, что смотрят только на найденное значение границы, не подставляя его в неравенство. Проверь исходную запись: при < или > равенство не подходит, при ≤ или ≥ оно подходит, если выражение в точке определено.
Умножение или деление на выражение с переменной опасно выполнять, не выяснив его знак. У такого выражения знак может зависеть от x, поэтому на одной части прямой оно положительно, а на другой отрицательно. Сначала найди нули и раздели прямую на промежутки, затем разбирай случаи; проверка знака в каждом из них покажет, не изменился ли ответ.
Для решения неравенств нужны навыки преобразования алгебраических выражений и решения линейных уравнений: они помогают упростить запись и выделить переменную. Понимание числовых промежутков и координатной прямой позволяет правильно показать множество решений и отметить включённые границы. Открытые и закрытые концы промежутка передают, подходит ли граничное число.
Неравенства понадобятся при решении систем, где нужно найти значения, удовлетворяющие нескольким условиям одновременно. Они также помогают исследовать свойства функций и определять области, в которых функция принимает заданные значения. Значит, умение находить промежутки решений связывает вычисления с описанием поведения функций.
Чем решение неравенства отличается от решения уравнения?
Уравнение обычно ищет значения, при которых две части равны, а неравенство — значения, при которых одна часть больше или меньше другой. Поэтому ответом на неравенство часто становится целый промежуток чисел.
Почему при делении на отрицательное число знак неравенства меняется?
Умножение или деление на отрицательное число меняет порядок чисел на противоположный. Например, из 2 < 5 после деления на −1 получается −2 > −5.
Как записать ответ, если решений бесконечно много?
Решения записывают числовым промежутком или объединением нескольких промежутков. Например, x > 3 записывают как (3; +∞).
Когда граничную точку нужно включать в ответ?
Точку включают, если при её подстановке получается равенство и знак неравенства нестрогий: ≤ или ≥. Для строгих знаков < и > точку не включают.
Почему при решении неравенства с произведением рассматривают промежутки?
Знак произведения зависит от знаков его множителей, а они могут меняться при переходе через их нули. Поэтому прямую делят нулями на промежутки и проверяют знак произведения на каждом.
§6. Неравенства с одной переменной
