"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Окружность и эллипс — линии, которые можно описать и геометрически, и с помощью уравнений. Для окружности важны центр и радиус: каждая её точка равноудалена от центра. У эллипса есть два фокуса, а сумма расстояний от любой точки линии до них постоянна. Координатные уравнения помогают проверять принадлежность точки фигуре, находить её параметры и связывать геометрические свойства с алгебраическими вычислениями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Окружность — множество точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от одной точки. Эта точка называется центром окружности, а общее расстояние от неё до каждой точки окружности — радиусом R. Центр задаёт положение окружности, а радиус определяет её размер. Поэтому, зная центр и радиус, можно описать окружность уравнением.
Эллипс — множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек постоянна. Эти две точки называют фокусами эллипса. Чем дальше точка эллипса смещена в сторону одного фокуса, тем дальше она обычно находится от другого, но сумма расстояний остаётся одной и той же. Такое определение позволяет отличить эллипс от окружности и исследовать его форму.
Фокусы эллипса — две фиксированные точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса одинакова. Для стандартного эллипса они расположены на его большей оси, симметрично относительно центра. Расстояние от центра до каждого фокуса обычно обозначают c. По положению фокусов и их расстоянию от центра можно судить о вытянутости эллипса.
Полуоси эллипса — отрезки от его центра до границ по направлениям наибольшей и наименьшей протяжённости. Их длины обозначают a и b, причём обычно полагают a ≥ b: a — большая полуось, b — малая. Полные оси вдвое длиннее соответствующих полуосей. Эти обозначения используются в уравнении эллипса и в формуле, связывающей полуоси с фокусами.
Пусть окружность с центром в начале координат имеет радиус R, а точка на ней — координаты (x; y). Отрезок от начала координат до этой точки является гипотенузой прямоугольного треугольника, а его катеты имеют длины x и y с учётом теоремы Пифагора. Расстояние до центра должно равняться R, поэтому x² + y² = R². Именно так получается уравнение окружности: оно выполняется для точек на линии и не выполняется для точек на другом расстоянии от центра.
Если центр окружности находится в точке (x₀; y₀), координаты точки окружности удобнее отсчитывать относительно этого центра. Горизонтальное смещение равно x − x₀, а вертикальное — y − y₀; по теореме Пифагора сумма квадратов этих смещений равна квадрату радиуса. Поэтому уравнение принимает вид (x − x₀)² + (y − y₀)² = R². Знаки в скобках показывают разность между координатой точки и координатой центра, а не просто координаты центра.
В определении эллипса участвуют два фокуса, а не один центр, как у окружности. Если фокусы расположены на горизонтальной оси симметрии эллипса, его большая ось направлена горизонтально; если они лежат на вертикальной оси симметрии, большая ось направлена вертикально. Для эллипса с центром в начале координат и осями, параллельными координатным осям, эти направления совпадают с Ox и Oy. Это расположение позволяет записать уравнение без дополнительных слагаемых и сразу увидеть направление большей оси.
В каноническом уравнении x²/a² + y²/b² = 1 параметры a и b задают, насколько далеко эллипс простирается от центра вдоль каждой координатной оси. Если положить y = 0, получим x²/a² = 1, то есть крайние точки по горизонтали имеют абсциссы ±a. Если положить x = 0, получим ординаты ±b. Поэтому знаменатели — квадраты полуосей, а не сами длины полуосей. Такая запись описывает эллипс с центром в начале координат.
Пусть a ≥ b, тогда большая полуось направлена вдоль Ox, а фокусы имеют координаты (−c; 0) и (c; 0). Для конца малой полуоси расстояния до обоих фокусов равны √(c² + b²), а их сумма равна 2a — той же постоянной, что и для крайних точек большой оси. Отсюда следует c² + b² = a², то есть c² = a² − b². Если a = b, то c = 0: фокусы совпадают с центром, уравнение становится x²/a² + y²/a² = 1 и задаёт окружность.
| Свойство | Окружность | Эллипс |
|---|---|---|
| Геометрическое определение | Точки на одинаковом расстоянии от центра | Точки с постоянной суммой расстояний до двух фокусов |
| Каноническое уравнение при центре в начале координат | x² + y² = R² | x²/a² + y²/b² = 1 |
| Положение центра и осей | Центр в начале координат; радиус одинаков во всех направлениях | Центр в начале координат; оси параллельны координатным |
| Параметры фигуры | Радиус R | Полуоси a и b, расстояние c до фокуса |
| Частный случай | Самостоятельный вид окружности | При a = b эллипс является окружностью |
Сначала определите, какая фигура задана, затем найдите в её уравнении параметры и проверьте расположение центра. Для эллипса сравните знаменатели, чтобы увидеть большую полуось, а для окружности не забудьте извлечь квадратный корень из R², если ищете радиус. Таблица помогает не смешивать определения и параметры двух фигур.
Запишем уравнение окружности с центром в точке (2; −1) и радиусом 3. Так как центр не совпадает с началом координат, используем форму уравнения с координатами произвольного центра. Числа подставляем в скобки как координаты центра, а радиус возводим в квадрат. Такая проверка знаков помогает не перепутать сдвиг по горизонтали и вертикали.
Ответ: (x − 2)² + (y + 1)² = 9.
Проверим, принадлежит ли точка (3; 4) окружности x² + y² = 25. Уравнение уже записано для окружности с центром в начале координат, поэтому достаточно подставить координаты точки. Если левая часть после подстановки равна правой, точка лежит на окружности. Если значения не равны, точка находится вне окружности или внутри неё, но не на границе.
Ответ: точка (3; 4) принадлежит окружности.
Для эллипса x²/25 + y²/9 = 1 найдём полуоси и фокусы. Знаменатели являются квадратами полуосей, поэтому сначала извлечём из них корни. Больший знаменатель стоит при x², значит, большая полуось направлена вдоль Ox и фокусы лежат на этой оси. Затем используем разность квадратов полуосей, чтобы найти расстояние от центра до каждого фокуса.
Ответ: полуоси равны 5 и 3; фокусы — (−4; 0) и (4; 0).
Первая ошибка — записывать справа в уравнении окружности радиус R вместо R². Её допускают, когда воспринимают формулу как перечень длин, забывая, что теорема Пифагора связывает квадраты сторон. Проверяйте размерность и подстановкой точки на окружности: расстояние до центра должно быть R, а сумма квадратов координатных смещений — R².
Вторая ошибка — использовать скобки (x + x₀)² + (y + y₀)² для центра (x₀; y₀). Так легко ошибиться, потому что координаты центра и знаки в формуле выглядят противоположно. Формула содержит разности x − x₀ и y − y₀; проверьте её на самом центре: при x = x₀ и y = y₀ левая часть должна обращаться в ноль.
Третья ошибка — выбирать большую полуось по тому, какое слагаемое кажется крупнее, или по одной координате без сравнения знаменателей. В уравнении эллипса больший знаменатель соответствует большему квадрату полуоси, а значит, и большей полуоси. Проверьте, подставив y = 0 и x = 0: крайние значения координат будут равны корням из соответствующих знаменателей.
Четвёртая ошибка — считать c² = a² + b². Такое впечатление может возникнуть из-за привычной формулы Пифагора, но в прямоугольном треугольнике с катетами c и b гипотенуза — a. Поэтому a² = b² + c², откуда c² = a² − b². Для самопроверки убедитесь, что c меньше a: фокус расположен между центром и концом большей полуоси.
Для работы с окружностью и эллипсом нужны координаты точек и умение находить расстояние на плоскости. Уравнение окружности получается из теоремы Пифагора, а связь полуосей эллипса с расстоянием до фокуса также приводит к равенству квадратов. Эти знания продолжают изучение координатного метода: геометрическое свойство фигуры переводят в алгебраическую запись. Позже такой подход пригодится при исследовании геометрических преобразований и кривых второго порядка.
Чем окружность отличается от круга?
Окружность состоит только из точек, расположенных на заданном расстоянии от центра. Круг включает эту границу и все точки внутри неё.
Как найти центр и радиус окружности по её уравнению?
Приведите уравнение к виду (x − x₀)² + (y − y₀)² = R². Тогда центр — точка (x₀; y₀), а радиус равен √R², то есть положительному корню из числа справа.
Почему в уравнении эллипса знаменатели равны квадратам полуосей?
В каноническом уравнении точка на конце горизонтальной полуоси имеет координаты (a; 0), а на конце вертикальной — (0; b). Подстановка этих координат показывает, что знаменатели должны быть a² и b², чтобы уравнение выполнялось на концах обеих осей.
Как понять, на какой оси расположены фокусы эллипса?
Сравните знаменатели при x² и y²: большему соответствует большая полуось. Фокусы лежат на оси этой полуоси — на оси Ox, если больше знаменатель при x², и на оси Oy, если больше знаменатель при y².
При каком условии эллипс становится окружностью?
Это происходит, когда полуоси равны: a = b. Тогда эллиптическое уравнение превращается в уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом a.
§ 4. Окружность и эллипс
