"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Квадратное неравенство сравнивает с нулём выражение ax² + bx + c, где a ≠ 0. Его решение — все значения переменной, при которых выражение имеет нужный знак. Для ответа находят корни соответствующего квадратного уравнения и определяют знак трёхчлена между корнями и за их пределами. Направление ветвей параболы подсказывает, где выражение положительно или отрицательно, а знак неравенства решает, включать ли корни в ответ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Неравенство второй степени с одной переменной — неравенство вида ax² + bx + c > 0, < 0, ≥ 0 или ≤ 0, где a ≠ 0. Коэффициенты a, b и c — числа, а x — переменная. Такие неравенства решают, чтобы найти все значения x, при которых условие верно.
Квадратный трёхчлен — выражение ax² + bx + c, знак которого исследуют при решении неравенства. Его называют трёхчленом, потому что в записи есть три слагаемых, хотя некоторые коэффициенты могут быть равны нулю. Понять, где он положителен или отрицателен, — значит определить подходящие значения переменной.
Дискриминант — выражение D = b² − 4ac, по которому определяют число действительных корней квадратного трёхчлена. Если D > 0, корней два, если D = 0 — один, а если D < 0 — действительных корней нет. Это помогает заранее выбрать способ исследования знака.
Промежутки знакопостоянства — промежутки, на которых квадратный трёхчлен сохраняет один и тот же знак. Их границами обычно служат корни уравнения ax² + bx + c = 0. Разделив числовую прямую корнями, можно выбрать нужные части для ответа.
Сначала все слагаемые переносят в одну сторону, чтобы с другой остался ноль. Например, из x² + 2 > 3x получается x² − 3x + 2 > 0. После преобразования приводят подобные слагаемые и записывают трёхчлен в порядке степеней. Условие a ≠ 0 необходимо: иначе слагаемого с x² не будет и неравенство окажется не второй степени.
Неравенство спрашивает, при каких x значение выражения больше или меньше нуля. Поэтому удобно рассматривать функцию y = ax² + bx + c: при каждом x её значение — это высота точки графика над осью x или под ней. Выше оси значение положительно, ниже — отрицательно, а на оси равно нулю. Так задача о знаке выражения превращается в исследование положения параболы относительно оси x.
Форма параболы зависит от a: при a > 0 её ветви направлены вверх, при a < 0 — вниз. Корни трёхчлена — это точки, в которых график пересекает или касается оси x, поэтому они делят числовую прямую на промежутки. Если корней два, при ветвях вверх парабола находится ниже оси между точками пересечения и выше снаружи; при ветвях вниз всё наоборот. Именно поэтому одного расположения корней недостаточно — нужно учитывать знак a.
При двух различных корнях график пересекает ось x в каждой точке, переходя с одной стороны оси на другую. Поэтому знак трёхчлена меняется при переходе через каждый корень. При одном корне график касается оси и разворачивается, не переходя на другую сторону, поэтому знак сохраняется, а в самой точке значение равно нулю. Это объясняет, почему при D = 0 корень не делит прямую на промежутки с разными знаками.
Дискриминант показывает, сколько точек пересечения с осью x нужно учитывать. Найдя корни, отметьте их на числовой прямой, определите знак трёхчлена на полученных промежутках по направлению ветвей и выберите промежутки, подходящие условию. Для знаков ≥ и ≤ включите точки, где выражение равно нулю; для > и < исключите их. Если D < 0, границ-корней нет, и весь трёхчлен сохраняет знак a.
| Условия | Корни | Знак трёхчлена | Решение ax² + bx + c > 0 | Решение ax² + bx + c < 0 |
|---|---|---|---|---|
| D < 0, a > 0 | Корней нет | Всегда положителен | Все действительные числа | Решений нет |
| D < 0, a < 0 | Корней нет | Всегда отрицателен | Решений нет | Все действительные числа |
| D = 0, a > 0 | Один корень x₀ | Неотрицателен, равен нулю только при x₀ | Все x, кроме x₀ | Решений нет |
| D = 0, a < 0 | Один корень x₀ | Неположителен, равен нулю только при x₀ | Решений нет | Все x, кроме x₀ |
| D > 0, a > 0 | x₁ < x₂ | Положителен вне корней, отрицателен между ними | (−∞; x₁) ∪ (x₂; +∞) | (x₁; x₂) |
| D > 0, a < 0 | x₁ < x₂ | Отрицателен вне корней, положителен между ними | (x₁; x₂) | (−∞; x₁) ∪ (x₂; +∞) |
Сначала найдите строку по значениям D и a, затем выберите столбец с нужным знаком неравенства. В таблице приведены решения строгих неравенств; для нестрогих включите корни, в которых трёхчлен равен нулю.
Нужно выяснить, где трёхчлен неотрицателен, то есть положителен или равен нулю. Поскольку коэффициент при x² положителен, парабола направлена вверх, значит, вне двух корней она будет выше оси. Проверим корни разложением на множители.
Ответ: (−∞; 2] ∪ [3; +∞).
Здесь коэффициент при x² отрицательный, поэтому нельзя автоматически брать внешние промежутки для положительного значения. Сначала найдём границы, а затем учтём направление ветвей параболы. Строгий знак < означает, что корни в ответ не попадут.
Ответ: (−∞; −½) ∪ (3; +∞).
Трёхчлен не сразу удобно разложить на множители, поэтому найдём корни по дискриминанту. Коэффициент a положителен, значит, при двух корнях отрицательные значения будут между ними. Поскольку неравенство нестрогое, границы этого промежутка нужно включить.
Ответ: [−½; 2].
Выбирают промежутки, не учитывая знак a. Часто запоминают правило «плюс снаружи» и применяют его даже к параболе, направленной вниз. Проверьте знак старшего коэффициента: при a > 0 знак снаружи положительный, при a < 0 — отрицательный. Можно дополнительно подставить число из выбранного промежутка.
Неправильно включают корни. Корни ставят в ответ при строгих знаках или убирают при нестрогих, потому что забывают, что в корне выражение равно нулю. Сопоставьте знак условия с равенством: > 0 и < 0 не допускают нуля, а ≥ 0 и ≤ 0 допускают. В ответе используйте круглые скобки для исключённых границ и квадратные для включённых.
Ошибаются в количестве корней. Иногда находят дискриминант, но не проверяют, положителен он, равен нулю или отрицателен. Сразу сверьте результат с правилом: D > 0 — два корня, D = 0 — один, D < 0 — ни одного действительного. При отсутствии корней не нужно делить прямую на промежутки.
Забывают поменять знак неравенства при умножении или делении на отрицательное число. Такое преобразование меняет порядок чисел, но знак иногда механически оставляют прежним. Например, из −x < 2 следует x > −2, а не x < −2. После каждого такого шага проверьте направление знака на простом числовом примере.
Для решения квадратных неравенств нужны навыки решения квадратных уравнений: формула корней и свойства дискриминанта помогают найти границы промежутков. Затем корни отмечают на координатной прямой и записывают ответ как промежуток или объединение промежутков. Этот способ — частный случай метода интервалов, который применяется и к другим выражениям. Он пригодится при решении систем неравенств, исследовании функций и задач с параметрами.
Почему для решения неравенства нужно рассматривать график параболы?
График y = ax² + bx + c показывает значение трёхчлена для каждого x. Там, где парабола выше оси x, выражение положительно, а где ниже — отрицательно. Точки пересечения с осью x соответствуют корням.
Как быстро понять, какие промежутки выбирать при двух корнях?
Расположите корни x₁ < x₂ и посмотрите на знак a. Если a > 0, выражение положительно снаружи корней и отрицательно между ними; если a < 0 — наоборот. Затем выберите нужный знак по условию.
Что делать, если дискриминант отрицательный?
Действительных корней нет, поэтому трёхчлен не пересекает ось x и не меняет знак. При a > 0 он всегда положителен, а при a < 0 — всегда отрицателен. Сравните этот знак со знаком в неравенстве.
Нужно ли включать корни в ответ?
При нестрогих неравенствах ≥ 0 и ≤ 0 корни включают, потому что в них трёхчлен равен нулю. При строгих > 0 и < 0 корни не входят в ответ.
Как проверить правильность решения квадратного неравенства?
Проверьте вычисление корней и определите знак выражения на каждом промежутке, например подстановкой пробного числа. Убедитесь, что выбранные промежутки соответствуют знаку неравенства, а корни включены или исключены правильно. Полезно также проверить ответ подстановкой нескольких значений.
Решение неравенств второй степени с одной переменной
