9. Решение неравенств методом интервалов

Определения и обозначения

Метод интервалов — способ решать неравенства, разбивая числовую прямую на промежутки, где выражение сохраняет знак. Его применяют, когда выражение можно разложить на множители и требуется выяснить, где оно положительно или отрицательно. Вместо проверки каждого числа достаточно исследовать по одному значению на каждом промежутке.

Нуль выражения — значение переменной, при котором выражение равно нулю. Например, для x − 4 нулём является x = 4. Такие значения могут быть границами промежутков и при нестрогом неравенстве иногда входят в ответ.

Критическая точка — значение переменной, при котором выражение обращается в нуль или не определено. Например, у дроби (x + 1)/(x − 2) критические точки — −1 и 2. Ими разбивают прямую, чтобы отдельно проверить знак на каждом участке.

Интервал знакопостоянства — промежуток, на котором выражение не меняет знак. На таком промежутке оно либо везде положительно, либо везде отрицательно. Это позволяет определить решение неравенства по одному пробному значению.

Как это устроено

Сначала неравенство приводят к виду f(x) > 0, f(x) ≥ 0, f(x) < 0 или f(x) ≤ 0. Для этого все слагаемые переносят в одну часть, а в другой оставляют нуль. Такой шаг нужен, потому что метод исследует знак одного выражения: сравнивать две отдельные части на каждом участке не требуется.

Затем находят критические точки. Для многочлена решают уравнение f(x) = 0, а если выражение разложено на множители, приравнивают каждый множитель к нулю. В дроби отдельно находят нули числителя и знаменателя: первые могут обнулить дробь, а вторые запрещены областью определения. Все найденные значения отмечают на прямой в порядке возрастания.

Критические точки делят прямую на интервалы. Почему знак на каждом из них постоянен? Между соседними точками выражение непрерывно, то есть не имеет разрывов, и нигде не обращается в нуль. Чтобы знак изменился с плюса на минус или обратно, выражению пришлось бы пройти через нуль либо разрыв; внутри такого интервала этого нет.

Знаки можно определить, выбрав по одному пробному числу из каждого интервала и подставив его в выражение. Например, для промежутка (−∞; 1) удобно взять x = 0, если выражение при этом определено. Для произведения линейных множителей можно рассмотреть знак каждого множителя. При переходе через простой корень знак меняется; через корень чётной кратности — не меняется, потому что соответствующий множитель сохраняет знак по обе стороны.

Остаётся выбрать те интервалы, на которых выражение имеет нужный знак. Границы учитывают отдельно: нули выражения включают при ≥ или ≤ и исключают при > или <. Точки, где выражение не определено, не включают ни при каком знаке неравенства, даже если на соседних промежутках знак подходит.

Критические точки и их учёт при выборе ответа

Сначала выясни, что именно обозначает граничная точка: нуль выражения или значение, запрещённое областью определения. Затем применяй правило для строгого или нестрогого неравенства. Если точка не принадлежит области определения, её всегда оставляют вне ответа.

Разбор задач

Задача 1. Решите неравенство (x − 2)(x + 1) > 0.

1. Найдём нули множителей: x − 2 = 0 даёт x = 2, а x + 1 = 0 даёт x = −1. Эти точки делят прямую на интервалы (−∞; −1), (−1; 2) и (2; +∞).
2. Проверим знак произведения. При x = −2 оба множителя отрицательны, значит произведение положительно. При x = 0 множители имеют разные знаки, поэтому произведение отрицательно. При x = 3 оба множителя положительны, значит произведение положительно.
3. Выберем интервалы с плюсом: (−∞; −1) и (2; +∞). Точки −1 и 2 не включаем, потому что неравенство строгое и в них произведение равно нулю.

Ответ: (−∞; −1) ∪ (2; +∞).

Задача 2. Решите неравенство (x − 3)(x + 2) ≤ 0.

1. Нули множителей — x = 3 и x = −2. Разбиваем прямую на интервалы (−∞; −2), (−2; 3) и (3; +∞).
2. При x = −3 произведение положительно, при x = 0 оно отрицательно, а при x = 4 — положительно. Значит, нужный знак «минус или ноль» получается между корнями.
3. Знак ≤ нестрогий, поэтому включаем оба нуля: в точках −2 и 3 произведение равно нулю. В остальных выбранных значениях оно отрицательно.

Ответ: [−2; 3].

Задача 3. Решите неравенство (x − 1)(x + 2)/(x − 3) ≥ 0.

1. Нули числителя: x = 1 и x = −2. Знаменатель обращается в нуль при x = 3, поэтому это значение не входит в область определения. Отметим точки −2, 1 и 3.
2. Проверим знаки на интервалах: при x = −3 выражение отрицательно; при x = 0 положительно; при x = 2 отрицательно; при x = 4 положительно. Подходят интервалы (−2; 1) и (3; +∞).
3. Поскольку неравенство нестрогое, включим нули числителя −2 и 1. Точку 3 исключим: при ней знаменатель равен нулю, и дробь не определена.

Ответ: [−2; 1] ∪ (3; +∞).

Типичные ошибки

Иногда неравенство не приводят к сравнению выражения с нулём и исследуют знак только одной его части. Так можно получить неверные промежутки, потому что важно учитывать знак всей разности. Проверь себя: после переноса все слагаемые должны оказаться по одну сторону от знака неравенства, а по другую должен стоять нуль.

При работе с дробью могут забыть отметить нули знаменателя или включить их в ответ. Это происходит, когда смотрят только на корни числителя либо считают, что сокращение множителя разрешает подставить запрещённое значение. Составь область определения исходной дроби до преобразований и оставь все её запрещённые точки исключёнными.

Другая ошибка — включить нуль выражения при строгом неравенстве или исключить его при нестрогом. В первом случае выражение в граничной точке равно нулю, а не положительно или отрицательно; во втором нуль подходит под знак ≥ или ≤. Сверь знак неравенства и подставь граничное значение в исходное выражение.

Наконец, иногда знаки чередуют после каждого корня, в том числе после корня чётной кратности. Но чётная степень множителя не меняет знак при переходе через корень, поэтому чередование здесь нарушается. Определи кратность корня по разложению на множители или проверь знаки пробными числами по обе стороны от него.

Связь с другими темами

Для метода интервалов нужно уметь раскладывать многочлены на множители и находить нули линейных множителей: именно они часто задают границы промежутков. При работе с дробями потребуется знать область определения и понимать, чем строгие знаки > и < отличаются от нестрогих ≥ и ≤. Эти умения применяются при решении рациональных и дробно-рациональных неравенств, где важно учитывать и знак выражения, и запрещённые значения.

Что запомнить

• Сначала перенеси все слагаемые в одну часть неравенства.
• Найди нули выражения и точки, в которых оно не определено.
• Разбей числовую прямую критическими точками.
• На каждом промежутке выражение сохраняет знак.
• Нули можно включать при нестрогом неравенстве.
• Точки, где выражение не определено, в ответ не входят.