"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Квадратичная функция задаётся формулой y = ax² + bx + c, где a ≠ 0, а её график — парабола. По коэффициентам и виду формулы можно определить направление ветвей, найти вершину и ось симметрии, понять, где функция возрастает и убывает. Эти сведения помогают быстро строить график, находить точки пересечения с осями и решать квадратные уравнения. Главное преобразование — выделение полного квадрата: оно показывает вершину прямо из формулы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратичная функция — функция вида y = ax² + bx + c, где a ≠ 0. Коэффициент a определяет направление и ширину параболы, b влияет на положение её вершины по горизонтали, а c показывает значение функции при x = 0. Эта запись удобна для вычислений, но вершину легче увидеть после преобразования формулы.
Парабола — график квадратичной функции. Она состоит из вершины и двух ветвей, которые плавно расходятся от неё; форма графика симметрична относительно вертикальной прямой. Парабола помогает наглядно увидеть, как меняются значения функции и где её график пересекает оси координат.
Вершина параболы — точка, в которой график достигает наибольшего или наименьшего значения. Если ветви направлены вверх, вершина является самой нижней точкой, а если вниз — самой верхней. Её координаты нужны, чтобы быстро построить график и определить крайнее значение функции.
Ось симметрии параболы — прямая, относительно которой симметричны точки графика. Она проходит через вершину и делит параболу на две зеркально одинаковые части. Зная эту прямую, можно построить точки одной стороны графика и отразить их на другую.
Чтобы увидеть вершину в формуле, преобразуют выражение ax² + bx + c, выделяя полный квадрат. Сначала выносят a из слагаемых с x, а затем используют равенство x² + px = (x + p/2)² − (p/2)². Например, x² − 4x + 3 = (x − 2)² − 1, поэтому функция записывается как y = (x − 2)² − 1. Такое преобразование не меняет график: оно лишь показывает ту же зависимость в удобном виде.
В форме y = a(x − m)² + n вершина имеет координаты (m; n), потому что при x = m квадрат становится равен нулю и остаётся y = n. Любое другое значение x даёт квадрат (x − m)², который зависит от расстояния до m, а не от того, слева или справа находится x. Поэтому значения функции при x = m − t и x = m + t совпадают, и осью симметрии служит вертикальная прямая x = m.
Квадрат (x − m)² неотрицателен, поэтому знак a решает, в какую сторону от вершины отклоняются значения y. При a > 0 прибавляется неотрицательное число, и ветви направлены вверх; при a < 0 к n прибавляется неположительное число, поэтому ветви направлены вниз. Модуль a задаёт масштаб по вертикали: при большом |a| значения быстрее удаляются от n, и парабола выглядит уже, а при малом |a| — шире.
Из направления ветвей следует поведение функции. При a > 0, двигаясь слева направо, мы приближаемся к вершине и значения убывают, а после неё удаляемся и значения возрастают; при a < 0 порядок обратный. Следовательно, при a > 0 функция достигает в вершине наименьшего значения n, а при a < 0 — наибольшего. Это позволяет установить промежутки возрастания и убывания без подстановки множества значений.
Точки пересечения с осью x имеют y = 0, поэтому их абсциссы находят, решая уравнение ax² + bx + c = 0. Полученные корни — нули функции: парабола пересекает ось в точках с такими x, если корни существуют. Для пересечения с осью y берут x = 0, и получают точку (0; c). Эти точки вместе с вершиной дают ориентиры для построения графика.
| Свойство | Условие или результат |
|---|---|
| Вершина параболы | (m; n) |
| Ось симметрии | x = m |
| Направление ветвей при a > 0 и a < 0 | При a > 0 — вверх; при a < 0 — вниз |
| Промежутки возрастания и убывания | При a > 0 убывает при x < m, возрастает при x > m; при a < 0 — наоборот |
| Наименьшее или наибольшее значение | При a > 0 минимум n; при a < 0 максимум n |
| Область определения и множество значений | D(y) = ℝ; при a > 0: y ≥ n, при a < 0: y ≤ n |
Сначала приведи функцию к указанному виду и определи значения a, m и n. Затем по таблице найди вершину, ось симметрии, направление ветвей и поведение функции. Не забудь, что область определения всегда состоит из всех действительных чисел, а множество значений зависит от знака a.
Сначала представим формулу так, чтобы вершина читалась сразу. По ней найдём несколько точек и используем симметрию относительно оси графика. Поскольку коэффициент при квадрате положительный, ветви параболы будут направлены вверх.
Ответ: график — парабола с вершиной (2; −1) и осью симметрии x = 2. Точки для построения можно добавлять парами, симметричными относительно этой оси. Парабола пересекает ось x в точках (1; 0) и (3; 0).
Чтобы найти вершину, преобразуем выражение к виду a(x − m)² + n. Важно сохранить множитель −2 перед скобками: от него зависит направление ветвей. После преобразования крайнее значение будет видно из числа n.
Ответ: вершина (2; 3), ветви направлены вниз, наибольшее значение функции равно 3. Оно достигается при x = 2. При удалении от этой абсциссы квадрат растёт, а умножение на −2 уменьшает значение функции.
Для пересечения с осью x нужно найти нули функции, а для пересечения с осью y — вычислить значение при x = 0. Для эскиза дополнительно определим вершину: она показывает, где расположена нижняя точка графика. Коэффициент при x² положительный, поэтому ветви будут направлены вверх.
Ответ: с осью x график пересекается в точках (−1; 0) и (3; 0), с осью y — в точке (0; −3). Вершина параболы — (1; −4), ветви направлены вверх. Проведи плавную симметричную кривую через отмеченные точки.
Путать знак координаты вершины. В записи a(x − m)² + n вершина имеет координаты (m; n), а не (−m; n): знак внутри скобок противоположен значению m. Ошибка возникает, если читать скобку как координату напрямую. Проверь результат подстановкой x = m: квадрат обращается в ноль, и y = n.
Считать, что при a < 0 ветви направлены вверх. Иногда знак коэффициента теряется при преобразованиях или его путают со знаком выражения в скобках. Но квадрат неотрицателен, а отрицательный множитель делает добавку к n неположительной, поэтому ветви направлены вниз. Для проверки посмотри на значение при x, отличном от m: оно должно быть меньше n.
Определять ось симметрии по свободному члену. Число c задаёт пересечение с осью y, но не положение оси параболы. Путаница появляется из-за привычки искать нужные свойства прямо среди коэффициентов. Сначала найди вершину в форме a(x − m)² + n, затем запиши ось как x = m.
Подставлять x = 0 для пересечения с осью x. Это действие находит пересечение с осью y, потому что на ней абсцисса равна нулю. Для оси x ордината равна нулю, значит, нужно решить уравнение y = 0. Проверка проста: подставь координаты искомой точки в условие соответствующей оси.
Для построения параболы полезно знать график y = x²: остальные квадратичные функции получаются его преобразованиями, а выделение полного квадрата помогает увидеть сдвиг графика. Понимание степенной функции и преобразования выражений облегчает эти действия. Парабола связывает графический способ решения с алгебраическими вычислениями: пересечения с осью x показывают корни квадратного уравнения. Те же представления используют при решении квадратных неравенств и исследовании графиков функций.
Как это устроено
Как быстро найти вершину параболы?
Преобразуй функцию к виду y = a(x − m)² + n, выделив полный квадрат. Тогда координаты вершины — (m; n).
Почему парабола симметрична относительно вертикальной прямой?
В выражении (x − m)² числа, одинаково удалённые от m, дают одинаковый результат. Поэтому точки графика с абсциссами m − t и m + t имеют одинаковые ординаты, а прямая x = m является осью симметрии.
Как знак коэффициента перед x² влияет на график?
Если a > 0, квадратное выражение возрастает при удалении от вершины, поэтому ветви направлены вверх. Если a < 0, значения убывают при удалении от вершины и ветви направлены вниз.
Как найти точки пересечения параболы с осями координат?
Для пересечения с осью x положи y = 0 и реши уравнение ax² + bx + c = 0. Для пересечения с осью y положи x = 0: получишь точку (0; c).
Как по графику понять, есть ли у квадратного уравнения корни?
Корни уравнения ax² + bx + c = 0 — это абсциссы точек пересечения параболы с осью x. Если график пересекает ось в двух точках, корней два; если касается её — один; если не пересекает — действительных корней нет.
Парабола
