"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Парабола — график квадратичной функции y = ax² + bx + c, где a ≠ 0. По её вершине и направлению ветвей можно быстро определить наибольшее или наименьшее значение функции и область её значений. Коэффициент a задаёт направление и ширину параболы, а коэффициенты b и c влияют на её положение. Умение находить ось симметрии и вершину помогает строить графики, решать квадратные неравенства и задачи на максимум и минимум.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратичная функция — функция вида y = ax² + bx + c, где a ≠ 0. Коэффициент a определяет направление ветвей и ширину графика, b влияет на его положение по горизонтали, а c показывает значение функции при x = 0. Такой вид записи удобен для подстановки и решения уравнений.
Парабола — график квадратичной функции. У неё есть ось симметрии и особая точка — вершина. Благодаря этим свойствам график можно строить не по множеству случайных точек, а по нескольким точкам и их зеркальным парам.
Вершина параболы — точка, в которой функция достигает наименьшего или наибольшего значения. Если ветви направлены вверх, это наименьшее значение, а если вниз — наибольшее. Координаты вершины нужны, чтобы определить экстремум и область значений функции.
Ось симметрии параболы — вертикальная прямая, которая делит её на две зеркально симметричные части. Точки графика, равноудалённые от этой прямой, имеют одинаковые значения y. Ось помогает находить недостающие точки при построении и проверять симметричность графика.
Основой для построения служит график y = x². Если умножить его значения на a, получится растяжение или сжатие по вертикали, а затем переносы позволяют изменить положение графика. Поэтому любую функцию y = ax² + bx + c можно представить как преобразованный график y = x². Итоговая форма остаётся параболой, хотя её вершина может оказаться в любой точке.
Направление ветвей определяется знаком a, потому что при больших по модулю x именно слагаемое ax² сильнее влияет на значение функции, чем bx и c. При положительном a значения на концах графика растут, и ветви смотрят вверх; при отрицательном a они убывают, и ветви направлены вниз. Модуль |a| показывает, во сколько раз меняется вертикальный масштаб относительно y = x². При |a| > 1 график уже, а при 0 < |a| < 1 — шире.
Чтобы найти вершину и ось, выделим полный квадрат: y = ax² + bx + c = a(x + b/(2a))² + c − b²/(4a). Это равенство получено из группировки первых двух слагаемых и добавления с вычитанием одного и того же числа, поэтому значение выражения не меняется. В каноническом виде y = a(x − x₀)² + y₀ сразу видны координаты вершины (x₀; y₀). Отсюда ось симметрии имеет уравнение x = x₀.
В исходной формуле квадрат записывается как x² + (b/a)x, поэтому внутри скобок появляется x + b/(2a), то есть x − (−b/(2a)). Значит, абсцисса вершины равна −b/(2a), а её ординату находят подстановкой этой абсциссы в функцию. Если взять x₀ + d и x₀ − d, квадрат расстояния до оси в обоих случаях будет d². Поэтому значения функции в таких точках совпадают.
В канонической записи квадрат (x − x₀)² неотрицателен, и его минимальное значение равно нулю. При a > 0 к y₀ прибавляется неотрицательное число, поэтому вершина задаёт минимум, а область значений — y ≥ y₀. При a < 0 к y₀ прибавляется неположительное число, поэтому вершина задаёт максимум, а область значений — y ≤ y₀. Так координата вершины и направление ветвей сразу показывают пределы значений функции.
| Свойство | a > 0 | a < 0 |
|---|---|---|
| Направление ветвей | Вверх | Вниз |
| Координаты вершины | (−b/(2a); f(−b/(2a))) | |
| Уравнение оси симметрии | x = −b/(2a) | |
| Экстремум функции | Минимум в вершине | Максимум в вершине |
| Область значений | y ≥ y₀ | y ≤ y₀ |
| Поведение функции слева и справа от вершины | Убывает слева, возрастает справа | Возрастает слева, убывает справа |
Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите знак a, а затем найдите координаты вершины. В таблице y₀ обозначает ординату вершины. Область значений и поведение функции удобно проверять по направлению ветвей.
Задача. Для функции y = 2(x − 3)² − 5 укажите направление ветвей, координаты вершины, ось симметрии и наименьшее значение. Канонический вид помогает прочитать координаты вершины непосредственно из формулы. Поэтому сначала сопоставим её с y = a(x − x₀)² + y₀.
Коэффициент при квадрате равен 2, то есть он положительный. Значит, ветви направлены вверх. Это сразу говорит, что в вершине находится минимум.
В скобках стоит x − 3, поэтому x₀ = 3, а свободное слагаемое −5 даёт y₀ = −5. Координаты вершины — (3; −5). Ось симметрии проходит через абсциссу вершины: x = 3.
При квадрате, равном нулю, функция принимает значение −5. При остальных x квадрат положителен и умножается на 2, поэтому значение только увеличивается. Наименьшее значение равно −5.
Ответ: ветви вверх; вершина (3; −5); ось x = 3; минимум −5.
Задача. Постройте квадратичную функцию с вершиной (−1; 2), ветвями вниз, проходящую через точку (1; −6). Искомую функцию запишем в виде y = a(x − x₀)² + y₀. Такой выбор сразу закрепляет вершину, а оставшийся коэффициент найдём по известной точке.
Подставляем x₀ = −1 и y₀ = 2. Получаем y = a(x + 1)² + 2. Пока эта запись задаёт семейство парабол с одной и той же вершиной, но разной шириной.
Используем точку (1; −6): подставляем x = 1 и y = −6. Получаем −6 = a(1 + 1)² + 2, то есть −8 = 4a и a = −2. Отрицательный коэффициент подтверждает, что ветви направлены вниз.
Подставляем найденное число в формулу: y = −2(x + 1)² + 2. Для построения отметьте вершину (−1; 2) и заданную точку (1; −6). Её симметричная относительно x = −1 точка имеет координаты (−3; −6).
Ответ: y = −2(x + 1)² + 2.
Задача. Исследуйте функцию y = x² − 6x + 5: найдите вершину и ось симметрии, область значений, нули и постройте график. Выделение полного квадрата позволит сразу увидеть вершину. Для нулей отдельно решим уравнение, полученное при y = 0.
Группируем первые два слагаемых: x² − 6x = (x − 3)² − 9. Поэтому y = (x − 3)² − 4, вершина имеет координаты (3; −4), а ось симметрии задаётся уравнением x = 3. Коэффициент при квадрате положителен, так что ветви направлены вверх.
Квадрат не может быть отрицательным, значит, наименьшее значение функции равно −4. Все остальные значения больше, поэтому область значений — y ≥ −4. Это согласуется с тем, что парабола открыта вверх.
Ищем нули: x² − 6x + 5 = 0. Разложим левую часть на множители: (x − 1)(x − 5) = 0, откуда x = 1 или x = 5. Точки пересечения с осью x — (1; 0) и (5; 0).
Для построения отметьте вершину (3; −4), нули (1; 0) и (5; 0), а также проведите ось x = 3. Нули равноудалены от этой оси, поэтому точки согласуются с симметрией графика. Соедините отмеченные точки плавной параболой с ветвями вверх.
Ответ: вершина (3; −4), ось x = 3, область значений y ≥ −4, нули 1 и 5.
Направление ветвей иногда определяют по знаку b или c, хотя оно зависит только от знака a. Ошибка возникает, если ориентироваться на все коэффициенты сразу, не выделив главный член ax². Проверьте себя: при любом b и c положительное a даёт ветви вверх, отрицательное — вниз.
В формуле оси симметрии нередко записывают x = b/(2a), забывая минус. Знак теряется при механическом воспроизведении формулы, хотя абсцисса получается из выражения x − (−b/(2a)). Подставьте значение в пример y = x² − 6x + 5: ось должна проходить через x = 3, а не x = −3.
Абсциссу вершины принимают за всю вершину или используют её как ординату. Это происходит потому, что формула −b/(2a) даёт только одно число, но координаты точки состоят из двух чисел. Найдите x₀ по формуле, затем обязательно вычислите y₀ = f(x₀) и запишите пару (x₀; y₀).
Параболу строят по нескольким случайным точкам и соединяют их на глаз, не отмечая вершину и симметрию. При таком способе точки могут оказаться неточными или лежать несимметрично, из-за чего искажается график. Сначала найдите вершину и ось, затем выбирайте точки парами на одинаковом расстоянии от оси и сверяйте направление ветвей со знаком a.
Для работы с параболой нужны координатная плоскость, график y = x², преобразования графиков и решение квадратных уравнений. Изученные свойства помогают решать квадратные неравенства: по нулям и направлению ветвей определяют, где функция положительна или отрицательна. В задачах о движении тела парабола может описывать траекторию, а её вершина помогает находить максимальную высоту или оптимальное значение. Поэтому тема связывает алгебраические вычисления с графиками и практическими задачами.
Почему график квадратичной функции всегда является параболой?
Квадратичную функцию можно преобразовать к виду y = a(x − x₀)² + y₀, где a ≠ 0. Это график y = x², растянутый или сжатый, возможно отражённый, а затем перенесённый. Такие преобразования сохраняют форму параболы.
Как быстро найти вершину параболы по формуле?
Для y = ax² + bx + c сначала найдите абсциссу вершины: x₀ = −b/(2a). Затем подставьте её в функцию и вычислите y₀ = f(x₀). Вершина имеет координаты (x₀; y₀).
Что показывает коэффициент a?
Знак a определяет направление ветвей: при a > 0 они направлены вверх, а при a < 0 — вниз. Модуль коэффициента показывает, насколько парабола узкая или широкая по сравнению с y = x²: чем больше |a|, тем она уже.
Как определить область значений квадратичной функции?
Найдите ординату вершины y₀ и определите направление ветвей по знаку a. Если a > 0, функция принимает значения от y₀ и выше: y ≥ y₀. Если a < 0, значения не превосходят y₀: y ≤ y₀.
Можно ли построить параболу, зная только вершину и одну точку?
Да, если заданная точка не совпадает с вершиной. Подставьте координаты вершины в запись y = a(x − x₀)² + y₀, а координаты известной точки используйте, чтобы найти a. После этого формула функции полностью определена.
§3. Парабола
