§5. Гипербола

Определения и обозначения

Обратная пропорциональность — зависимость, заданная формулой y = k/x, где k — ненулевое число. Коэффициент k связывает значения переменных: их произведение всегда равно k. Его знак определяет расположение графика, а величина влияет на значения y при выбранном x. Поэтому, зная k и одну переменную, можно вычислить другую.

Гипербола — график функции y = k/x при k ≠ 0. Он состоит из двух отдельных частей, потому что формула не задаёт значение при x = 0. По графику можно видеть, как меняется y при изменении x, и находить точки, соответствующие зависимости. Для построения каждой точки достаточно проверить формулу.

Ветвь гиперболы — одна из двух частей её графика. При k > 0 ветви расположены в I и III координатных четвертях, а при k < 0 — во II и IV. Четверть можно определить по знакам координат: в первой обе координаты положительны, а во второй x отрицателен и y положителен. Это позволяет заранее понять, по какую сторону от осей искать точки.

Асимптота — прямая, к которой ветвь графика неограниченно приближается. У гиперболы y = k/x такими прямыми являются оси координат Ox и Oy. Ветви подходят к осям всё ближе, но не достигают их. Это свойство помогает правильно продолжить график за пределы нанесённых точек.

Как это устроено

В формуле y = k/x знаменатель не может быть равен нулю: деление на ноль не определено. Поэтому x = 0 исключён из области определения, а на графике нет точек с такой абсциссой. Все точки оси Oy имеют именно x = 0, значит, гипербола не пересекает эту ось. По той же причине значение y = 0 невозможно: при ненулевом k дробь k/x не обращается в ноль.

Знак k влияет на знак дроби k/x, поэтому определяет четверти. Если k положительно, при x > 0 значение y тоже положительно, а при x < 0 оно отрицательно: получаются ветви в I и III четвертях. Если k отрицательно, знаки x и y противоположны, и ветви оказываются во II и IV четвертях. Так знак коэффициента перемещает ветви через оси в другие четверти, но сами оси график не пересекает.

Из равенства y = k/x, умножив обе части на x, получаем xy = k. Значит, для любой точки гиперболы произведение координат одно и то же. Это удобный способ составить таблицу: выбираем ненулевое x и находим y = k/x, либо подбираем пары множителей k. Перед нанесением точки можно проверить её координаты умножением, чтобы не допустить ошибку в вычислениях.

Если точка (x; y) принадлежит графику, то xy = k. Для точки (−x; −y) произведение также равно k, поскольку (−x)(−y) = xy. Поэтому обе точки лежат на гиперболе и находятся на противоположных лучах одной прямой, проходящей через начало координат. Это объясняет симметрию графика относительно начала координат: поворот на 180° вокруг неё переводит каждую ветвь в другую.

При приближении x к нулю модуль дроби |k/x| растёт без границы: фиксированное ненулевое число делят на всё меньший по модулю знаменатель. Поэтому ветвь уходит далеко вверх или вниз и приближается к оси Oy, не достигая её. Если же |x| увеличивается, дробь по модулю становится всё меньше, то есть y приближается к нулю. Так ветви приближаются к оси Ox, не пересекая её.

Свойства функции y = k/x в зависимости от знака k

Сначала найдите столбец, соответствующий знаку коэффициента k, чтобы определить четверти ветвей. Остальные строки помогают проверить область определения и понять поведение графика у осей. Свойства в двух столбцах совпадают, кроме расположения ветвей.

Разбор задач

Построить график функции y = 6/x и определить четверти ветвей

Выберем значения x, для которых вычислять дробь удобно, и найдём соответствующие y. Поскольку коэффициент 6 положителен, координаты x и y у каждой точки имеют одинаковый знак. Для графика важно брать ненулевые значения x: при x = 0 функция не определена.

1. Составим пары значений. При x = 1 получаем y = 6, при x = 2 — y = 3, при x = 3 — y = 2.
2. Возьмём отрицательные x. При x = −1 получаем y = −6, при x = −2 — y = −3, при x = −3 — y = −2.
3. Проверим расчёты: в каждой паре xy = 6. Отметим точки на координатной плоскости и плавно проведём через них две ветви, не соединяя их между собой.
4. Так как 6 > 0, точки с положительными координатами лежат в I четверти, а с отрицательными — в III. Ветви приближаются к осям, но их не пересекают.

Ответ: график проходит, например, через точки (1; 6), (2; 3), (3; 2), (−1; −6), (−2; −3), (−3; −2); ветви расположены в I и III четвертях.

Принадлежит ли A(−3; 2) графику, проходящему через B(2; 3)?

Функция имеет вид y = k/x, но коэффициент пока неизвестен. Сначала используем точку B, которая заведомо лежит на графике, чтобы определить k. Затем подставим координаты A в найденную формулу и проверим, совпадёт ли вычисленное значение y с указанным.

1. Подставим координаты B(2; 3): 3 = k/2, откуда k = 6.
2. Получаем функцию y = 6/x. Для абсциссы точки A, равной −3, вычисляем y = 6/(−3) = −2.
3. У точки A ордината равна 2, а формула даёт −2. Значения не совпадают, поэтому точка не удовлетворяет уравнению графика.

Ответ: точка A(−3; 2) не принадлежит графику функции y = 6/x.

Найти k для точки M(−4; 3) и определить четверти ветвей

Если точка принадлежит графику, её координаты связаны равенством y = k/x. Можно сразу выразить коэффициент как произведение координат: k = xy. После вычисления знака k останется определить, какие знаки могут иметь x и y на графике.

1. Подставим x = −4 и y = 3: k = (−4)·3 = −12.
2. Значит, функция имеет вид y = −12/x. Коэффициент отрицательный, поэтому x и y на каждой точке имеют противоположные знаки.
3. При x > 0 значения y отрицательны, а при x < 0 значения y положительны. Следовательно, ветви находятся во II и IV четвертях.

Ответ: k = −12; ветви гиперболы расположены во II и IV четвертях.

Типичные ошибки

Ошибка: включать x = 0 в область определения. Её допускают, если проверяют только привычный набор чисел и забывают о знаменателе. Подстановка нуля приводит к делению на ноль, которое не имеет смысла. Проверяйте, нет ли переменной в знаменателе: её значения, обращающие знаменатель в ноль, исключаются.

Ошибка: считать, что гипербола проходит через начало координат. В этой точке x = 0, и функция не имеет значения; кроме того, при ненулевом k значение y не может равняться нулю. Такое заблуждение часто возникает из-за того, что график приближается к обеим осям. Чтобы проверить точку, подставьте её координаты в исходную формулу или равенство xy = k.

Ошибка: при k < 0 помещать ветви в I и III четверти. Это расположение подходит для положительного коэффициента, а при отрицательном знаки x и y различаются. Например, при x > 0 дробь k/x отрицательна, поэтому точка находится ниже оси Ox. Проверка знаков в формуле до построения сразу подскажет нужные четверти.

Ошибка: наносить точки, не проверяя их координаты. При выборе x можно неверно вычислить дробь или перепутать знак, и тогда точка окажется не на графике. Причина часто в спешке при заполнении таблицы. Умножьте координаты каждой намеченной точки: если xy не равно k, вычисление нужно перепроверить.

Связь с другими темами

Для построения гиперболы нужны навыки работы с координатной плоскостью, таблицами значений и подстановкой чисел в формулу. Обратную пропорциональность удобно сравнить с прямой пропорциональностью y = kx: у прямой график проходит через начало координат, а для гиперболы ноль исключён и из области определения, и из множества значений. Представление о гиперболе пригодится при изучении дробно-рациональных функций и преобразований графиков: их форму часто можно получить на основе графика y = k/x.

Что запомнить

• Гипербола — график функции y = k/x при k ≠ 0.
• Область определения: все числа, кроме нуля.
• Множество значений: все числа, кроме нуля.
• При k > 0 ветви лежат в I и III четвертях.
• При k < 0 ветви лежат во II и IV четвертях.
• Оси координат являются асимптотами гиперболы.
• График симметричен относительно начала координат.