Решение неравенств методом интервалов

Определения и обозначения

Метод интервалов — способ решить неравенство, разбивая числовую прямую на промежутки между нулями выражения и точками, где оно не определено. Сначала находят эти особые значения, а затем выясняют знак выражения на каждом промежутке. Метод особенно удобен для произведений множителей и дробно-рациональных выражений.

Критические точки — нули числителя и знаменателя рационального выражения; они разделяют область определения на промежутки постоянного знака. Нуль числителя делает дробь равной нулю, а нуль знаменателя исключает значение из области определения. Если отметить оба типа точек, будет понятно, где проверять знак и какие границы можно включать в ответ.

Метод пробной точки — определение знака выражения на промежутке подстановкой любого удобного значения из этого промежутка. Например, между соседними целыми критическими точками часто удобно взять целое число. Этот приём позволяет проверить знак без исследования выражения во всех точках промежутка.

Знакопостоянный промежуток — промежуток, на котором выражение сохраняет один и тот же знак. Между соседними критическими точками знак не меняется, поэтому достаточно определить его в одном месте. Понятие нужно, чтобы от проверки одной точки перейти к выводу обо всём промежутке.

Как это устроено

Нули числителя и значения, при которых знаменатель равен нулю, отмечают на прямой, потому что именно там меняется важное для неравенства свойство выражения. В нуле числителя дробь становится равной нулю, а при нуле знаменателя дробь вообще не имеет значения. В остальных точках выражение определено и не равно нулю, поэтому знак можно изучать отдельно по частям прямой.

Критические точки делят область определения на интервалы, потому что между соседними такими точками нет ни нулей, ни разрывов. Если знак выражения менялся бы внутри одного интервала, при непрерывном изменении оно должно было бы пройти через ноль. Но нулей внутри интервала нет, значит, знак на всём промежутке остаётся одним и тем же.

Для каждого интервала выбирают пробную точку и подставляют её в выражение. Если результат положительный, весь интервал положительный; если отрицательный — весь отрицательный. Точку выбирают изнутри промежутка, а не на его границе, поскольку на границе выражение может быть нулём или не определяться.

После проверки знаков выбирают промежутки, подходящие условию: для выражения, большего нуля, нужны положительные участки, для меньшего нуля — отрицательные. При строгих знаках > и < нули выражения не включают, а при нестрогих ≥ и ≤ допустимые нули числителя могут войти в ответ. Точки, где знаменатель равен нулю, исключают в любом случае, так как там выражение не определено.

Для произведения множителей сначала находят корни каждого множителя, а затем определяют знак на промежутках. Если корень имеет чётную кратность, например множитель (x − 1)², его знак по обе стороны корня одинаков, поэтому общий знак не меняется. При корне нечётной кратности знак меняется; это можно проверить, подставляя значения, или проследить по множителям.

Как учитывать критические точки при выборе решения

Сначала определи, почему точка критическая: числитель обращается в ноль или знаменатель. Затем проверь знак неравенства и реши, можно ли включить точку. Таблица помогает не спутать допустимый нуль выражения с точкой, в которой дробь не существует.

Разбор задач

Решите неравенство (x − 2)(x + 1) > 0. Здесь выражение является произведением двух линейных множителей, а знаменателя нет. Значит, критические точки — корни множителей, а сама прямая разбивается ими на три интервала.

1. Приравняем множители к нулю: x − 2 = 0, x + 1 = 0. Получаем точки 2 и −1, в таком порядке: −1, 2.
2. На интервале (−∞; −1) возьмём x = −2: оба множителя отрицательны, произведение положительно. Между −1 и 2 возьмём x = 0: множители имеют разные знаки, произведение отрицательно.
3. На интервале (2; +∞) возьмём x = 3: оба множителя положительны. Для условия > 0 выбираем первый и третий интервалы, а точки −1 и 2 исключаем.

Ответ: (−∞; −1) ∪ (2; +∞).

Решите неравенство (x − 3)/(x + 2) ≤ 0. Здесь важно отдельно рассмотреть значение, обнуляющее числитель, и значение, обнуляющее знаменатель: одно допустимо, другое нет. Эти точки разделят числовую прямую на три интервала.

1. Числитель равен нулю при x = 3, знаменатель — при x = −2. Точку −2 исключаем из области определения, а точку 3 проверим на допустимость включения.
2. На (−∞; −2) берём x = −3: дробь отрицательна. На (−2; 3) берём x = 0: дробь отрицательна, а на (3; +∞) берём x = 4: дробь положительна.
3. Для условия ≤ 0 выбираем два отрицательных интервала. Точку 3 включаем, так как дробь в ней определена и равна нулю; точку −2 не включаем.

Ответ: (−∞; −2) ∪ (−2; 3].

Решите неравенство (x − 1)²(x + 2)/(x − 3) ≥ 0. Критические точки здесь −2 и 1 — нули числителя, а 3 — нуль знаменателя. Корень 1 имеет чётную кратность, поэтому при переходе через него знак не изменится.

1. Расположим точки по возрастанию: −2, 1, 3. Разобьём ими прямую на интервалы и проверим знак, например, подставляя по одной точке в каждый промежуток.
2. На (−∞; −2) дробь положительна, на (−2; 1) отрицательна. При переходе через 1 знак сохраняется, поэтому на (1; 3) дробь также отрицательна; на (3; +∞) знак положителен.
3. Для ≥ 0 берём положительные промежутки. Нули числителя −2 и 1 включаем, так как дробь в них определена; число 3 исключаем, поскольку знаменатель обращается в ноль.

Ответ: (−∞; −2] ∪ {1} ∪ (3; +∞).

Типичные ошибки

Включают в ответ нуль знаменателя, потому что принимают его за обычный нуль выражения. Но при таком значении дробь не существует, даже если неравенство нестрогое. Проверь себя: подставь границу в знаменатель; если он равен нулю, точку обязательно исключают.

Исключают нуль числителя при нестрогом неравенстве, хотя значение выражения там равно нулю. Такая ошибка возникает, когда правило для строгих знаков автоматически переносят на ≥ и ≤. Для проверки подставь точку в выражение: если оно определено и получается ноль, то условие нестрогого неравенства выполнено.

Меняют знак на каждом интервале автоматически и не замечают корней чётной кратности. Такое правило верно для корней нечётной кратности, но не для множителя в чётной степени. Проверяй знак пробной точкой по обе стороны корня или учитывай степень множителя: при чётной степени знак не меняется.

Находят только нули числителя и забывают отметить значения, при которых знаменатель равен нулю. Из-за этого в решении может появиться точка, где выражение не определено, а интервалы будут выбраны неверно. Перед построением знаков отдельно найди область определения: знаменатель не должен обращаться в ноль.

Связь с другими темами

Чтобы применять метод интервалов, нужно уметь раскладывать многочлены на множители, решать уравнения и находить область определения рационального выражения. Эти навыки помогают найти все критические точки и не пропустить запрещённые значения. Метод используют для решения рациональных и дробно-рациональных неравенств, а также при исследовании знака выражений.

Что запомнить

• Отмечай на прямой нули числителя и знаменателя.
• Нули знаменателя всегда исключаются из решения.
• Знак выражения постоянен между соседними критическими точками.
• Знак на каждом интервале можно определить пробной точкой.
• При строгом неравенстве нули выражения в ответ не входят.
• При нестрогом неравенстве допустимые нули выражения могут входить в ответ.
• Корень чётной кратности не меняет знак выражения при переходе через него.